114 高普考普通考試 工業工程 工程統計學與品質管制概要 考古題詳解

核心觀念

本題考驗二項分配。每個零件只有「良品」與「不良品」兩種結果，抽取零件數固定為 $n=5$，且假設每次抽取的不良率相同為 $p=0.01$，因此樣本中的不良品數 $X$ 可用二項分配表示：

二項分配的機率質量函數為：

其中 $\binom{n}{k}$ 表示從 $n$ 個樣本中選出 $k$ 個不良品的方法數。

解題方法與計算

（一）樣本中沒有不良品的機率

令 $X=0$，將 $n=5$、$p=0.01$ 代入：

所以，樣本中沒有不良品的機率約為 $0.9510$，即 $95.10\%$。

（二）樣本中恰有 1 件不良品的機率

令 $X=1$：

所以，樣本中恰有 1 件不良品的機率約為 $0.0480$，即 $4.80\%$。

（三）樣本中有 1 件（含）以上不良品的機率

「至少 1 件」等於「不是 0 件」，用補事件計算較直接：

核心觀念

本題考查離散型隨機變數的機率分配，以及如何由機率分配計算事件機率。令 $X$ 表示一次維修服務所需的時間（小時）。題目指出四種故障情況發生次數大致相同，因此採用各種維修時間等可能的假設：

解題方法

（一）機率分配

依照等可能假設，四種維修時間的機率相同，機率分配如下：

（二）機率分配圖

以維修時間為橫軸、機率為縱軸，各點的機率皆為 $\frac14$：

P(X=x)
 1/4 ┤ ● ● ● ●
 │
 0 ┼──┬───────┬───────┬───────┬── X
 1 2 3 4

（三）驗證離散機率函數的必要條件

離散機率函數須滿足：

1. 對所有可能值 $x$，$P(X=x)\geq 0$。
2. 所有可能值的機率總和為 $1$。

本題中每個機率均為 $\frac14\geq 0$，且

核心觀念

本題利用管制圖的非機遇原因判定法則，將中心線上下分為三個區域：

• Zone C：中心線至 $\pm1\sigma$
• Zone B：$1\sigma$ 至 $2\sigma$
• Zone A：$2\sigma$ 至 $3\sigma$
• 超出管制界限 $\pm3\sigma$ 者，直接判定管制失控。

常用判定法則如下：

1. 1 點落在 Zone A 之外或超出管制界限。
2. 連續 3 點中有 2 點落在同側 Zone A 或更外側。
3. 連續 5 點中有 4 點落在同側 Zone B 或更外側。
4. 連續 15 點均落在 Zone C 內。
5. 連續 8 點位於中心線同一側。
6. 連續 6 點呈現遞增或遞減趨勢。
7. 連續 14 點呈交替上升、下降。

只要符合任一法則，即表示管制圖可能存在非機遇原因。

解題方法

逐圖觀察：

1. 先找中心線及 $\pm1\sigma$、$\pm2\sigma$ 區域。
2. 判斷是否有測點落入 Zone A 或 Zone B。
3. 再檢查測點是否形成同側連續、連續上升或下降、交替變化等連串型態。
4. 符合法則即判定「可能存在非機遇原因」。

（一）

圖中第 3～5 點中，第 4、5 點均落在中心線同側的 Zone A 或更外側。

因此符合：

雖然沒有測點超出管制界限，也沒有形成連續 8 點在中心線同側，但 Zone A 法則已足以判定異常。

【答案】可能存在非機遇原因；使用「連續 3 點中有 2 點落在同側 Zone A 或更外側」法則。

（二）

圖中第 3～8 點呈現連續上升趨勢，測點逐點向上移動。

因此符合：

核心觀念

本題比較 4 種品牌機器人的平均乾燥時間，只有一個分類因素「品牌」，因此採用單因子變異數分析（One-way ANOVA）。

設定：

• $H_0:\mu_1=\mu_2=\mu_3=\mu_4$
• $H_1:$ 至少有一個品牌的平均乾燥時間不同

顯著水準為 $\alpha=0.05$。

解題方法與計算

1. 各品牌平均數與總平均數

各組資料如下：

$\bar{x}_1=\frac{665}{5}=133$

$\bar{x}_2=\frac{695}{5}=139$

$\bar{x}_3=\frac{680}{5}=136$

$\bar{x}_4=\frac{720}{5}=144$

總平均數為：

$\bar{x}_{..}=\frac{2760}{20}=138$

2. 組間平方和

$SS_B=\sum_{i=1}^{4}n_i(\bar{x}_i-\bar{x}_{..})^2$

由於各組樣本數皆為 $5$：

3. 組內平方和

各品牌組內平方和為：

$SS_{W1}=(128-133)^2+(137-133)^2+\cdots +(141-133)^2=190$

$SS_{W2}=200$

$SS_{W3}=84$

$SS_{W4}=218$

因此：

$SS_W=190+200+84+218=692$

4. 自由度與均方

品牌數為 $k=4$，總樣本數為 $N=20$。

$df_B=k-1=4-1=3$