110 高普考普通考試 工業工程 工程統計學與品質管制概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查描述統計中的算術平均數、中位數與母體變異數。題目將這 10 位考生視為完整母體，因此變異數使用除數 $N$，而非樣本變異數所用的 $n-1$。

解題方法

（一）平均分數

算術平均數為所有觀測值總和除以人數：

先加總成績：

因此：

（二）中位數

先將成績由小到大排列：

觀測值個數為偶數 $N=10$，中位數是第 $5$ 個與第 $6$ 個數的平均：

（三）母體變異數

母體變異數定義為每個數值與母體平均數之離差平方的平均：

核心觀念

本題考查「統計獨立」與「互斥」兩個不同概念。令 $A$ 表示抽到的學生是男生，$B$ 表示抽到的學生近視。

• 統計獨立：若 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$，則 $A$ 與 $B$ 獨立。等價地，在 $P(A)>0$ 時，若 $P(B\mid A)=P(B)$，兩事件獨立。
• 互斥：若 $A\cap B=\varnothing$，也就是兩事件不可能同時發生，則兩事件互斥。以機率表示為 $P(A\cap B)=0$。

獨立描述的是事件發生機率彼此不影響；互斥描述的是兩事件不能同時發生，兩者不可混為一談。

解題方法

全班學生總數為

因此：

而同時是男生且近視的人數為 $24$ 人，所以

（一）「性別」與「近視與否」是否統計獨立？

若兩事件獨立，應有

計算右側：

核心觀念

維修時間服從指數分配，平均每部機器需 $15$ 分鐘。題目要計算半小時內能完成維修的機器數量，因此可把「連續發生的維修完成事件」建模為卜瓦松過程。

指數分配具有無記憶性；若維修時間彼此獨立且每部機器的平均維修時間固定，則維修完成事件的發生率為

卜瓦松過程在長度為 $t$ 的時間內完成數量 $N(t)$，服從參數 $\lambda t$ 的卜瓦松分配：

解題方法

半小時為 $30$ 分鐘，因此該時段內的平均完成數為

核心觀念

本題考查母體平均數的 95% 信賴區間。母體共有 $N=20{,}000$ 件，抽取 $n=400$ 件，樣本平均數為 $\bar{x}=1{,}200$ 公克，樣本標準差為 $s=100$ 公克。

因為母體標準差未知，以樣本標準差估計；樣本數足夠大，可用常態分配臨界值 $z_{0.975}=1.96$ 近似。抽樣比例 $n/N=0.02$，抽樣占母體比例不大；若將抽樣視為不放回抽樣，估計標準誤中納入有限母體修正，計算如下。

解題方法

母體平均數的估計式為 $\bar{x}$，其 95% 信賴區間為：

其中 $\sqrt{(N-n)/(N-1)}$ 為有限母體修正因子。代入題目數值：

核心觀念

本題考查製程能力指標 $C_p$ 與 $C_{pk}$ 的定義，以及製程平均數是否偏離規格中心對能力評估的影響。兩者都用規格寬度與製程自然變異（以標準差 $\sigma$ 表示）比較，但 $C_p$ 不考慮製程是否居中，$C_{pk}$ 則會反映平均數偏向哪一側規格界限。

設規格上限為 $USL$、規格下限為 $LSL$，製程平均數為 $\mu$，製程標準差為 $\sigma$。

解題方法

$C_p$ 以規格寬度除以製程自然變異寬度 $6\sigma$：

它衡量規格範圍相對於製程散布的大小，相當於假設製程平均數位於規格中心時的潛在能力。因此，$C_p$ 只看變異大小，不因平均數偏移而改變。

$C_{pk}$ 則比較製程平均數到上、下規格界限的距離，並取較小者：

其中，$\frac{USL-\mu}{3\sigma}$ 衡量平均數距上規格限的標準差倍數；$\frac{\mu-LSL}{3\sigma}$ 衡量平均數距下規格限的標準差倍數。取較小值，是因為較接近的一側規格界限代表較大的超規風險。

也可用規格中心 $m=(USL+LSL)/2$ 表示：