112 高普考普通考試 工業工程 工程統計學與品質管制概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查離散型隨機變數的期望值、變異數與標準差，以及切比雪夫（Chebyshev）不等式。

若隨機變數 $X$ 的機率分配為 $p(x)$，則：

切比雪夫不等式指出，對任何具有有限變異數的隨機變數及 $k>0$：

解題方法

先由機率分配求出 $\mu$ 和 $\sigma$，再找出落在 $\mu\pm2\sigma$ 之間的可能出車次數，將其機率加總。最後用切比雪夫不等式求此區間機率的下界，與實際機率比較。

1. 求平均數

2. 求標準差

因此：

兩個標準差的範圍為：

因此：

核心觀念

**不可以直接以產品規格上、下限作為平均值管制圖的管制上、下界。**兩組界限用途不同：

• 管制界限用來判斷製程是否穩定，依製程資料的變異及抽樣分配計算。
• 規格界限用來判斷產品或製程結果是否符合設計、客戶或法規要求。

平均值管制圖監控的是子組平均數。若製程穩定，子組平均數的標準差為 $\sigma_{\bar X}=\sigma/\sqrt n$；當製程平均數為 $\mu$ 時，常用的 $3\sigma$ 管制界限為：

實務上若母體標準差未知，會使用 $\bar X$–$R$ 管制圖等方法，依樣本資料估計製程中心與變異，再計算管制界限。

解題方法

判斷兩種界限能否互用，先看各自的設定依據與判斷目的：

核心觀念

每次投擲中，出現 3 點的機率為 $p=\frac16$，未出現 3 點的機率為 $1-p=\frac56$。投擲 10 次且各次結果獨立，因此成功次數 $X$ 服從二項分配：

若 $X=5$，表示 10 次中恰有 5 次出現 3 點。

解題方法

恰有 5 次成功，除了計算某一種固定排列的機率，還須乘上 5 次成功在 10 次投擲中的排列數 $\binom{10}{5}$。因此：

這就是恰好出現 5 次 3 點的機率列式。

莊家每次成功時支付玩家 $10{,}000$ 元，莊家的收益為 $-10{,}000$ 元；每次失敗時收取玩家 $1{,}000$ 元，莊家的收益為 $+1{,}000$ 元。單次投擲下，莊家的期望收益為：

核心觀念

精實六標準差計畫（Lean Six Sigma）是結合「精實（Lean）」與「六標準差（Six Sigma）」的流程改善方法。精實著重消除不增值活動與浪費、縮短流程時間；六標準差著重以數據分析降低變異與缺陷。兩者共同以顧客需求為依據，透過跨部門團隊及有紀律的改善流程，提升組織的品質、效率與整體績效。

常用的改善架構是 DMAIC：

• 定義（Define）：確認顧客需求、問題範圍、改善目標及專案團隊。
• 衡量（Measure）：界定流程與績效指標，蒐集基準資料，掌握目前表現。
• 分析（Analyze）：找出造成浪費、延誤、缺陷或變異的根本原因。
• 改善（Improve）：提出並驗證改善方案，消除根因與非增值活動。
• 控制（Control）：建立標準作業、監控指標及異常處理方式，維持改善成果。

因此，精實六標準差並非只靠縮編或加快工作速度，而是先理解顧客重視的成果，再以流程與數據為基礎，改善問題的成因並持續管理績效。

解題方法

本題是觀念申論題，可先說明精實六標準差結合了哪兩種改善理念，再由組織績效角度分項說明益處。作答時須把「精實消除浪費、提升速度」與「六標準差降低變異、減少缺陷」分別交代，並說明兩者如何共同改善流程，而非只列出「提升品質、降低成本」等結果。

組織可實現的益處

1. 提升品質與降低缺陷 以資料分析找出錯誤及變異的根本原因，降低產品或服務的不良率，使成果更符合規格與顧客要求。