109 高普考普通考試 電力工程 電工機械概要 考古題詳解

核心觀念

本題考變壓器的開路試驗與短路試驗，並據此求取等效電路參數。

開路試驗時，低壓側施加額定電壓，電流很小，銅損可忽略；瓦特表讀值近似為鐵損，可用來求激磁支路的激磁電導與激磁電納。

短路試驗時，一側短路，另一側施加較低電壓，使電流達額定值；瓦特表讀值近似為銅損，可用來求串聯等效電阻與電抗。題目標示短路試驗電流為額定值，因此短路試驗量得的阻抗參數是施加電壓側的參數，須再換算至高壓側。

解題方法

變壓器額定容量為 $20\ \mathrm{kVA}$，高、低壓額定電壓分別為 $3300\ \mathrm{V}$ 與 $220\ \mathrm{V}$，電壓比為

$$a=\frac{3300}{220}=15$$

高壓側額定電流為

$$I_{\mathrm{H}}=\frac{20\,000}{3300}=6.0606\ \mathrm{A}$$

低壓側額定電流為

$$I_{\mathrm{L}}=\frac{20\,000}{220}=90.9091\ \mathrm{A}$$

短路試驗的電流表只標示「額定值」，未明列試驗側。依題目提供的短路電壓 $115\ \mathrm{V}$ 與合理的試驗安排，短路試驗是在高壓側施加電壓、低壓側短路；高壓側電流達額定值。因此短路試驗求得的串聯參數直接是高壓側參數。

(一) 高壓側等效電阻與電抗

短路試驗瓦特表讀值為 $260\ \mathrm{W}$，即額定電流下的銅損。高壓側等效電阻為

$$R_{\mathrm{eq,H}} =\frac{P_{\mathrm{sc}}}{I_{\mathrm{H}}^2} =\frac{260}{(6.0606)^2} =7.079\ \Omega$$

短路阻抗大小為

$$Z_{\mathrm{eq,H}} =\frac{V_{\mathrm{sc}}}{I_{\mathrm{H}}} =\frac{115}{6.0606} =18.975\ \Omega$$

由 $Z_{\mathrm{eq,H}}^2=R_{\mathrm{eq,H}}^2+X_{\mathrm{eq,H}}^2$，得

$$X_{\mathrm{eq,H}} =\sqrt{Z_{\mathrm{eq,H}}^2-R_{\mathrm{eq,H}}^2} =\sqrt{(18.975)^2-(7.079)^2} =17.605\ \Omega$$

(二) 激磁電導、激磁導納與激磁電納

開路試驗在低壓側施加 $220\ \mathrm{V}$，故開路電流與功率都是低壓側量測值。開路試驗瓦特表讀值可視為鐵損：

$$P_{\mathrm{oc}}\approx P_{\mathrm{core}}=150\ \mathrm{W}$$

低壓側激磁電導為

核心觀念

直流分激電動機的電樞電壓方程式為

$$V_t=E_a+I_aR_a$$

因此電樞電流為

$$I_a=\frac{V_t-E_a}{R_a}$$

電動機的反電勢與磁通、轉速的關係為

$$E_a\propto \phi n$$

調速時若外加電壓不變，磁通減少會使轉速上升；但題目未提供機械負載或轉速變化條件，故第二小題依常見解法，採用「調速前後負載轉矩不變」的假設，以電樞電流近似代表轉矩變化。

解題方法

(一) 電樞電流

將題目數值代入電樞電壓方程式：

$$I_a=\frac{250-245}{0.25} =\frac{5}{0.25} =20\ \mathrm{A}$$

(二) 磁通減少 $1\%$ 時電樞電流的變化率

直流電動機的電磁轉矩為

$$T_e\propto \phi I_a$$

負載轉矩不變時，電磁轉矩維持不變，因此

核心觀念

本題考同步發電機的功角功率關係、功率因數與發電機相量圖。發電機採每相等效電路，忽略電樞電阻時，相量方程式為

$$\mathbf E_A=\mathbf V_T+jX_s\mathbf I_A$$

其中 $\mathbf E_A$ 超前端電壓 $\mathbf V_T$ 轉矩角 $\delta$。題目未特別說明電壓是相電壓或線電壓；三相 Y 接機的內部生成電壓與端電壓均以線電壓給定時，計算功率可直接使用三相功角公式。

解題方法

(一) 忽略電樞電阻時，三相同步發電機的電磁輸出功率為

$$P_{\mathrm{out}}=\frac{3E_A V_T}{X_s}\sin\delta$$

此處 $E_A$ 與 $V_T$ 為每相電壓。若題目給的是線電壓，Y 接機每相電壓為線電壓除以 $\sqrt{3}$；代入上式後，等效為

$$P_{\mathrm{out}}=\frac{E_{A,L}V_{T,L}}{X_s}\sin\delta$$

代入題目數值：

$$P_{\mathrm{out}} =\frac{(14\times10^3)(13\times10^3)}{5}\sin18^\circ \approx 13.79\times10^6\ \mathrm W$$

因此輸出功率約為 $13.8\ \mathrm{MW}$。

(二) 令端電壓為相量參考，$\mathbf V_T=V_T\angle0^\circ$，且 $\mathbf E_A=E_A\angle18^\circ$。由發電機相量方程式，

$$\mathbf I_A=\frac{\mathbf E_A-\mathbf V_T}{jX_s}$$

電流的同相與正交分量可寫成

$$\mathbf I_A =\frac{E_A\sin\delta}{X_s} -j\frac{E_A\cos\delta-V_T}{X_s}$$

所以

$$I_{\mathrm{real}}=\frac{14\sin18^\circ}{5}=0.865\ \mathrm{kA}$$ $$I_{\mathrm{imag}} =-\frac{14\cos18^\circ-13}{5} =-0.0678\ \mathrm{kA}$$

核心觀念

本題考三相感應電動機的功率流向與各級損失。功率由電源輸入後，依序扣除定子損失、轉子銅損及機械損失：

$$P_{\mathrm{in}} \longrightarrow P_{AG} \longrightarrow P_{\mathrm{conv}} \longrightarrow P_{\mathrm{out}}$$

其中：

• 氣隙功率 $P_{AG}$：扣除定子銅損與鐵心損失後，經氣隙傳至轉子的功率。
• 轉換功率 $P_{\mathrm{conv}}$：扣除轉子銅損後，轉換為機械功率的功率。
• 輸出功率 $P_{\mathrm{out}}$：扣除摩擦與風阻損後，軸端可輸出的功率。
• 效率 $\eta=P_{\mathrm{out}}/P_{\mathrm{in}}$。

三相輸入實功率為

$$P_{\mathrm{in}}=\sqrt{3}V_L I_L\cos\phi$$

解題方法

先由線電壓、線電流及功率因數求輸入功率，再依功率流向逐項扣除損失。題目已給各項損失，因此不需使用馬力額定值，也不需另外求轉差率。

(一) 氣隙功率 $P_{AG}$

$$\begin{aligned} P_{\mathrm{in}} &=\sqrt{3}(440)(60)(0.85)\\ &=38{,}866.6\ \mathrm{W} \end{aligned}$$

氣隙功率等於輸入功率扣除定子銅損與鐵心損失：

$$\begin{aligned} P_{AG} &=P_{\mathrm{in}}-P_{\mathrm{stator\,cu}}-P_{\mathrm{core}}\\ &=38{,}866.6-3{,}000-1{,}800\\ &=34{,}066.6\ \mathrm{W} \end{aligned}$$

因此，$P_{AG}\approx 34.07\ \mathrm{kW}$。

(二) 轉換功率 $P_{\mathrm{conv}}$

轉換功率為氣隙功率扣除轉子銅損：