108 高普考高考二級 土木工程 高等工程力學（包括材料力學） 考古題詳解

核心觀念

本題考查楔形物的臨界平衡、庫侖靜摩擦，以及斜面幾何造成的相對運動。彈簧對物體 $B$ 的向下作用力為

楔形物 $A$ 向右即將滑動時，$A$ 與地面的摩擦力以及 $A$ 與 $B$ 間的摩擦力，均達到最大靜摩擦力 $\mu_sN$。滾輪無摩擦，因此不提供垂直方向的支持力。

解題方法

令斜面角度 $\theta=10^\circ$，摩擦係數 $\mu_s=0.35$。由圖可知，$A$ 向右移動時，受導引的 $B$ 向下移動。因而 $B$ 相對於 $A$ 沿斜面向左下滑，作用在 $B$ 上的摩擦力沿斜面向右上；作用在 $A$ 上的摩擦力則沿斜面向左下。

1. 求 $A$ 與 $B$ 接觸面的正向力

取 $B$ 的垂直方向平衡。接觸面的正向力 $N$ 對 $B$ 的向上分量為 $N\cos\theta$；摩擦力 $\mu_sN$ 的向上分量為 $\mu_sN\sin\theta$。因此

2. 求外力 $P$

核心觀念

此題考察彈簧與圓管並聯承受軸向作用時的平衡條件、變形相容與熱變形。蓋子無重量且無外力，因此彈簧的壓縮力與圓管的拉力大小相等：

$F_s=F_t$

取圓管原長 $L$ 為基準，令其最後伸長量為 $\delta_t$。圓管的總伸長包含熱伸長與受力伸長：

$\delta_t=\alpha_t L\Delta T+\frac{F_t}{k_t}$

彈簧的自由長度受熱後為 $L_1(1+\alpha_s\Delta T)$；其最後長度等於圓管長度 $L+\delta_t$，所以彈簧壓縮量為：

$\delta_s=L_1(1+\alpha_s\Delta T)-(L+\delta_t)$

解題方法

由 $L_1-L=\delta$，可將彈簧壓縮量改寫為：

$\delta_s=\delta+\alpha_sL_1\Delta T-\delta_t$

彈簧壓縮力為 $F_s=k_s\delta_s$，圓管拉力為 $F_t=k_t(\delta_t-\alpha_tL\Delta T)$。代入平衡條件 $F_s=F_t$：

解得圓管伸長量：

核心觀念

複合梁各材料黏結後，彎曲時具有相同曲率 $\kappa$，但應力會依楊氏模數而異：

其中 $\bar y$ 是複合截面的彈性中性軸。它的位置由各材料的 $E A$ 加權計算。鋁在上、鋼在下，因此兩材料的最大應力分別出現在截面頂端與底端。

解題方法

取截面底部為 $y=0$，令 $r=h_s/h_a$。中性軸位置為

代入 $E_s=210\ \mathrm{GPa}$、$E_a=70\ \mathrm{GPa}$，並以 $h_a$ 為長度單位：

鋁頂端與鋼底端同時達到容許應力時，

核心觀念

本題考截面彎曲時的彈性降伏與彈塑性應力分布。降伏力矩是截面最外緣首次達到降伏應力時的彎矩：

其中 $I_z$ 為截面對中性軸的二次矩，$c=h/2$。當翼板已達塑性、腹板仍保持彈性時，翼板應力取 $\pm\sigma_y$；腹板應力則由中性軸的零應力線性變化至翼板與腹板交界處的 $\pm\sigma_y$。

解題方法

截面上下、左右對稱，中性軸通過截面中心。外矩形尺寸為 $150\times300\ \mathrm{mm}$，內孔尺寸為 $110\times260\ \mathrm{mm}$。

先求截面二次矩：

截面最外緣距中性軸 $c=150\ \mathrm{mm}$，所以首次降伏力矩為

接著計算翼板達塑性、腹板仍彈性時的彎矩。上下翼板厚度各為

每片翼板面積為 $150(20)=3000\ \mathrm{mm^2}$，其形心距中性軸為 $140\ \mathrm{mm}$。兩片翼板的彎矩為

腹板總寬度為 $b-b_1=40\ \mathrm{mm}$，腹板高度為 $260\ \mathrm{mm}$。令 $y$ 自中性軸起算，腹板應力為 $\sigma(y)=\sigma_y y/130$，因此腹板彎矩為