109 高普考高考二級 土木工程 高等工程力學（包括材料力學） 考古題詳解

109 年・高普考・高考二級・土木工程
試題代碼 高等工程力學（包括材料力學）

第 一 題25 分

如圖 1 直角座標 xx-yy-zz 所示，某材料承受外力後，其內某立體元素（cubic element）所受三軸應力矩陣 σij\sigma_{ij} 如公式（1）所示，式中 σA\sigma_A 為未知數（σA>0\sigma_A>0）。此材料降伏應力（yield stress）σy=210 MPa\sigma_y=210\ \mathrm{MPa}，假設此立體元素之最大剪應力（maximum shear stress）τmax⁡\tau_{\max} 已達到材料之降伏剪應力（yield shear stress）τy\tau_y，試求 σA\sigma_A 值之大小。

σij=[σxxσxyσxzσyxσyyσyzσzxσzyσzz]=[σA0008045045−90] MPa(1)\sigma_{ij} = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz}\\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz}\\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sigma_A & 0 & 0\\ 0 & 80 & 45\\ 0 & 45 & -90 \end{bmatrix} \ \mathrm{MPa} \tag{1}

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核心觀念

對稱應力矩陣的特徵值就是主應力。三維應力狀態的最大剪應力為最大主應力與最小主應力之差的一半：

τmax⁡=σ1−σ32\tau_{\max}=\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}

依最大剪應力降伏準則（Tresca），單軸降伏應力為 σy\sigma_y 時，降伏剪應力為：

τy=σy2=2102=105 MPa\tau_y=\frac{\sigma_y}{2}=\frac{210}{2}=105\ \mathrm{MPa}

解題方法

應力矩陣可分成 xx 方向的 σA\sigma_A，以及 yy-zz 平面內的 2×22\times2 應力子矩陣：

[804545−90]\begin{bmatrix} 80&45\\ 45&-90 \end{bmatrix}

其主應力由特徵方程式求得：

λ=80+(−90)2±(80−(−90)2)2+452\lambda=\frac{80+(-90)}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{80-(-90)}{2}\right)^2+45^2} λ=−5±852+452=−5±9250\lambda=-5\pm\sqrt{85^2+45^2} =-5\pm\sqrt{9250}

因此，這兩個主應力為：

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第 二 題25 分

如圖 2 所示，懸臂梁 ABCABC 之矩形斷面為 25(b)×50(h) mm225(b)\times50(h)\ \mathrm{mm}^2，長為 1000 mm1000\ \mathrm{mm}，及彈性模數 EsE_s 為 210 GPa210\ \mathrm{GPa}。今有一物體 WW 質量為 5 kg5\ \mathrm{kg}，自梁 BB 點上方 200 mm200\ \mathrm{mm} 處往下掉落。

假設此物體 WW 落下與懸臂梁 ABCABC 撞擊後，即與懸臂梁 ABCABC 緊密黏結不再脫離；也假設懸臂梁 ABCABC 之自重可忽略不計。試求解下列問題（重力加速度 GG 為 9807.0 mm/sec29807.0\ \mathrm{mm/sec^2}）：

（一）物體 WW 撞擊後，造成懸臂梁 ABCABC 產生之最大應力為多少？（15 分）

（二）物體 WW 撞擊後，造成懸臂梁 ABCABC 在 BB 點產生之最大振幅（amplitude）及懸臂梁 ABCABC 振動頻率（frequency）各為多少？（10 分）

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核心觀念

將懸臂梁視為無質量的線彈性彈簧，物體黏在 BB 點後形成單自由度振動系統。BB 點距固定端 AA 為 a=800 mma=800\ \mathrm{mm}；BCBC 為無載自由段，故求 BB 點撓度時，只需考慮 ABAB 段。

先由懸臂梁撓度求 BB 點等效彈簧常數，再用能量法求最大撓度與振動振幅，並以簡諧振動公式求頻率。

解題方法

矩形斷面的慣性矩為

I=bh312=25(50)312=260416.7 mm4I=\frac{bh^3}{12} =\frac{25(50)^3}{12} =260416.7\ \mathrm{mm^4}

彈性模數換算為 Es=210000 N/mm2E_s=210000\ \mathrm{N/mm^2}。懸臂梁在距固定端 aa 處受集中力時，該點撓度為 Pa3/(3EsI)P a^3/(3E_sI)，因此 BB 點等效彈簧常數為

k=3EsIa3=3(210000)(260416.7)8003=320.435 N/mmk=\frac{3E_sI}{a^3} =\frac{3(210000)(260416.7)}{800^3} =320.435\ \mathrm{N/mm}

物體重量及其造成的靜撓度為

W=mg=(5)(9.807)=49.035 NW=mg=(5)(9.807)=49.035\ \mathrm{N} δs=Wk=49.035320.435=0.1530 mm\delta_s=\frac{W}{k} =\frac{49.035}{320.435} =0.1530\ \mathrm{mm}

物體自梁上方 H=200 mmH=200\ \mathrm{mm} 落下，碰撞前速度為 v0=2gHv_0=\sqrt{2gH}。碰撞後物體黏在梁上；在梁質量忽略的模型中，以能量平衡求最大向下撓度 ymax⁡y_{\max}：

12kymax⁡2=mg(H+ymax⁡)\frac12 k y_{\max}^2=mg(H+y_{\max})

整理得

ymax⁡=δs(1+1+2Hδs)=0.1530(1+1+4000.1530)≈7.98 mmy_{\max} =\delta_s\left(1+\sqrt{1+\frac{2H}{\delta_s}}\right) =0.1530\left(1+\sqrt{1+\frac{400}{0.1530}}\right) \approx 7.98\ \mathrm{mm}

（一）最大應力

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第 三 題25 分

如圖 3 所示，球半徑 rr 為 30 mm30\ \mathrm{mm}，質量 MM 為 0.2 kg0.2\ \mathrm{kg}，假設球與桌面之靜與動摩擦係數 μ\mu 均為 0.030.03。球桿中心離桌面高度為 hh，依水平方向往右撞擊球。球心軸之慣性矩

I0=25Mr2I_0=\frac{2}{5}Mr^2

重力加速度 G=9807 mm/s2G=9807\ \mathrm{mm/s^2}，試求解下列問題：

（一）假如球桿高度 hh 為 30 mm30\ \mathrm{mm}（即通過球心），球被撞擊後之起始速度為 750 mm/s750\ \mathrm{mm/s}，則球會滑動多少距離後才開始滾動？（15 分）

（二）假如此球一被撞擊後即開始滾動（純滾動），則球桿最小高度 hh 應為多少？（10 分）

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核心觀念

球離開球桿後，若接觸點相對桌面仍在滑動，桌面動摩擦力會使球的平移速度降低，同時使球產生自轉；達到接觸點瞬時速度為零時，球開始純滾動。純滾動條件為

v=rωv=r\omega

其中 vv 為球心速度，ω\omega 為角速度大小。球心軸慣性矩為 I0=25Mr2I_0=\frac25Mr^2。

（一）滑動距離

球桿通過球心，故撞擊後球只有平移速度，初始角速度為零。取向右為平移正方向、順時針角速度大小為正。滑動期間，動摩擦力大小為

F=μMgF=\mu Mg

因此球心的減速度大小為

a=FM=μga=\frac{F}{M}=\mu g

摩擦力對球心產生順時針力矩，故角加速度大小為

α=FrI0=μMgr25Mr2=5μg2r\alpha=\frac{Fr}{I_0} =\frac{\mu Mg r}{\frac25Mr^2} =\frac{5\mu g}{2r}

球開始純滾動時，平移速度等於 rωr\omega。由初始角速度為零，可寫成

v0−μgt=r(5μg2rt)v_0-\mu g t =r\left(\frac{5\mu g}{2r}t\right)

代入 v0=750 mm/sv_0=750\ \mathrm{mm/s}、μg=0.03(9807)=294.21 mm/s2\mu g=0.03(9807)=294.21\ \mathrm{mm/s^2}：

t=v072μg=75072(294.21)≈0.7283 st=\frac{v_0}{\frac72\mu g} =\frac{750}{\frac72(294.21)} \approx 0.7283\ \mathrm{s}

滑動期間球心的平移距離為

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第 四 題25 分

如圖 4 所示，長梁 ABCDEABCDE 由梁 ABCABC 與梁 CDECDE 組成，在 CC 點鉸接（hinged），AA 點為滾支承（rolled support），承受一彎矩 MA=100 kN⋅mM_A=100\ \mathrm{kN\cdot m}，GG 點承受集中載重 P=60 kNP=60\ \mathrm{kN}，EE 點為固定端，DEDE 段承受線性變化載重 q=6 kN/mq=6\ \mathrm{kN/m}。假設梁 ABCABC 與梁 CDECDE 之材質及斷面均相同，忽略梁自重，試求解下列問題：

（一）繪製此長梁 ABCDEABCDE 之剪力圖（shear diagram）。（15 分）

（二）繪製此長梁 ABCDEABCDE 之彎矩圖（moment diagram）。（10 分）

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核心觀念

本題利用內鉸 CC 將結構分成兩個自由體，先由靜力平衡求支承反力，再依剪力與彎矩的關係繪圖。AA 至 CC 的主梁在 BB 點接有剛性偏心臂 BFGBFG；臂端的集中力 PP 傳至 BB 時，等效為向下 60 kN60\ \mathrm{kN} 集中力及順時針力偶 120 kN⋅m120\ \mathrm{kN\cdot m}。

取逆時針外力矩為正，彎矩圖以正彎矩表示下凹（sagging），並採用 V=dM/dxV=dM/dx 的剪力符號。圖上 xx 自 AA 向右量；右段另以 u=x−9u=x-9 表示自 DD 起算的距離。

解題方法

先對 AA 至 CC 的構件取矩。CC 為內鉸，所以不傳遞彎矩；GG 的向下載重距 AA 為 4 m4\ \mathrm m。

∑MA=0:100−60(4)+5Cy=0⟹Cy=28 kN\sum M_A=0:\quad 100-60(4)+5C_y=0 \quad\Longrightarrow\quad C_y=28\ \mathrm{kN} ∑Fy=0:Ay+Cy−60=0⟹Ay=32 kN\sum F_y=0:\quad A_y+C_y-60=0 \quad\Longrightarrow\quad A_y=32\ \mathrm{kN}

因此右段在 CC 受到向下 28 kN28\ \mathrm{kN} 的鉸接力。三角形分布載重合力為

W=12(6)(6)=18 kNW=\frac12(6)(6)=18\ \mathrm{kN}

其作用點距 DD 為 4 m4\ \mathrm m，即距 CC 為 8 m8\ \mathrm m。右段固定端 EE 的反力為

Ey=28+18=46 kNE_y=28+18=46\ \mathrm{kN} ∑ME=0:ME+28(10)+18(2)=0⟹ME=−316 kN⋅m\sum M_E=0:\quad M_E+28(10)+18(2)=0 \quad\Longrightarrow\quad M_E=-316\ \mathrm{kN\cdot m}

這裡 MEM_E 的負號表示固定端反力矩為順時針。

（一）剪力圖

在主梁 AA 至 CC 上，AA 點反力使剪力為 −32 kN-32\ \mathrm{kN}；到 BB 點，偏心臂傳來向下 60 kN60\ \mathrm{kN}，剪力跳升 60 kN60\ \mathrm{kN}。BB 至 CC 剪力為 +28 kN+28\ \mathrm{kN}。

右段 CC 至 DD 的剪力亦為 +28 kN+28\ \mathrm{kN}。DD 至 EE 的分布載重強度為 q(u)=u kN/mq(u)=u\ \mathrm{kN/m}，故剪力隨 uu 二次增加：

V(u)=28+∫0us ds=28+u22,0≤u≤6V(u)=28+\int_0^u s\,ds=28+\frac{u^2}{2}, \qquad 0\le u\le6

關鍵剪力值如下：

位置AA 至 BBBB 至 CCCC 至 DDE−E^-
剪力 VV（kN）−32-32+28+28+28+28+46+46
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