111 高普考高考二級 土木工程 土壤力學(包括基礎工程) 考古題詳解

核心觀念

本題旨在考驗大地工程中古典側向土壓力理論——庫倫（Coulomb）土壓力理論（1776）之基本力學架構、滑動面幾何假設及其在極限平衡分析中的工程極限與限制。涉及之核心觀念包含：

1. 庫倫極限平衡法（Limit Equilibrium Method）：將滑動土體視為剛性楔體（Rigid wedge），考慮牆背粗糙摩擦角 $\delta$、牆背傾角 $\alpha$、背填土坡角 $\beta$ 及土壤內摩擦角 $\phi$。
2. 極值定理（Critical Slip Surface）：

• 主動狀態：尋找使牆背承受推力為最大之破壞面（$P_a = \max$）。
• 被動狀態：尋找使填土抵抗牆體推力為最小之破壞面（$P_p = \min$）。

3. 實際破壞面幾何與邊界應力旋轉：邊界剪應力（牆背摩擦力 $\delta$）導致主應力方向旋轉，使得真實滑動面偏離平面，形成對數螺旋（Logarithmic spiral）曲面或複合滑動面。

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解題方法

一、庫倫主動與被動土壓力之適用條件與滑動面假設

1. 適用條件（基本假設）

• 土壤性質：背填土為等向、均質之粒狀砂土（凝聚力 $c = 0$；若推廣至 $c-\phi$ 土壤則破壞面仍依剪力強度準則判定），強度遵循莫爾–庫倫（Mohr-Coulomb）破壞準則：$\tau_f = \sigma' \tan\phi$。
• 剛性楔體：破壞土體為一剛體（Rigid body），土體內部不考慮應變與漸進式破壞。
• 邊界摩擦：牆背與土壤間存在界面摩擦角 $\delta$（通常取 $\delta = \frac{1}{2}\phi \sim \frac{2}{3}\phi$），能處理傾斜牆背及傾斜地表。
• 足夠位移量：擋土結構必須產生足夠之側向位移以充分發揮極限抗剪強度：
• 主動狀態（牆向外平移/傾倒）：所需位移量較小，約 $\Delta x \approx (0.001 \sim 0.004)H$。
• 被動狀態（牆向土體推擠）：所需位移量甚大，約 $\Delta x \approx (0.01 \sim 0.05)H$。
• 二維平面應變：視為平面應變（Plane strain）問題，忽略擋土結構兩端之邊界效應。

2. 滑動面假設

• 庫倫理論假設破壞時之滑動面為通過牆趾（Toe of wall）的單一平面（Planar failure surface）。

3. 作用力圖與力平衡幾何

【主動土壓力（Active State）】 【被動土壓力（Passive State）】
 牆向外平移/傾倒，土體向下、向外滑動 牆向內推擠，土體向上、向後隆起
 地表面 (坡度 β) 地表面 (坡度 β)
 / /
 / /
 |\ / |\ /
 | \ / 破壞滑動面 (θ_A) | \ / 破壞滑動面 (θ_P)
 | \/ | \/
 | / \ | / \
 | / \ W (自重) | / \ W (自重)
 |/ \ |/ \
 +--------\------- +--------\-------
 牆趾 \ R (偏法線 φ 角) 牆趾 \ R (偏法線 φ 角)
 
 牆背受力：Pa 向上偏斜 (與法線夾 δ) 牆背受力：Pp 向下偏斜 (與法線夾 δ)
 (土體相對向下位移，引發向上摩擦阻力) (土體相對向上位移，引發向下摩擦阻力)

• 主動狀態力平衡：滑動楔體受自重 $W$、滑動面反力 $R$（與滑動面法線夾 $\phi$ 角）、牆背反力 $P_a$（與牆背法線夾 $\delta$ 角，方向朝上阻抗土體下移）。由力的封閉三角形： $P_a = \frac{W \sin(\theta_A - \phi)}{\sin(\theta_A - \phi + \alpha + \delta)}$ 經由臨界條件 $\frac{\partial P_a}{\partial \theta_A} = 0$，求得最大值即為庫倫主動土壓力。

• 被動狀態力平衡：滑動楔體受自重 $W$、滑動面反力 $R$（與滑動面法線夾 $\phi$ 角）、牆體推力 $P_p$（與牆背法線夾 $\delta$ 角，方向朝下阻抗土體上移）。由力的封閉三角形： $P_p = \frac{W \sin(\theta_P + \phi)}{\sin(\theta_P + \phi - \alpha - \delta)}$ 經由臨界條件 $\frac{\partial P_p}{\partial \theta_P} = 0$，求得極小值即為庫倫被動土壓力。

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二、庫倫滑動面假設與地層實際滑動面狀況之差異

比較項目	庫倫理論假設	地層內實際滑動面狀況
主動狀態 (Active)	通過牆趾之單一平面。	複合曲面（極接近平面）：近牆背處因摩擦角 $\delta$ 產生輕微曲度，但主應力偏轉角小，整體極限破壞面與平面差距甚微。
被動狀態 (Passive)	通過牆趾之單一平面。

核心觀念

1. 現地垂直有效應力（Effective Overburden Pressure, $\sigma'_{v0}$）： 土壤在現地特定深度處所承受之有效垂直應力，需扣除地下水位以下之靜水孔隙水壓： $\sigma'_{v0} = \sigma_{v0} - u_0$
2. 正常壓密黏土之不排水剪力強度推估（Theoretical $s_u / \sigma'_{v0}$ Relationship）： 黏土於未排水剪切破壞時，其剪力強度由破壞面之極限有效應力狀態決定。依據 Mohr-Coulomb 破壞準則結合 Skempton 孔隙水壓參數 $A_f$ 及現地靜止側向土壓力係數 $K_0$，可推導出正常壓密（NC）黏土之不排水剪力強度比公式（Kenney 公式）： $\frac{s_u}{\sigma'_{v0}} = \frac{[K_0 + A_f(1-K_0)]\sin\phi'}{1 + (2A_f - 1)\sin\phi'}$
3. 實驗室未壓密不排水三軸試驗（UU 試驗）之機制與限制： UU 試驗之圍壓在不允許排水條件下施加，飽和試樣之孔隙水壓參數 $B = 1$，圍壓增加全由孔隙水壓承受，有效應力不變。試樣強度完全由取樣後殘留之有效應力（吸力）決定，深受取樣擾動與應力釋放影響。

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解題方法

一、推估土層深度 $15\ \mathrm{m}$ 處之現地不排水剪力強度

步驟 1：計算深度 $15\ \mathrm{m}$ 之現地垂直有效應力 $\sigma'_{v0}$

• 地下水位面（GWT）位於地表下 $2\ \mathrm{m}$。
• 地表至 $2\ \mathrm{m}$ 之土壤未特別指定時，依慣例視為近飽和或同單位重，取 $\gamma = 18\ \mathrm{kN/m^3}$；地下水單位重取 $\gamma_w = 9.81\ \mathrm{kN/m^3}$（若取 $\gamma_w = 10\ \mathrm{kN/m^3}$ 亦列出對照）。
• 總應力 $\sigma_{v0}$： $\sigma_{v0} = 15\ \mathrm{m} \times 18\ \mathrm{kN/m^3} = 270\ \mathrm{kN/m^2}$
• 靜水孔隙水壓 $u_0$： $u_0 = (15 - 2)\ \mathrm{m} \times 9.81\ \mathrm{kN/m^3} = 13 \times 9.81 = 127.53\ \mathrm{kN/m^2}$ （若採 $\gamma_w = 10\ \mathrm{kN/m^3}$，則 $u_0 = 13 \times 10 = 130\ \mathrm{kN/m^2}$）
• 現地垂直有效應力 $\sigma'_{v0}$： $\sigma'_{v0} = \sigma_{v0} - u_0 = 270 - 127.53 = 142.47\ \mathrm{kN/m^2}$ （若採 $\gamma_w = 10\ \mathrm{kN/m^3}$，則 $\sigma'_{v0} = 270 - 130 = 140\ \mathrm{kN/m^2}$）

步驟 2：推導不排水剪力強度比公式

• 依 Jaky 經驗式，正常壓密土層之靜止側向土壓力係數為： $K_0 = 1 - \sin\phi' = 1 - \sin 30^\circ = 0.5$
• 現地剪切至破壞時之應力狀態： $\Delta\sigma_1 = 2s_u - (1 - K_0)\sigma'_{v0}$，圍壓不變下 $\Delta u = A_f \Delta\sigma_1$。 在破壞時滿足 Mohr-Coulomb 準則（有效凝聚力 $c'=0$）： $\sin\phi' = \frac{\sigma'_{1f} - \sigma'_{3f}}{\sigma'_{1f} + \sigma'_{3f}}$ 整理後可得不排水剪力強度比： $\frac{s_u}{\sigma'_{v0}} = \frac{[K_0 + A_f(1-K_0)]\sin\phi'}{1 + (2A_f - 1)\sin\phi'}$

步驟 3：代入土層參數推估強度

• 正常壓密黏土在剪切破壞時之孔隙水壓參數 $A_f$ 通常介於 $0.7 \sim 1.0$。
• 當取標準假設 $A_f = 1.0$ 時： 分子項中 $K_0 + 1.0(1 - K_0) \equiv 1$，與 $K_0$ 無關，公式簡化為： $\frac{s_u}{\sigma'_{v0}} = \frac{\sin\phi'}{1 + \sin\phi'} = \frac{\sin 30^\circ}{1 + \sin 30^\circ} = \frac{0.5}{1 + 0.5} = \frac{1}{3} \approx 0.333$
• 代入有效應力計算不排水剪力強度 $s_u$： $s_u = \frac{1}{3} \times 142.47\ \mathrm{kN/m^2} \approx 47.49\ \mathrm{kN/m^2}\ (\mathrm{kPa})$ （若採 $\gamma_w = 10\ \mathrm{kN/m^3}$，則 $s_u = \frac{1}{3} \times 140 \approx 46.67\ \mathrm{kPa}$）

核心觀念

本題考驗**太沙基單向度壓密理論（Terzaghi's 1-D Consolidation Theory）應用於預壓密工法（Preloading / Surcharge Method）**之計算，核心包含以下觀念與公式：

1. 正常壓密黏土（NC Clay）之最終主壓密沉陷量（Ultimate Primary Consolidation Settlement, $S_c$）： $S_c = \frac{C_c \cdot H}{1 + e_0} \log_{10}\left(\frac{\sigma'_0 + \Delta\sigma}{\sigma'_0}\right)$ 其中 $\sigma'_0$ 為黏土層中央深度之初始有效覆蓋應力，$H$ 為黏土層厚度。
2. 無因次時間因子（Time Factor, $T_v$）與排水條件： $T_v = \frac{c_v \cdot t}{H_{\mathrm{dr}}^2}$ 其中 $H_{\mathrm{dr}}$ 為最長排水路徑。頂部堆砂、底部為排水層，屬於雙向排水，取 $H_{\mathrm{dr}} = H / 2$。
3. 平均壓密度（Average Degree of Consolidation, $U$）：

• 當 $U \le 60\%$：$T_v = \frac{\pi}{4}\left(\frac{U}{100}\right)^2$
• 當 $U > 60\%$：$T_v = 1.781 - 0.933 \log_{10}(100 - U\%)$（或由一維壓密解析解理論公式求得） 特定時間 $t$ 之沉陷量為 $S_t = U \times S_c$。

4. 預壓密工法與殘餘沉陷量（Residual Settlement, $S_{\mathrm{res}}$）機制： 預壓工法之目的係利用預壓載重 $\Delta\sigma_p$ 在工期內預先達成之沉陷量 $S_t$，消弭正式工程載重 $\Delta\sigma_f$ 所引發之最終主壓密沉陷量 $S_{c(f)}$。

• 若 $S_t \ge S_{c(f)}$，則主壓密沉陷已完全消除，殘餘主壓密沉陷為 $0$。
• 若 $S_t < S_{c(f)}$，表示預壓時間不足，移除後再施加正式工程載重，仍有尚未完成之主壓密沉陷量： $S_{\mathrm{res}} = S_{c(f)} - S_t$ （註：本題未提供解壓回脹指數 $C_s$，依國家考試慣例忽略卸載回脹與再壓縮量，殘餘沉陷量即為尚未完成之主壓密沉陷量）。

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解題方法

步驟一：計算現地初始有效覆蓋應力 $\sigma'_0$

地下水位位於地表，全層飽和，取黏土層中央代表點深度 $z = \frac{12}{2} = 6\ \mathrm{m}$。 水的單位重取標準值 $\gamma_w = 9.81\ \mathrm{kN/m^3}$： $\gamma' = \gamma_{\mathrm{sat}} - \gamma_w = 17.5 - 9.81 = 7.69\ \mathrm{kN/m^3}$ $\sigma'_0 = \gamma' \cdot z = 7.69 \times 6 = 46.14\ \mathrm{kN/m^2}$

步驟二：計算時間因子 $T_v$ 與平均壓密度 $U$

地表堆置砂土（透水層），下方亦為排水地層，屬雙向排水： $H_{\mathrm{dr}} = \frac{H}{2} = \frac{12}{2} = 6\ \mathrm{m}$ 預壓時間 $t = 1\ \text{年} = 365 \times 24 \times 3600 = 31,536,000\ \text{s}$。 壓密係數 $c_v = 0.004\ \mathrm{cm^2/s} = 4 \times 10^{-7}\ \mathrm{m^2/s}$。 $T_v = \frac{c_v \cdot t}{H_{\mathrm{dr}}^2} = \frac{4 \times 10^{-7} \times 31,536,000}{6^2} = \frac{12.6144}{36} = 0.3504$

因 $T_v = 0.3504 > 0.2827$（對應 $U=60\%$），採用 $U > 60\%$ 之公式： $T_v = 1.781 - 0.933 \log_{10}(100 - U)$ $0.3504 = 1.781 - 0.933 \log_{10}(100 - U)$ $\log_{10}(100 - U) = \frac{1.781 - 0.3504}{0.933} = 1.5333$ $100 - U = 10^{1.5333} \approx 34.14 \implies U \approx 65.86\%$

步驟三：計算預壓一年後可達成之壓密沉陷量 $S_1$

在預壓應力 $\Delta\sigma_p = 500\ \mathrm{kN/m^2}$ 作用下之最終主壓密沉陷量 $S_{c(p)}$： $S_{c(p)} = \frac{C_c \cdot H}{1 + e_0} \log_{10}\left(\frac{\sigma'_0 + \Delta\sigma_p}{\sigma'_0}\right)$

核心觀念

本題考核黏土層中**群樁基礎（Pile Group）之極限承載力、破壞機制與群樁效率（Group Efficiency）**之整合計算，主要涵蓋以下核心觀念與公式：

1. 單樁極限承載力（Single Pile Capacity）：

• 包含底部端阻力 $Q_p$ 與側摩擦阻力 $Q_s$： $Q_u = Q_p + Q_s$
• 飽和黏土層深基礎之單樁端阻力，依不排水分析（$\phi=0$），極限端阻力係數取 $N_c^* = 9$： $Q_p = q_p A_p = 9 C_u A_p$
• 單樁抗拉拔試驗（Tension/Uplift Test）：極限抗拉拔力 $T_u$ 由側表面摩擦力 $Q_s$ 與樁體自重 $W$ 共同提供： $T_u = Q_s + W$ 若考慮地下水位以下之浮力影響，樁自重取有效重量（浮重）$W'$。

2. 群樁破壞模式與群樁效率：

• 群樁效率定義為： $\eta = \frac{Q_{g(u)}}{\sum Q_u}$
• 黏土中群樁可能發生兩種破壞機制：

1. 個別單樁破壞總和：各單樁獨立達到極限承載力，$\sum Q_u = n \cdot Q_u$。
2. 塊體破壞（Block Failure）：群樁與樁間土壤形成一整體虛擬塊體下陷，極限承載力為 $Q_{g(u),\mathrm{block}} = Q_{pg} + Q_{sg}$。

• 群樁之極限承載力取二者之較小值： $Q_{g(u)} = \min \left\{ Q_{g(u),\mathrm{block}},\ \sum Q_u \right\}$
• 個別單樁效益發揮到最大：代表群樁效率達到 $100\%$（即 $\eta = 1.0$）。在避免塊體破壞控制的前提下，使塊體極限承載力恰等於單樁總承載力： $Q_{g(u),\mathrm{block}} = \sum Q_u$ 此時對應之樁距 $s$ 即為發揮最大效益之臨界間距，且此時之群樁極限承載力即為 $\sum Q_u$。

3. 塊體承載力公式：

• 塊體側表面剪切發生於土體內部，黏著係數 $\alpha = 1.0$： $Q_{sg} = P_g L C_u$
• 塊體底承力採用黏土承載力理論（Skempton 公式，基準係數 $N_{c0} = 5.0$）配合題目給定之形狀與深度修正係數： $q_{pg} = C_u N_{c0} F_{sc} F_{dc}$ $Q_{pg} = q_{pg} A_g$

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解題方法

1. 求單樁承載力 $Q_u$ 與 $\sum Q_u$：

• 計算單樁截面積 $A_p$。
• 計算單樁在水位上、下的有效自重 $W'_p$。
• 利用抗拉拔試驗求得單樁極限側阻力 $Q_s = T_u - W'_p$。
• 計算樁底端阻力 $Q_p = 9 C_u A_p$，求得 $Q_u$ 及 $2 \times 2$ 群樁（$n = 4$）之總和 $\sum Q_u$。

2. 建立塊體破壞承載力 $Q_{g(u),\mathrm{block}}$ 之函數關係：

• 設樁中心間距為 $s$，塊體為正方形，其邊長為 $B = L = s + D$。
• 計算塊體周長 $P_g$ 及底面積 $A_g$。
• 將題目給定之 $F_{sc}$ 與 $F_{dc}$ 帶入計算塊體底承力 $Q_{pg}$，並加上側阻力 $Q_{sg}$，整理為 $B$ 的一元二次多項式。

3. 求解臨界樁距 $s$ 與極限承載力 $Q_{g(u)}$：

• 令 $Q_{g(u),\mathrm{block}} = \sum Q_u$，解二次方程式求出塊體寬度 $B$，進而求得樁中心距 $s = B - D$。
• 此時群樁極限承載力即等於 $\sum Q_u$。

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計算步驟與推導

步驟 1：單樁幾何尺寸與自重計算

• 單樁直徑 $D = 0.5\ \mathrm{m}$，貫入深度 $L = 18\ \mathrm{m}$。
• 單樁截面積： $A_p = \frac{\pi}{4} D^2 = \frac{\pi}{4} (0.5)^2 \approx 0.19635\ \mathrm{m^2}$
• 地下水位於地表下 $2\ \mathrm{m}$ 處，樁身上部 $2\ \mathrm{m}$ 為無水區，下部 $16\ \mathrm{m}$ 位於水位以下。
• 樁身有效自重（考慮浮力，取水單位重 $\gamma_w = 9.81\ \mathrm{kN/m^3}$）： $W'_p = A_p \left[ 2 \times \gamma_c + 16 \times (\gamma_c - \gamma_w) \right]$ $W'_p = 0.19635 \times \left[ 2 \times 23 + 16 \times (23 - 9.81) \right] = 0.19635 \times [46 + 211.04] \approx 50.47\ \mathrm{kN}$

步驟 2：單樁極限側阻力 $Q_s$ 與端阻力 $Q_p$

• 由單樁抗拉拔試驗，極限抗拔力 $T_u = 1400\ \mathrm{kN}$： $T_u = Q_s + W'_p \implies Q_s = 1400 - 50.47 = 1349.53\ \mathrm{kN}$
• 題目規定樁底承載力不能忽略，黏土深基礎單樁端阻力： $q_p = 9 C_u = 9 \times 35 = 315\ \mathrm{kPa}$ $Q_p = q_p A_p = 315 \times 0.19635 \approx 61.85\ \mathrm{kN}$
• 單樁極限承載力 $Q_u$： $Q_u = Q_p + Q_s = 61.85 + 1349.53 = 1411.38\ \mathrm{kN}$
• $2 \times 2$ 群樁（共 $4$ 支單樁）個別承載力總和：