109 高普考高考二級 土木工程 土壤力學（包括基礎工程） 考古題詳解

核心觀念

本題考查土壤力學中三軸壓縮試驗的應力路徑（Stress Path）理論。核心在於利用題目給定之劍橋（Cambridge）三維應力不變量定義，分別求得試驗各階段之總應力路徑（Total Stress Path, TSP）與有效應力路徑（Effective Stress Path, ESP）的軌跡與斜率：

1. 應力變量定義（軸對稱三軸條件，$\sigma_2 = \sigma_3$）：

• 平均總應力：$p = \frac{\sigma_1 + 2\sigma_3}{3}$，增量為 $\Delta p = \frac{\Delta\sigma_1 + 2\Delta\sigma_3}{3}$
• 平均有效應力：$p' = \frac{\sigma_1' + 2\sigma_3'}{3} = p - u$（$u$ 為孔隙水壓），增量為 $\Delta p' = \Delta p - \Delta u$
• 偏應力（剪應力指標）：$q = q' = \sigma_1 - \sigma_3 = \sigma_1' - \sigma_3'$，增量為 $\Delta q = \Delta\sigma_1 - \Delta\sigma_3$

2. 試驗兩階段：

• 第一階段（施加圍壓／等向壓密階段）：施加全方位等向圍壓 $\sigma_c$，此時 $\sigma_1 = \sigma_3 = \sigma_c$。
• 第二階段（剪力／軸向加壓階段）：維持側向圍壓不變（$\Delta\sigma_3 = 0$），單獨增加軸向應力 $\Delta\sigma_1$（即 $\Delta q = \Delta\sigma_1$）直至試體破壞。

3. 排水條件差異：

• 排水試驗（CD）：剪力階段閥門全開且加載極慢，超額孔隙水壓完全消散（$\Delta u = 0$），故有效應力等於總應力。
• 不排水試驗（CU）：剪力階段關閉閥門，土壤因剪縮或剪脹產生超額孔隙水壓（$\Delta u \neq 0$），導致 ESP 偏離 TSP。

解題方法

階段一：施加圍壓（等向壓密）階段（CD 與 CU 試驗皆相同）

試體自初始未受力狀態 $(p=0, q=0)$ 施加全方位圍壓 $\sigma_c$ 至壓密完成：

• 應力增量：$\Delta\sigma_1 = \Delta\sigma_3 = \sigma_c$。
• 總應力變化： $\Delta q = \sigma_c - \sigma_c = 0$ $\Delta p = \frac{\sigma_c + 2\sigma_c}{3} = \sigma_c$
• 壓密完成後，超額孔隙水壓消散為零（$u = 0$）： $\Delta p' = \Delta p - 0 = \sigma_c, \quad \Delta q' = 0$
• 幾何路徑：TSP 與 ESP 完全重合，皆為沿著橫軸（$q=0$）由原點 $(0, 0)$ 往右水平延伸至 $(\sigma_c, 0)$，斜率為 $0$。

階段二：剪力階段（軸向加壓，$\Delta\sigma_3 = 0, \Delta\sigma_1 > 0$）

1. 總應力路徑（TSP）推導（CD 與 CU 試驗通用）

在此階段，圍壓固定（$\Delta\sigma_3 = 0$），增加軸向偏應力 $\Delta\sigma_1$： $\Delta q = \Delta\sigma_1 - 0 = \Delta\sigma_1$ $\Delta p = \frac{\Delta\sigma_1 + 2(0)}{3} = \frac{\Delta\sigma_1}{3} = \frac{1}{3}\Delta q$

• 斜率推導： $\frac{\Delta q}{\Delta p} = \frac{\Delta q}{\frac{1}{3}\Delta q} = 3$
• 幾何軌跡：TSP 為由點 $(\sigma_c, 0)$ 出發，沿斜率 $3$（水平每增加 $1$ 單位，垂直上升 $3$ 單位）直線向右上方延伸。

2. (一) 三軸壓密排水試驗（CD Test）之有效應力路徑（ESP）

• CD 試驗全過程充分排水，無超額孔隙水壓蓄積，即 $\Delta u = 0$。
• 由有效應力原理： $\Delta\sigma_1' = \Delta\sigma_1, \quad \Delta\sigma_3' = \Delta\sigma_3 = 0$ $\Delta p' = \Delta p = \frac{1}{3}\Delta q$
• 幾何軌跡：ESP 與 TSP 完全重合，自 $(\sigma_c, 0)$ 起沿斜率 $3$ 向右上方延伸，直至碰觸破壞包絡線（$K_f$ 線，方程式為 $q = M p'$）破壞為止。

本題依命題當年（民國 109 年）內政部《建築物基礎構造設計規範》（第 6 章 基礎開挖）為準進行解析。

核心觀念

在深開挖工程中，擋土設施必須同時滿足「結構強度」與「地盤整體穩定性」。內政部《建築物基礎構造設計規範》規定開挖各階段均須進行破壞機制檢核：

1. 壁體內擠（貫入深度不足，Kick-out）：以最底層支撐為旋轉中心，開挖面以下主動土壓力大於被動土壓力與壁體抗剪力，導致壁端向開挖側踢出踢腳破壞。
2. 塑性隆起（Heaving）：常發生於軟弱黏土層。開挖面內外側土重落差導致地盤剪力破壞，黏土沿剪切滑動面向開挖底面擠出隆起。
3. 砂湧（Boiling / Piping）：常發生於砂性地層且存在地下水水頭差。向上滲流力抵消砂土有效應力，導致土壤顆粒懸浮、喪失剪力強度。
4. 上舉破壞（Uplift / Blowout）：開挖底面下方存在不透水層，而該不透水層底部具有承受高水頭之承壓含水層時，若開挖後殘留土重不足以抵抗向上承壓水壓，將導致底層破裂向上掀起。

解題方法

本題依規定自四種開挖破壞機制中，選取最經典、國考評分標準最高且具備明確計算基準的三項：(二) 塑性隆起、(三) 砂湧、(四) 上舉破壞，分別繪製計算示意圖並詳列安全係數檢討公式。（文末亦提供壁體內擠之補充公式以利全面掌握）。

一、開挖底面塑性隆起（Heaving）

1. 破壞機制示意圖

 ▼ 地表面
─────────────────┬───────────
 外側土層 │
 γ, c_u, φ=0 │ 擋土壁體
 (產生下陷) │ ▼ 開挖底面
 ├──支撐─────┬──────────────
 │ H │ 開挖底面
 │ │ (產生隆起)
 │ D │ B
─────────────┬───┴───────────┴──────────────
 │ R = B' (或壁底)
 │ ︵
 │ ／ ︶ 圓弧滑動面
 └────────────────

2. 安全係數檢討公式

塑性隆起主要發生於飽和軟弱黏土層（$\phi = 0$ 條件），主要檢討方法有二：

• 方法一：Terzaghi 支承力理論修正法 將開挖底面視為連續基礎，外側土體為超載，檢核安全係數 $FS$： $FS = \frac{c_u N_c B' + c_u D}{\gamma H B'} = \frac{c_u N_c}{\gamma H - \frac{c_u D}{B'}} \ge 1.5$ 式中：

• $c_u$：開挖底面附近黏土之未排水剪力強度（$\mathrm{kN/m^2}$）。
• $N_c$：支承力係數（依開挖深度與寬度比 $H/B$ 查表決定，一般長條開挖取 $5.14 \sim 5.7$）。
• $\gamma$：開挖面外側土壤之平均單位重（$\mathrm{kN/m^3}$）。
• $H$：開挖深度（$\mathrm{m}$）；$D$：擋土壁貫入深度（$\mathrm{m}$）。
• $B'$：受破壞剪動土體寬度，通常取 $B' = \frac{B}{\sqrt{2}}$（$B$ 為開挖區總寬度）。

• 方法二：圓弧滑動力矩平衡法（Moment Equilibrium Method） 以最下層支撐或擋土壁外側某點為轉動中心，取通過擋土壁底之滑動圓弧： $FS = \frac{\sum M_R}{\sum M_D} = \frac{\sum (c_u \cdot L_i \cdot R)}{\sum (W_i \cdot x_i) + M_q} \ge 1.5$ 式中：

• $\sum M_R$：圓弧滑動面上黏土抗剪強度提供之抵抗力矩。
• $\sum M_D$：開挖外側土體重量 $W_i$ 及地表超載 $q$ 對轉動中心產生的下滑驅動力矩。

二、開挖底面砂湧（Boiling）

1. 破壞機制示意圖

 ▼ 地下水位 (HWL)
───────▽─────────┬───────────
 砂質地層 │
 γ_sat, k │ 擋土壁
 │ ▼ 開挖底面 (底面水位)
 │ H │
 │ │
 │ D │ Terzaghi 破壞柱體
─────────────────┴─────┬─────┼───────
 滲流方向 │ D/2 │ D
 ↓ ↷ ↑ └─────┴───────
 └───────→───────┘ (出流處 i_e)

2. 安全係數檢討公式

砂湧多發生於砂土層，因壁體內外地下水位差 $\Delta h$ 產生向上滲流。規範提供兩種檢核途徑：

• 方法一：臨界水力坡降法（Critical Hydraulic Gradient Method） 檢核開挖底面逸出點之動水坡降是否小於臨界水力坡降： $FS = \frac{i_c}{i_e} \ge 1.5 \sim 2.0$ 式中：

• $i_c$：砂土之臨界水力坡降，由土壤有效單位重與水單位重決定： $i_c = \frac{\gamma'}{\gamma_w} = \frac{G_s - 1}{1 + e}$ （$G_s$ 為土壤比重，$e$ 為孔隙比，$\gamma'$ 為有效浮單位重）。
• $i_e$：開挖底面緊鄰擋土壁側之最大出流動水坡降（由滲流網 Flow Net 分析求得，即 $i_e = \frac{\Delta h_e}{\Delta l}$）。

• 方法二：Terzaghi 稜柱體抗浮法（Prism Method） 在擋土壁內側緊鄰壁體處，取一寬度為 $\frac{D}{2}$、深度為 $D$ 之土壤稜柱體，檢核向下有效自重與向上滲流總力之比值：

核心觀念

分層土壤的等值滲透係數，依滲流方向相對於土層方向計算：

• 滲流方向平行土層，採厚度加權算術平均： $k_h=\frac{\sum k_iH_i}{\sum H_i}$
• 滲流方向垂直土層，採厚度加權調和平均： $k_v=\frac{\sum H_i}{\sum \left(H_i/k_i\right)}$

圖示河床深度為地表下 $3.0\ \mathrm{m}$。因此河川兩側接觸第1層 $1.0\ \mathrm{m}$、第2層 $1.5\ \mathrm{m}$，以及第3層上部 $0.5\ \mathrm{m}$。河底下至不透水層則依序為第3層剩餘 $1.5\ \mathrm{m}$、第4層 $1.2\ \mathrm{m}$、第5層 $3.0\ \mathrm{m}$。

解題方法

（一）河川兩側的等值垂直與水平滲透係數

兩側土層總厚度為 $3.0\ \mathrm{m}$。將各層厚度與滲透係數代入公式：

垂直等值滲透係數為：

核心觀念

本題考查穩定滲流的流網與總水頭。總水頭為

$h=z+\frac{u}{\gamma_w}$

其中 $z$ 為高程水頭，$u/\gamma_w$ 為壓力水頭。流線表示水流方向；等勢能線上的總水頭相同，並與流線正交。

排水毯是可排水邊界，水可由砂土流入排水毯，再向下流至排水管。因此，砂土與排水毯的 $AC$ 界面不是流線。界面各處的水頭隨高程改變，也不是等勢能線。

解題方法

以排水毯為理想自由排水邊界，界面壓力為大氣壓，故 $u=0$，界面上的總水頭等於高程：

$h=z+\frac{u}{\gamma_w}=z$

流網可依邊界條件繪製：地表水位同地表，為總水頭 $6\text{ m}$ 的等勢邊界；牆底下方不透水層為流線；排水毯界面為水頭隨高程變化的排水邊界。流線由地表附近進入砂土，彎曲流向排水毯，最後沿排水毯流向排水管；等勢能線須與流線正交。下圖為示意，線形及間距不按比例。