114 高普考普通考試 電力工程 電工機械概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查單相變壓器的匝數比換算、正弦波轉相量，以及一次側等效串聯阻抗的電壓降計算。題目給的阻抗已折算至一次側，激磁並聯分支忽略，因此可先把二次側電壓、電流換算到一次側，再用一次側等效電路計算。

匝數比為 $N_p:N_s=200:100=2:1$，理想變壓器的電壓、電流關係為

$$\frac{V_p}{V_s}=\frac{N_p}{N_s}=2,\qquad \frac{I_p}{I_s}=\frac{N_s}{N_p}=\frac{1}{2}.$$

阻抗參考至一次側後，串聯等效阻抗為

$$Z_{\mathrm{eq}}=R_{\mathrm{eq}}+jX_{\mathrm{eq}} =0.2+j0.8\ \Omega.$$

解題方法

題目以正弦函數表示電壓與電流。先以有效值相量計算：正弦波峰值除以 $\sqrt{2}$ 得有效值，並以電壓相位 $0^\circ$ 作為相位基準。

二次側電壓峰值為 $155.6\ \mathrm{V}$，故

$$\underline V_s=\frac{155.6}{\sqrt{2}}\angle 0^\circ \approx 110\angle 0^\circ\ \mathrm{V}.$$

二次側電流峰值為 $14.1\ \mathrm{A}$，相位落後電壓 $30^\circ$，故

$$\underline I_s=\frac{14.1}{\sqrt{2}}\angle(-30^\circ) \approx 10\angle(-30^\circ)\ \mathrm{A}.$$

(一) 一次側電流

電流比與匝數比成反比，因此

$$\underline I_p =\underline I_s\frac{N_s}{N_p} =10\angle(-30^\circ)\times\frac{100}{200} =5\angle(-30^\circ)\ \mathrm{A}.$$

若以直角座標表示，

$$\underline I_p =5(\cos30^\circ-j\sin30^\circ) =4.33-j2.50\ \mathrm{A}.$$

換回時域，峰值為 $5\sqrt{2}\ \mathrm{A}$：

$$i_p(t)=5\sqrt{2}\sin(377t-30^\circ) \approx 7.07\sin(377t-30^\circ)\ \mathrm{A}.$$

(二) 一次側電壓

理想變壓器一次側感應電壓為

核心觀念

本題考查直流並激發電機的電流關係與電樞電動勢，以及直流電機在磁通不變時，反電動勢與轉速成正比。

並激發電機的電樞電流供應負載電流與並激場電流，因此：

$$I_a=I_L+I_f,\qquad I_f=\frac{V}{R_f}$$

發電機運轉時，電樞電動勢須克服端電壓及電樞電阻壓降：

$$E_g=V+I_aR_a$$

改作電動機時，電樞反電動勢為：

$$E_b=V-I_aR_a$$

同一部機器若磁通不變，電動勢與轉速成正比：

$$\frac{E_b}{E_g}=\frac{n_m}{n_g}$$

解題方法

（一）額定輸出時的電樞電動勢

題目所給 $10\ \mathrm{hp}$ 為額定輸出功率，換算為瓦特：

$$P_{\text{out}}=10\times746=7460\ \mathrm{W}$$

發電機端電壓為 $220\ \mathrm{V}$，額定負載電流為：

$$I_L=\frac{P_{\text{out}}}{V} =\frac{7460}{220} =33.91\ \mathrm{A}$$

並激場電流為：

$$I_f=\frac{V}{R_f} =\frac{220}{180} =1.222\ \mathrm{A}$$

所以電樞電流為：

$$I_a=I_L+I_f =33.91+1.222 =35.13\ \mathrm{A}$$

核心觀念

本題考同步發電機的未飽和同步阻抗與短路比。未飽和同步阻抗以氣隙線所代表的未飽和感應電勢，除以相同激磁電流下的短路電樞電流求得；短路比則為額定電壓所需激磁電流與額定電樓下短路所需激磁電流之比。

因為發電機為 Y 接，線電壓需換算成相電壓，而線電流等於相電流。

解題方法

（一）每相未飽和阻抗

取激磁電流 $2.3\ \mathrm{A}$，氣隙線給出的線電壓為 $205\ \mathrm{V}$，同激磁電流下短路電樞電流為 $122\ \mathrm{A}$。Y 接時，每相未飽和感應電勢為：

$$E_{\phi,\mathrm{unsat}}=\frac{205}{\sqrt{3}}\ \mathrm{V}$$

短路時相電流等於線電流，因此每相未飽和阻抗為：

$$Z_{\mathrm{unsat}} =\frac{E_{\phi,\mathrm{unsat}}}{I_{\mathrm{sc},\phi}} =\frac{205/\sqrt{3}}{122} \approx 0.970\ \Omega$$

（二）短路比

短路比定義為：

$$\mathrm{SCR} =\frac{\text{額定電壓下的激磁電流}} {\text{額定電流短路時的激磁電流}}$$

開路試驗指出，激磁電流 $2.8\ \mathrm{A}$ 時，線電壓為額定值 $220\ \mathrm{V}$，故分子為 $2.8\ \mathrm{A}$。

額定電流為：

核心觀念

三相感應電動機的同步轉速由電源頻率與極數決定：

$$n_s=\frac{120f}{P}\quad(\mathrm{r/min})$$

轉差率定義為同步轉速與轉子實際轉速之差，占同步轉速的比例：

$$s=\frac{n_s-n_r}{n_s}$$

因此，轉子速度為 $n_r=(1-s)n_s$。本題額定負載轉差率為 $5\%$，可直接用此關係求轉子速度。

負載轉矩可由輸出功率與轉子角速度求得：

$$T_L=\frac{P_{\mathrm{out}}}{\omega_r} =\frac{P_{\mathrm{out}}}{2\pi n_r/60}$$

解題方法

先由頻率 $f=60\ \mathrm{Hz}$ 及極數 $P=4$ 求同步轉速：

$$n_s=\frac{120\times 60}{4}=1800\ \mathrm{r/min}$$

再代入滿載轉差率 $s=0.05$：

$$n_r=(1-0.05)\times1800 =1710\ \mathrm{r/min}$$

題目所給 $20\ \mathrm{hp}$ 為額定馬力，計算負載轉矩時換算為輸出功率。採用 $1\ \mathrm{hp}=746\ \mathrm{W}$：