111 高普考高考二級 土木工程 高等工程力學(包括材料力學) 考古題詳解

核心觀念

本題考核三維彈性力學（Three-Dimensional Elasticity）中之任意斜截面應力狀態分析與柯西應力公式（Cauchy's Stress Formula）：

1. 方向餘弦（Direction Cosines）：通過指定點之平面，其外法線單位向量 $\mathbf{n} = (n_x, n_y, n_z)^T$ 滿足單位向量性質： $n_x^2 + n_y^2 + n_z^2 = 1$
2. 柯西應力公式（面力向量 Traction Vector）：作用於法線方向為 $\mathbf{n}$ 之斜平面上，其單位面積之總力（即應力向量／面力向量 $\mathbf{T}$）可由應力張量矩陣 $[\boldsymbol{\sigma}]$ 與法線向量內積求得： $\mathbf{T} = [\boldsymbol{\sigma}]\mathbf{n}$
3. 題意名詞辨析：題目所稱之「總合力（總力）、正向力與剪力」，因題幹未給定斜平面之微元面積 $A$，在力學命題慣例上即指作用於該平面單位面積上的力，亦即總面力向量之大小（總應力 $T = |\mathbf{T}|$）、法向分量（正向應力 $\sigma_n$）以及切向分量（剪應力 $\tau$）。
4. 正交分解關係：面力向量可正交分解為法向應力分量與剪應力分量，滿足畢氏定理： $T^2 = \sigma_n^2 + \tau^2 \implies \tau = \sqrt{T^2 - \sigma_n^2}$

解題方法

步驟一：建立應力張量與法向向量

根據剪應力互等定理（$\sigma_{ij} = \sigma_{ji}$），建立對稱之應力張量矩陣 $[\boldsymbol{\sigma}]$ 與法線方向餘弦向量 $\mathbf{n}$：

$[\boldsymbol{\sigma}] = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 500 & 500 & 800 \\ 500 & 0 & -750 \\ 800 & -750 & -300 \end{bmatrix}$

$\mathbf{n} = \begin{bmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 \\ 1/2 \\ 1/\sqrt{2} \end{bmatrix}$

驗算單位向量條件： $n_x^2 + n_y^2 + n_z^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = 1 \quad \text{（合）}$

步驟二：計算斜平面上的應力向量（面力向量分量）

應用柯西公式 $\mathbf{T} = [\boldsymbol{\sigma}]\mathbf{n}$，計算各座標軸方向的分量 $T_x, T_y, T_z$：

$T_x = \sigma_{xx}n_x + \sigma_{xy}n_y + \sigma_{xz}n_z = 500\left(\frac{1}{2}\right) + 500\left(\frac{1}{2}\right) + 800\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 500 + 400\sqrt{2} \approx 1065.69$

$T_y = \sigma_{yx}n_x + \sigma_{yy}n_y + \sigma_{yz}n_z = 500\left(\frac{1}{2}\right) + 0\left(\frac{1}{2}\right) + (-750)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 250 - 375\sqrt{2} \approx -280.33$

$T_z = \sigma_{zx}n_x + \sigma_{zy}n_y + \sigma_{zz}n_z = 800\left(\frac{1}{2}\right) + (-750)\left(\frac{1}{2}\right) + (-300)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 25 - 150\sqrt{2} \approx -187.13$

步驟三：計算總合力（總應力大小 $T$）

總力之純量值為應力向量的模長： $T = |\mathbf{T}| = \sqrt{T_x^2 + T_y^2 + T_z^2}$

各分量平方展開： $T_x^2 = (500 + 400\sqrt{2})^2 = 250000 + 400000\sqrt{2} + 320000 = 570000 + 400000\sqrt{2}$

核心觀念

本題旨在評量材料力學中「平面應變轉換（Plane Strain Transformation）」與「等角應變花（Equiangular / Delta Strain Rosette，即 $60^\circ$ 應變花）」的解析能力。

1. 應變片量測特性：電阻式應變片（Strain Gage）僅能感測其軸線方向的正應變（Normal Strain），無法直接量測剪應變（Shear Strain）。因此，欲求得該點完整的平面應變狀態（包含 $\varepsilon_{xx}$、$\varepsilon_{yy}$、$\gamma_{xy}$ 共三個獨立未知數），必須在不同方向至少量測三組正應變。
2. 平面應變轉換公式：與 $x$ 軸夾角為 $\theta$（以逆時針方向為正）之軸線方向正應變 $\varepsilon_\theta$ 為： $\varepsilon_\theta = \varepsilon_{xx} \cos^2\theta + \varepsilon_{yy} \sin^2\theta + \gamma_{xy} \sin\theta \cos\theta$ 或利用倍角公式表示為： $\varepsilon_\theta = \frac{\varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy}}{2} + \frac{\varepsilon_{xx} - \varepsilon_{yy}}{2} \cos 2\theta + \frac{\gamma_{xy}}{2} \sin 2\theta$ 其中 $\varepsilon_{xx}$、$\varepsilon_{yy}$ 為面內正應變，$\gamma_{xy}$ 為面內工程剪應變（Engineering Shear Strain）。

解題方法

將量測方向 $\theta = 0^\circ$、$60^\circ$、$120^\circ$ 分別代入應變轉換方程式，建立三元一次聯立方程組求解。

步驟一：代入各應變片方向建立方程式

1. 對於 $0^\circ$ 方向（$\theta = 0^\circ$）： $\cos 0^\circ = 1, \quad \sin 0^\circ = 0$ $\varepsilon_0 = \varepsilon_{xx} (1)^2 + \varepsilon_{yy} (0)^2 + \gamma_{xy} (0)(1) = \varepsilon_{xx}$ 可直接求得： $\varepsilon_{xx} = \varepsilon_0 \quad \cdots\cdots\text{(式 1)}$

2. 對於 $60^\circ$ 方向（$\theta = 60^\circ$）： $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \quad \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\varepsilon_{60} = \varepsilon_{xx} \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \varepsilon_{yy} \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \gamma_{xy} \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)$ $\varepsilon_{60} = \frac{1}{4}\varepsilon_{xx} + \frac{3}{4}\varepsilon_{yy} + \frac{\sqrt{3}}{4}\gamma_{xy} \quad \cdots\cdots\text{(式 2)}$

3. 對於 $120^\circ$ 方向（$\theta = 120^\circ$）： $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}, \quad \sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\varepsilon_{120} = \varepsilon_{xx} \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \varepsilon_{yy} \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \gamma_{xy} \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)$ $\varepsilon_{120} = \frac{1}{4}\varepsilon_{xx} + \frac{3}{4}\varepsilon_{yy} - \frac{\sqrt{3}}{4}\gamma_{xy} \quad \cdots\cdots\text{(式 3)}$

步驟二：聯立求解 $\varepsilon_{yy}$ 與 $\gamma_{xy}$

核心觀念

將梁視為細長、等截面的懸臂桿，忽略固定端附近的局部三維效應。自重沿 $-z$ 方向，單位體積重力為 $\rho g$。以自由端截面中心 $O$ 為原點，$z$ 軸向上，因此自由端在 $z=0$，固定端在 $z=l$。

解題方法

取距自由端高度 $z$ 的橫截面。截面需承受其下方長度為 $z$ 的梁重，故軸力為 $\rho gAz$，其中 $A$ 為截面積。軸向正應力為

依一維桿件假設，其他正應力與剪應力忽略。由等向性材料的胡克定律，

軸向應變與位移的關係為 $\varepsilon_{zz}=\partial u_z/\partial z$。以固定端軸向位移 $u_z(l)=0$ 積分：

核心觀念

本題利用二維微分平衡方程，由已知的剪應力 $\tau_{xy}$ 求出 $\sigma_{yy}$。因題目指定 $y$ 方向向下，且梁頂面受向下的三角形分布載重，頂面法向應力為負值。

忽略體積力時，$y$ 方向平衡式為

解題方法

三角形分布載重沿梁長由自由端的 $0$ 線性增加至固定端的 $q_0$，所以

將題目給的剪應力對 $x$ 微分：

代入平衡式：

對 $y$ 積分，得到