110 高普考普通考試 輪機技術 船用電學與自動控制概要 考古題詳解

110 年・高普考・普通考試・輪機技術
試題代碼 船用電學與自動控制概要

第 一 題25 分

有一風扇由 220 V220\ \mathrm{V}、77 馬力（hp）串激式直流電動機驅動。當其連接至 220 V220\ \mathrm{V} 電源且速度控制電阻 RSC=0R_{SC}=0 時，吸取 25 A25\ \mathrm{A}，並以 300 rpm300\ \mathrm{rpm} 的速度運轉。

假設直流電動機的電樞電阻為 0.6 Ω0.6\ \Omega，場繞組電阻為 0.4 Ω0.4\ \Omega；風扇所需的轉矩與電動機速度的平方成正比，且忽略旋轉損耗和電樞反應（armature reaction）。請計算：

(一) 傳遞到風扇的功率和電動機所產生的轉矩。（10 分）

(二) 將電動機速度降低至 200 rpm200\ \mathrm{rpm} 所需的 RSCR_{SC} 值，並計算以該速度傳送給風扇的功率。（15 分）

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核心觀念

串激式直流電動機的電樞與場繞組串聯，因此同一電流流過兩者。忽略電刷壓降時，端電壓方程式為

V=E+I(Ra+Rf+RSC)V=E+I(R_a+R_f+R_{SC})

其中 EE 為反電動勢。電磁轉換功率與電磁轉矩分別為

Pconv=EI,Pconv=TωP_{\mathrm{conv}}=EI,\qquad P_{\mathrm{conv}}=T\omega

忽略旋轉損耗時，電磁轉換功率即為傳遞到風扇的功率。串激電動機未飽和且忽略電樞反應時，磁通 ϕ\phi 與電流成正比，故

E∝ϕn∝In,T∝ϕI∝I2E\propto \phi n\propto In,\qquad T\propto \phi I\propto I^2

風扇負載另滿足 T∝n2T\propto n^2。

解題方法

（一）風扇功率與電動機轉矩

已知 V=220 VV=220\ \mathrm{V}、I1=25 AI_1=25\ \mathrm{A}、n1=300 rpmn_1=300\ \mathrm{rpm}，且 RSC=0R_{SC}=0。電動機內部電阻總和為

Ra+Rf=0.6+0.4=1.0 ΩR_a+R_f=0.6+0.4=1.0\ \Omega

因此反電動勢為

E1=V−I1(Ra+Rf)=220−25(1.0)=195 VE_1=V-I_1(R_a+R_f) =220-25(1.0) =195\ \mathrm{V}

傳遞到風扇的功率為

P1=E1I1=195(25)=4875 WP_1=E_1I_1=195(25)=4875\ \mathrm{W}

角速度為

ω1=2πn160=2π(300)60=10π rad/s\omega_1=\frac{2\pi n_1}{60} =\frac{2\pi(300)}{60} =10\pi\ \mathrm{rad/s}

所以電動機轉矩為

T1=P1ω1=487510π≈155.1 N⋅mT_1=\frac{P_1}{\omega_1} =\frac{4875}{10\pi} \approx155.1\ \mathrm{N\cdot m}

（二）降至 200 rpm200\ \mathrm{rpm} 時的串聯控制電阻與風扇功率

風扇轉矩與轉速平方成正比，因此降速後的負載轉矩為

T2T1=(n2n1)2=(200300)2=49\frac{T_2}{T_1} =\left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2 =\left(\frac{200}{300}\right)^2 =\frac49

串激電動機未飽和時 T∝I2T\propto I^2，故

I2I1=T2T1=23\frac{I_2}{I_1} =\sqrt{\frac{T_2}{T_1}} =\frac23
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第 二 題25 分

某電路的電源為三相平衡、ABCABC 相序。若已知電壓表讀數 Vm=230 VV_m=230\ \mathrm{V}（均方根值）、電流表讀數 Am=15 AA_m=15\ \mathrm{A}（均方根值）、功率計讀數 Wm=−200 WW_m=-200\ \mathrm{W}，請問負載吸收的三相總實功率與無功功率為多少？

原卷附有三相電路圖：AA、BB、CC 三相輸入至平衡三相阻抗負載。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考三相平衡負載的功率計算，以及單一功率計的接線與相位關係。三相總視在功率、實功率與無功功率為

S=3VLIL,P=Scos⁡ϕ,Q=Ssin⁡ϕS=\sqrt{3}V_LI_L,\qquad P=S\cos\phi,\qquad Q=S\sin\phi

其中 VLV_L、ILI_L 是線電壓與線電流，ϕ\phi 是相電壓與相電流的相位差。感性負載電流落後電壓，吸收的無功功率取正值。

解題方法

由圖可知，電壓表接在線路 BB、CC 之間，讀值為線電壓 VL=230 VV_L=230\ \mathrm V；電流表接在 CC 相線路，讀值為線電流 IL=15 AI_L=15\ \mathrm A。負載平衡，因此功率計電流線圈所在的 AA 相電流也為 15 A15\ \mathrm A，功率計電壓線圈則跨接 AA、BB。

對 ABCABC 相序，線電壓 VABV_{AB} 超前相電壓 VAV_A 30∘30^\circ。若負載電流落後相電壓 ϕ\phi，則功率計讀值為

Wm=VLILcos⁡(ϕ+30∘)W_m=V_LI_L\cos(\phi+30^\circ)

代入 Wm=−200 WW_m=-200\ \mathrm W：

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第 三 題25 分

假設某系統的轉移函數為

G(s)=Y(s)R(s)=2s+12s2+2s+5G(s)=\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{2s+12}{s^2+2s+5}

求系統的脈衝響應 g(t)g(t)。（25 分）

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核心觀念

系統的脈衝響應 g(t)g(t)，是輸入單位脈衝 δ(t)\delta(t) 時的輸出。因為單位脈衝的拉氏轉換為 11，所以在零初始條件下：

G(s)=Y(s)R(s)⟹g(t)=L−1{G(s)}G(s)=\frac{Y(s)}{R(s)} \quad\Longrightarrow\quad g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}

本題的關鍵是把分母配方成標準形式 (s+a)2+ω2(s+a)^2+\omega^2，再利用反拉氏轉換公式。

解題方法

題目給定：

G(s)=2s+12s2+2s+5G(s)=\frac{2s+12}{s^2+2s+5}

先將分母配方：

s2+2s+5=(s+1)2+4s^2+2s+5=(s+1)^2+4

再將分子改寫為與 (s+1)(s+1) 相同的平移形式：

2s+12=2(s+1)+102s+12=2(s+1)+10

因此：

G(s)=2(s+1)(s+1)2+4+10(s+1)2+4G(s)=\frac{2(s+1)}{(s+1)^2+4} +\frac{10}{(s+1)^2+4}

使用反拉氏轉換公式：

L−1{s+a(s+a)2+ω2}=e−atcos⁡(ωt)\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{s+a}{(s+a)^2+\omega^2} \right\} =e^{-at}\cos(\omega t) L−1{ω(s+a)2+ω2}=e−atsin⁡(ωt)\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2} \right\} =e^{-at}\sin(\omega t)

第一項為：

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第 四 題25 分

考慮某一線性系統的微分方程式為

y(4)+3y(3)+2y¨+3y˙+2y=u˙−uy^{(4)}+3y^{(3)}+2\ddot{y}+3\dot{y}+2y=\dot{u}-u

其中，uu 是輸入，而 yy 是輸出；y(4)y^{(4)} 是 yy 的四階導數，y(3)y^{(3)} 是 yy 的三階導數。

請問該系統穩定嗎？需詳細證明答案的合理性。（25 分）

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核心觀念

線性常係數系統的穩定性，可由其零輸入響應判斷：令輸入 u(t)=0u(t)=0，若所有自然響應都隨時間衰減至零，系統漸近穩定；對應的判據是特徵方程的所有根均須位於複數平面的左半平面，也就是根的實部皆小於零。

由微分方程建立傳遞函數時，採用零初始條件。若傳遞函數有極點－零點消去，輸入輸出傳遞函數的極點未必能反映內部自然響應，因此仍須由原微分方程的特徵方程檢查穩定性。

解題方法與推導

令輸入為零，原方程化為

y(4)+3y(3)+2y¨+3y˙+2y=0.y^{(4)}+3y^{(3)}+2\ddot y+3\dot y+2y=0.

設自然響應為 y(t)=esty(t)=e^{st}，代入後得到特徵方程

s4+3s3+2s2+3s+2=0.s^4+3s^3+2s^2+3s+2=0.

因式分解可得

s4+3s3+2s2+3s+2=(s2+1)(s2+3s+2)=(s2+1)(s+1)(s+2).\begin{aligned} s^4+3s^3+2s^2+3s+2 &=(s^2+1)(s^2+3s+2)\\ &=(s^2+1)(s+1)(s+2). \end{aligned}

因此特徵根為

s=±j,s=−1,s=−2.s=\pm j,\quad s=-1,\quad s=-2.

其中 s=±js=\pm j 的實部為零，對應自然響應中不衰減的振盪項；s=−1,−2s=-1,-2 則對應會衰減的項。因此自然響應一般包含

y(t)=C1e−t+C2e−2t+C3cos⁡t+C4sin⁡t,y(t)=C_1e^{-t}+C_2e^{-2t}+C_3\cos t+C_4\sin t,
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