111 高普考普通考試 工業工程 工程統計學與品質管制概要 考古題詳解

核心觀念

1. 二項分配（Binomial Distribution）： 在有限母體很大或可視為獨立重複試驗（伯努利試驗）的情境下，自該縣（市）隨機抽樣 $n = 50$ 人，每人染疫機率為 $p = 0.10$。令隨機變數 $X$ 代表 $50$ 人中染疫的人數，則 $X$ 服從二項分配，記為 $X \sim B(n = 50, p = 0.10)$。其機率質量函數（PMF）為： $P(X = x) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}, \quad x = 0, 1, 2, \dots, n$

2. 泊松分配（Poisson Distribution）及其對二項分配的近似： 當試驗次數 $n$ 較大、成功機率 $p$ 較小，且平均數 $\lambda = np$ 保持適中時，二項分配可利用泊松分配近似，記為 $Y \sim \text{Poisson}(\lambda)$，其中平均發生率 $\lambda = np = 50 \times 0.10 = 5$。其機率質量函數為： $P(Y = y) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^y}{y!}, \quad y = 0, 1, 2, \dots$

3. 餘事件原理（Complement Rule）： 計算「至少 $k$ 位」的累積機率時，直接計算正向累加項數過多，應轉換為餘事件計算： $P(X \ge k) = 1 - P(X < k) = 1 - \sum_{x=0}^{k-1} P(X = x)$

解題方法

第一問：求其中至少有 $3$ 位（含）染疫的機率 $P(X \ge 3)$

【解法一：二項分配精確解（標準理論解）】

依題意，隨機變數 $X \sim B(50, 0.10)$，非染疫機率 $q = 1 - p = 0.90$。利用餘事件原理： $P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2) = 1 - \left[ P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \right]$

各項機率計算如下：

1. $P(X = 0) = \binom{50}{0} (0.1)^0 (0.9)^{50} = (0.9)^{50} \approx 0.005154$
2. $P(X = 1) = \binom{50}{1} (0.1)^1 (0.9)^{49} = 50 \times 0.1 \times (0.9)^{49} = 5 \times (0.9)^{49} \approx 0.028632$
3. $P(X = 2) = \binom{50}{2} (0.1)^2 (0.9)^{48} = \frac{50 \times 49}{2} \times 0.01 \times (0.9)^{48} = 12.25 \times (0.9)^{48} \approx 0.077943$

加總未達 $3$ 人的機率： $P(X \le 2) = 0.005154 + 0.028632 + 0.077943 = 0.111729$

故至少有 $3$ 位染疫之精確機率為： $P(X \ge 3) = 1 - 0.111729 = 0.888271 \approx 0.8883 \quad (88.83\%)$

【解法二：泊松分配近似解（配合題幹脈絡）】

若依題幹第二問之引導，第一問亦採用泊松分配近似計算，令 $Y \sim \text{Poisson}(\lambda = 5)$，其中

核心觀念

本題評量獨立雙母體比例差之假設檢定（Two-Sample $Z$-Test for Proportions）。主要觀念與公式如下：

1. 大樣本常態近似條件： 當兩組樣本之成功次數與失敗次數皆大於或等於 $5$（即 $n_1 \hat{p}_1 \ge 5$、$n_1(1-\hat{p}_1) \ge 5$、$n_2 \hat{p}_2 \ge 5$、$n_2(1-\hat{p}_2) \ge 5$）時，樣本比例差之抽樣分配依據中央極限定理近似常態分配。
2. 合併樣本比例（Pooled Proportion）： 在虛無假設 $H_0: p_1 = p_2 = p$ 成立的前提下，兩母體具有相同的未知比例 $p$，此時應將兩組樣本合併以求得不偏且最有效之估計量： $\hat{p} = \frac{x_1 + x_2}{n_1 + n_2}$
3. 檢定統計量（Test Statistic）： $Z = \frac{\hat{p}_1 - \hat{p}_2}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})\left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)}} \sim N(0, 1)$

解題方法

本題要求檢定男性與女性認同比例「是否相同」，未指定方向性，故採雙尾檢定（Two-tailed test）。標準五步驟推導如下：

步驟一：設立虛無假設與對立假設

設母體 1 為女性民眾，母體 2 為男性民眾；$p_1$ 與 $p_2$ 分別代表女性與男性對該新措施之認同比例：

• 虛無假設 $H_0: p_1 = p_2$（男女認同比例相同，即 $p_1 - p_2 = 0$）
• 對立假設 $H_1: p_1 \neq p_2$（男女認同比例不相同，即 $p_1 - p_2 \neq 0$）

步驟二：決定顯著水準與拒絕域

給定顯著水準 $\alpha = 0.05$。 因對立假設為雙尾檢定，臨界值為： $Z_{\alpha/2} = Z_{0.025} = 1.96$ 拒絕域（Critical Region, $C$）為： $|Z| > 1.96 \quad \text{（即 } Z > 1.96 \text{ 或 } Z < -1.96 \text{）}$

步驟三：計算樣本統計量

由題意已知：

• 女性組：樣本數 $n_1 = 100$，認同人數 $x_1 = 60 \implies \hat{p}_1 = \frac{60}{100} = 0.60$
• 男性組：樣本數 $n_2 = 200$，認同人數 $x_2 = 150 \implies \hat{p}_2 = \frac{150}{200} = 0.75$

合併樣本比例： $\hat{p} = \frac{x_1 + x_2}{n_1 + n_2} = \frac{60 + 150}{100 + 200} = \frac{210}{300} = 0.70$ $1 - \hat{p} = 0.30$

檢定常態近似條件：

• $n_1 \hat{p}_1 = 60 \ge 5$，$n_1(1-\hat{p}_1) = 40 \ge 5$
• $n_2 \hat{p}_2 = 150 \ge 5$，$n_2(1-\hat{p}_2) = 50 \ge 5$ 條件完全滿足，可安全採用標準常態分配檢定。

步驟四：計算檢定統計量數值

比例差之標準誤估計值： $\text{SE}(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) = \sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})\left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)} = \sqrt{0.70 \times 0.30 \times \left(\frac{1}{100} + \frac{1}{200}\right)}$

核心觀念

本題以單因子變異數分析（one-way ANOVA）檢定四個地區的平均試吃人數是否相同。地區是四個組別，每區有七天的觀測值，因此總樣本數 $N=28$。

檢定假設為：

設定顯著水準 $\alpha=0.05$。若各組母體近似常態、變異數相等，且觀測值相互獨立，則以組間均方除以組內均方，計算檢定統計量 $F$。

解題方法

先計算各地區總和與總平均：

總平方和所需的校正項為：

由原始資料平方和 $\sum x_{ij}^2=542964$，得到總平方和：

地區間平方和為：

地區內平方和為：

核心觀念

本題旨在評量計數值抽樣檢驗中的**雙次抽樣計畫（Double Sampling Plan）**之允收機率（Probability of Acceptance, $P_a$）計算。涉及核心概念如下：

1. 雙次抽樣判定準則： 設第一批樣本數為 $n_1$、不良品數為 $d_1$；第二批樣本數為 $n_2$、不良品數為 $d_2$。

• 第一次抽樣判定：
• 若 $d_1 \le Ac_1$，則允收該批。
• 若 $d_1 \ge Re_1$，則拒收該批。
• 若 $Ac_1 < d_1 < Re_1$，則繼續抽取第二個樣本。
• 第二次抽樣判定：
• 若累積不良品數 $d_1 + d_2 \le Ac_2$，則允收該批。
• 若累積不良品數 $d_1 + d_2 \ge Re_2$，則拒收該批。

2. 允收機率（$P_a$）架構： 整批貨物最終被允收的機率為兩類互斥事件的機率總和： $P_a = P(\text{第一次抽樣即允收}) + P(\text{第二次抽樣後允收})$

3. 機率分配選擇： 在批量 $N$ 遠大於樣本數 $n$（通常 $N \ge 10n$）或為連續生產批的情況下，不良品數服從二項分配（Binomial Distribution）；當 $p$ 很小且 $n$ 較大時，亦可使用**卜瓦松分配（Poisson Distribution）**作為良好近似。國家考試若可使用公告之電子計算器，應以二項分配計算精確值為主，輔以卜瓦松近似值。

解題方法

步驟一：分析抽樣計畫與判定路徑

已知參數：

• 第一次抽樣：$n_1 = 15, Ac_1 = 0, Re_1 = 3$
• 第二次抽樣：$n_2 = 25, Ac_2 = 3, Re_2 = 4$
• 批不良率：$p = 0.02$（良品率 $1 - p = 0.98$）

使整批貨物「允收」的所有可能路徑如下：

1. 路徑 A（第一次即允收）： $d_1 \le Ac_1 \implies d_1 = 0$
2. 路徑 B（進入第二次抽樣且最終允收）： 因 $Ac_1 < d_1 < Re_1 \implies 0 < d_1 < 3$，故第一階段抽取的不良品數 $d_1$ 僅有 $1$ 或 $2$ 兩種可能：

• 若 $d_1 = 1$，累積不良品數需滿足 $1 + d_2 \le Ac_2 = 3 \implies d_2 \le 2$（即 $d_2 = 0, 1, 2$）。
• 若 $d_1 = 2$，累積不良品數需滿足 $2 + d_2 \le Ac_2 = 3 \implies d_2 \le 1$（即 $d_2 = 0, 1$）。

綜合上述，允收機率的數學通式為： $P_a = P(d_1 = 0) + \Big[ P(d_1 = 1) \times P(d_2 \le 2) \Big] + \Big[ P(d_1 = 2) \times P(d_2 \le 1) \Big]$

步驟二：精確解（二項分配法）

不良品數 $d_1 \sim B(n_1 = 15, p = 0.02)$，$d_2 \sim B(n_2 = 25, p = 0.02)$。

1. 計算第一樣本之各機率值：

• $P(d_1 = 0) = \binom{15}{0}(0.02)^0(0.98)^{15} = (0.98)^{15} \approx 0.738569$
• $P(d_1 = 1) = \binom{15}{1}(0.02)^1(0.98)^{14} = 15 \times 0.02 \times (0.98)^{14} \approx 0.226092$
• $P(d_1 = 2) = \binom{15}{2}(0.02)^2(0.98)^{13} = 105 \times 0.0004 \times (0.98)^{13} \approx 0.032299$

2. 計算第二樣本之累積機率值：

• $P(d_2 = 0) = \binom{25}{0}(0.02)^0(0.98)^{25} = (0.98)^{25} \approx 0.603465$
• $P(d_2 = 1) = \binom{25}{1}(0.02)^1(0.98)^{24} = 25 \times 0.02 \times (0.98)^{24} \approx 0.307890$

核心觀念

本題為品質管制中「標準值已知（Standard Given）」情形下的經典考題，核心涵蓋三個觀念：

1. 標準值已知時之 $\bar{X}-R$ 管制圖管制界限：

• 當製程目標值 $\mu_0$ 與標準差 $\sigma$ 均已知時，$\bar{X}$ 管制圖之管制界限直接採用 $\mu_0 \pm 3\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 或查表係數 $\mu_0 \pm A\sigma$；$R$ 管制圖則由理論平均值 $d_2\sigma$ 與界限係數 $D_1\sigma$、$D_2\sigma$ 決定。

2. 管制圖之檢力（Power）與偵測機率：

• 當製程平均值發生偏移（$\mu_0 \to \mu_1$）時，樣本平均值 $\bar{X}$ 仍落在原管制界限內的機率為第二類型錯誤機率（$\beta$）；能夠成功偵測出偏移的機率即為檢力 $1-\beta = P(\bar{X} > UCL \text{ 或 } \bar{X} < LCL \mid \mu = \mu_1)$。

3. 製程不良率（不合格率，Fraction Nonconforming）：

• 不良率係衡量個別產品品質特性 $X$ 超出規格界限（$USL$ 與 $LSL$）之機率，其分配為母體分配 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，而非樣本平均值之分配。

解題方法

（一）求 $\bar{X}$ 和 $R$ 管制圖之 $3$ 倍標準差管制界限

已知參數：

• 目標平均值 $\mu_0 = 150.0$
• 製程標準差 $\sigma = 2.0$
• 樣本大小 $n = 4$
• 查表係數：$A = 1.500$、$d_2 = 2.059$、$D_1 = 0$、$D_2 = 4.698$

1. 平均值（$\bar{X}$）管制圖： $UCL_{\bar{X}} = \mu_0 + 3\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \mu_0 + A\sigma = 150.0 + 1.500 \times 2.0 = 153.0$ $CL_{\bar{X}} = \mu_0 = 150.0$ $LCL_{\bar{X}} = \mu_0 - 3\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \mu_0 - A\sigma = 150.0 - 1.500 \times 2.0 = 147.0$

2. 全距（$R$）管制圖： $UCL_R = D_2\sigma = 4.698 \times 2.0 = 9.396$ $CL_R = d_2\sigma = 2.059 \times 2.0 = 4.118$ $LCL_R = D_1\sigma = 0 \times 2.0 = 0$

（二）製程平均數上移至 $151.2$ 時，$\bar{X}$ 管制圖偵測到變異之機率

當製程平均數偏移至 $\mu_1 = 151.2$ 時，樣本平均值之分配為： $\bar{X} \sim N\left(\mu_1, \frac{\sigma^2}{n}\right) = N\left(151.2, \frac{2.0^2}{4}\right) = N\left(151.2, 1.0^2\right)$ 標準誤 $\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{2.0}{\sqrt{4}} = 1.0$。

管制圖未偵測到此變異之機率（$\beta$ 風險）為 $\bar{X}$ 落在原管制界限 $[LCL_{\bar{X}}, UCL_{\bar{X}}]$ 內的機率： $\beta = P(147.0 \le \bar{X} \le 153.0 \mid \mu = 151.2)$

進行標準化： $Z_1 = \frac{153.0 - 151.2}{1.0} = 1.80$ $Z_2 = \frac{147.0 - 151.2}{1.0} = -4.20$

故： $\beta = \Phi(1.80) - \Phi(-4.20) \approx \Phi(1.80) - 0$

因此，能偵測到該變異之機率（檢力 $1-\beta$）為： $1 - \beta = 1 - \Phi(1.80) + \Phi(-4.20)$