113 高普考普通考試 電力工程 電工機械概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查單相變壓器的標么值換算，以及理想變壓器的電壓、電流與功率關係。單相系統以額定容量 $S_B$ 和額定電壓 $V_B$ 為基值時，阻抗基值為

$$Z_B=\frac{V_B^2}{S_B}$$

標么阻抗換算為實際阻抗，使用 $Z=Z_{\text{pu}}Z_B$。同一阻抗折算至另一側時，依變壓器電壓比平方換算；理想變壓器兩側電流則依電壓比反向變化。

解題方法

額定容量為 $S_B=200\ \text{kVA}$，低壓側額定電壓為 $V_{B,L}=240\ \text{V}$，高壓側額定電壓為 $V_{B,H}=2400\ \text{V}$。負載接在低壓側，且低壓端電壓為額定值，因此可直接用低壓側電壓基值計算負載實際阻抗。

(一) 負載阻抗換算

低壓側阻抗基值：

$$Z_{B,L}=\frac{V_{B,L}^2}{S_B} =\frac{240^2}{200\,000} =0.288\ \Omega$$

負載阻抗為 $Z_{\text{pu}}=1.2+j0.9$，故低壓側實際阻抗為

$$Z_L=(1.2+j0.9)(0.288) =0.3456+j0.2592\ \Omega$$

變壓器電壓比為

$$a=\frac{V_{B,H}}{V_{B,L}}=\frac{2400}{240}=10$$

折算至高壓側的阻抗為低壓側阻抗乘以 $a^2$：

$$Z'_L=a^2Z_L =100(0.3456+j0.2592) =34.56+j25.92\ \Omega$$

(二) 電流與功率

低壓側額定電流基值為

$$I_{B,L}=\frac{S_B}{V_{B,L}} =\frac{200\,000}{240} =833.33\ \text{A}$$

負載端電壓等於額定電壓，故其標么值為 $1\angle 0^\circ$。負載電流標么值：

$$I_{\text{pu}}=\frac{1}{1.2+j0.9} =\frac{1.2-j0.9}{1.2^2+0.9^2} =0.5333-j0.4 =0.6667\angle -36.87^\circ$$

因此低壓側負載電流實際值為

核心觀念

本題考同步電動機的同步轉速、三相輸入功率、功率角，以及忽略電樞電阻與損失時的輸出轉矩。

Y 接線時，線電壓與相電壓的關係為 $V_L=\sqrt{3}V_\phi$。同步轉速為 $n_s=120f/P$；三相實功率可由 $P_{\text{in}}=3V_\phi I_\phi\cos\phi$ 計算。題目忽略電樞電阻及損失，因此輸出功率等於輸入實功率。

同步電動機的每相相量方程式為

$$\underline V_\phi=\underline E_f+jX_s\underline I_\phi$$

其中 $\underline E_f$ 為內部感應電勢，$X_s$ 為同步電抗。電動機的功率角 $\delta$ 定義為端電壓與內部感應電勢的相角差；電動機運轉時，內部感應電勢落後端電壓。

解題方法

1. 計算同步轉速

題目給定極數 $P=10$、頻率 $f=50\text{ Hz}$：

$$n_s=\frac{120f}{P} =\frac{120\times 50}{10} =600\text{ rpm}$$

2. 計算輸出功率

題目所給 $200\text{ V}$ 為線電壓，且為 Y 接線，因此每相電壓為

$$V_\phi=\frac{V_L}{\sqrt{3}} =\frac{200}{\sqrt{3}}\text{ V}$$

相電流為 $25\text{ A}$，功率因數為 $1$，故

$$P_{\text{in}}=3V_\phi I_\phi\cos\phi =3\left(\frac{200}{\sqrt{3}}\right)(25)(1) =8660\text{ W}$$

忽略電樞電阻及損失，故

$$P_{\text{out}}=P_{\text{in}}=8660\text{ W}$$

3. 計算輸出轉矩

核心觀念

並激式直流電動機的激磁繞組與電樞並聯，故激磁電流為

$$I_f=\frac{V}{R_f}$$

線路輸入電流分為激磁電流與電樞電流：

$$I_a=I_{\text{in}}-I_f$$

電樞反電勢為 $E_a=V-I_aR_a$，電磁功率為 $P_{\text{em}}=E_aI_a$。忽略題目指定的損失後，電磁功率可視為電磁轉換的機械功率；電磁轉矩則由 $P_{\text{em}}=T_{\text{em}}\omega$ 求得。

解題方法

先求激磁電流及電樞電流：

$$I_f=\frac{120}{60}=2\text{ A}$$ $$I_a=10-2=8\text{ A}$$

輸入功率為

$$P_{\text{in}}=VI_{\text{in}}=120\times10=1200\text{ W}$$

電樞反電勢為

$$E_a=V-I_aR_a=120-(8)(0.8)=113.6\text{ V}$$

電磁功率為

$$P_{\text{em}}=E_aI_a=113.6\times8=908.8\text{ W}$$

轉速換算為角速度：

$$\omega=\frac{2\pi n}{60} =\frac{2\pi(1200)}{60} =40\pi\text{ rad/s}$$

因此電磁轉矩為

核心觀念

本題考查三相感應電動機的功率流與損失平衡。輸入功率扣除定子銅損及總鐵損後為氣隙功率；轉子銅損則由轉差率求得。軸輸出功率可由機械輸出轉矩與轉速計算，再加上機械旋轉損，即為機械功率。

六極、$60\text{ Hz}$ 電動機的同步轉速為

$$n_s=\frac{120f}{P}$$

轉差率為

$$s=\frac{n_s-n_r}{n_s}$$

其中 $f$ 為頻率、$P$ 為極數、$n_r$ 為轉子轉速。

解題方法

1. 計算效率

軸輸出功率為

$$P_{\text{out}}=T\omega =T\frac{2\pi n_r}{60} =82.5\times\frac{2\pi\times1158}{60} \approx 10{,}000.4\text{ W}$$

因此效率為

$$\eta=\frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}} =\frac{10{,}000.4}{11{,}500} \approx 0.8696$$ $$\eta\approx 86.96\%$$

2. 計算功率因數

Y 接線時，線電壓 $V_L=380\text{ V}$，線電流等於相電流 $I_L=I_\phi=21\text{ A}$。三相輸入功率為

$$P_{\text{in}}=\sqrt{3}V_LI_L\cos\phi$$

故

$$\cos\phi=\frac{11{,}500}{\sqrt{3}\times380\times21} \approx 0.8328$$

功率因數約為 $0.833$。

3. 計算定子銅損

Y 接線時相電流即線電流，定子銅損為

$$P_{\text{scu}}=3I_\phi^2R_1 =3\times21^2\times0.25 =330.75\text{ W}$$

4. 計算轉子銅損

同步轉速為