113 高普考普通考試 工業工程 工程統計學與品質管制概要 考古題詳解

核心觀念

題目給的是全班 8 位學生的完整成績，因此計算「全班變異數」時，使用母體變異數公式，分母為人數 $N=8$：

$Z$ 分數表示某人成績距離全班平均數幾個標準差：

其中 $\sigma=\sqrt{\sigma^2}$。$Z$ 分數越高，代表成績相對於全班平均的位置越高。

解題方法與計算

（一）兩次考試的全班變異數

第一次考試的平均數為：

各人成績與平均數的離差平方和為：

因此第一次考試的全班變異數為：

第二次考試的平均數為：

各人成績與平均數的離差平方和為：

因此第二次考試的全班變異數為：

核心觀念

本題考查母體比例 $p$ 的點估計與信賴區間。樣本中符合條件的家庭比例為 $\hat p$，可用來估計母體比例 $p$。在樣本數足夠大時，$\hat p$ 近似常態分配，因此 95% 信賴區間可用下式計算：

其中 $n$ 為樣本數，題目給定 $Z_{0.025}=1.96$。

解題方法

樣本共調查 $n=400$ 個家庭，其中 $x=232$ 家育有兩個以上子女。

（一）比例估計值

以樣本比例估計母體比例：

換算為百分比為 $58\%$。

（二）95% 信賴區間

先計算樣本比例的標準誤：

核心觀念

$C$ 管制圖用來監控固定檢驗單位或固定檢驗區域中的缺點數，假設缺點發生符合卜瓦松分配。平均缺點數為 $\bar C$，其標準差為 $\sqrt{\bar C}$；採三倍標準差管制界限：

缺點數不可為負，因此若計算出的 $LCL$ 小於 0，則以 0 為下限。

解題方法

（一）計算平均缺點數

將 10 片晶圓的缺點數加總，再除以晶圓片數：

因此，中心線為 $\bar C=9.2$ 個缺點。

（二）計算管制界限

先求平均缺點數的平方根：

代入三倍標準差公式：

核心觀念

本題考單因子變異數分析（One-way ANOVA），用來檢定三個以上母體平均數是否相同。令日本、韓國、泰國的平均評分分別為 $\mu_1,\mu_2,\mu_3$，ANOVA 的 $F$ 檢定統計量為：

在虛無假設成立時，$F_0$ 服從自由度為「處理自由度、誤差自由度」的 $F$ 分配。本題為 $F(2,6)$，採右尾檢定。

解題方法

（一）設定假設

虛無假設表示三個旅遊目的地的平均喜好評分相同：

對立假設表示三個平均數並非全都相等，也就是至少有一個目的地的平均評分不同：

（二）計算檢定統計量

由 ANOVA 表可得處理均方 $MS_{\text{Treatment}}=16.3611$，誤差均方 $MS_{\text{Error}}=0.5556$，故：