114 高普考高考二級 土木工程 土壤力學（包括基礎工程） 考古題詳解

核心觀念

一維壓密試驗以固結環限制土樣側向變形，逐級增加垂直有效應力，量測土樣厚度隨時間的變化。試驗結果可繪成 $e-\log \sigma'_v$ 圖與變形量－時間圖，分別求得壓縮指數、再壓縮指數及壓密係數。

• 壓縮指數 $C_c$：正常壓密土在原始壓密曲線（virgin compression line）上的斜率，代表土壤在高於先期壓密壓力後的壓縮性。
• 再壓縮指數 $C_r$ 或膨脹指數 $C_s$：卸載回脹曲線或再加載曲線的斜率，代表低於先期壓密壓力範圍內的體積變化。
• 壓密係數 $C_v$：描述超額孔隙水壓消散、壓密隨時間發展的快慢。
• 滲透係數 $k$：由壓密係數、土壤體積壓縮性與水的單位重聯繫求得。

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（一）由一維壓密試驗求 $C_c$ 與 $C_r$ 或 $C_s$

試驗與繪圖程序

1. 將飽和土樣置於固結環內，通常上下設多孔石，施加垂直荷重；固結環限制側向變形，因此土樣主要產生垂直壓縮。
2. 每一級荷重下記錄沉陷量隨時間的變化；待該級壓密大致完成後，再施加下一級荷重。荷重逐級增加，之後可逐級卸載；若要觀察再壓縮，也可再加載。
3. 依各荷重階段的試體厚度變化計算孔隙比 $e$，以垂直有效應力 $\sigma'_v$ 為橫軸、孔隙比 $e$ 為縱軸，橫軸採對數刻度，繪製 $e-\log \sigma'_v$ 曲線。

試體完全飽和且固體體積不變時，可用試體厚度換算孔隙比。若初始孔隙比為 $e_0$，初始厚度為 $H_0$，某階段壓縮量為 $\Delta H$，則：

$$e=e_0-\frac{\Delta H}{H_0}(1+e_0)$$

指數的取法

孔隙比 e
 ↑
 │ ● 先期壓密壓力 σ′p
 │ ╱ ╲
 │ ╱ ╲ 卸載／再加載段：Cr 或 Cs
 │ ╱ ╲
 │ ╱ ╲________
 │ ╱ ╲ 原始壓密直線段：Cc
 └────────────────────────→ log σ′v
 σ′p σ′v

選取曲線各線性區段的兩點，以斜率絕對值計算：

• 壓縮指數 $C_c$：在先期壓密壓力 $\sigma'_p$ 以上的原始壓密直線段取兩點 $(\sigma'_{v1},e_1)$、$(\sigma'_{v2},e_2)$，其中 $\sigma'_{v2}>\sigma'_{v1}$：

$$C_c=\frac{e_1-e_2}{\log_{10}(\sigma'_{v2}/\sigma'_{v1})}$$

• 再壓縮指數 $C_r$ 或膨脹指數 $C_s$：在卸載回脹段或再加載段取兩點，依同一斜率形式計算：

$$C_r\ \text{或}\ C_s =\frac{e_1-e_2}{\log_{10}(\sigma'_{v2}/\sigma'_{v1})}$$

斜率使用絕對值表示，因此指數為正值。$C_r$ 常用於描述先期壓密壓力以下的再壓縮；$C_s$ 常用於描述卸載時的回脹。兩者皆由 $e-\log \sigma'_v$ 圖上相應線段的斜率取得。

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（二）由 $e-\log t$ 圖法及 $e-t$ 圖法求 $C_v$

試驗在某一固定荷重階段記錄時間 $t$ 與沉陷量，將讀值換算為孔隙比後作圖。由於同一階段試體面積及固體體積不變，孔隙比變化與沉陷量成線性關係，故也可直接用變形量－時間曲線判讀。

計算時採用排水路徑長度 $H_{dr}$：

• 上、下兩面均可排水時，$H_{dr}$ 約為試體厚度的一半。
• 只有單面排水時，$H_{dr}$ 約為試體厚度全長。

$H_{dr}$ 應採該壓密階段適用的試體排水路徑長度。

1. $e-\log t$ 圖法（Casagrande 對數時間法）

孔隙比 e
 ↑
e0│●
 │ ╲
 │ ╲
 │ ╲___ 初級壓密曲線
 │ ╲___
e50│---------●──────── e50=(e0+e100)/2
 │ ╲______
e100│───────────────●── 切線與次壓密直線交點
 └────────────────────→ log t
 t50

程序如下：

1. 將孔隙比 $e$ 對 $\log t$ 作圖。
2. 以曲線初期近似直線段外推，取得初始孔隙比 $e_0$。實務上可取早期兩個時間讀值，例如 $t_2=4t_1$，利用該兩點讀值差校正初始讀值；若以沉陷量讀值 $d_1,d_2$ 表示，初始讀值可估為 $d_0=2d_1-d_2$。
3. 在曲線反曲附近作切線，並延長次壓密直線；兩者交點所對應的孔隙比作為 $e_{100}$，即 $100\%$ 初級壓密的判讀值。
4. 求 $50\%$ 壓密所對應的孔隙比：

（一）Peck（1969）視土壓力包絡線

核心觀念

支撐開挖時，土壓力會因開挖與支撐施工順序、土體變形及支撐受力重分配而改變，實際分布通常不等同於單純的 Rankine 主動土壓力分布。Peck 的視土壓力包絡線，是根據支撐開挖案例中量測的支撐荷重，提出供支撐與擋土構件設計使用的經驗包絡線。

令 $z$ 為地表以下深度，$\gamma$ 為土壤單位重，$H$ 為開挖深度；黏土的不排水剪力強度為 $c_u=q_u/2$。

各土層建議分布

1. 砂土層：均布矩形

取 Rankine 主動土壓力係數

$$K_a=\tan^2\left(45^\circ-\frac{\phi'}{2}\right)$$

視土壓力採均布值：

$$p_a=0.65K_a\gamma H$$

因此包絡線自地表至開挖底深度皆為 $p_a$。

側壓 p →
地表 ┌──────── 0.65 Ka γH
│
│
開挖底└────────
深度 H

2. 軟至中等黏土層：均布矩形

以無圍壓縮強度表示時，視土壓力可寫為

$$p_a=\gamma H-4c_u =\gamma H-2q_u$$

若採 Peck 圖式中的係數寫法，則 $p_a=K_a\gamma H$，其中

$$K_a=1-m\frac{4c_u}{\gamma H} =1-m\frac{2q_u}{\gamma H}$$

軟黏土取 $m=0.4$，中等黏土取 $m=1$。視土壓力為均布，若計算值低於零，設計上不取負值。

側壓 p →
地表 ┌──────── pa
│
│
開挖底└────────
深度 H

3. 硬黏土層：梯形包絡線

硬黏土採梯形分布：上、下端壓力約為 $0.2\gamma H$，中間較大；常以約 $0.4\gamma H$ 作為中段設計壓力。圖示可表示為上、下端壓力較小、中段壓力較大的梯形包絡線。

側壓 p →
地表 ┌────── 約 0.2γH
│ \
│ ├── 約 0.4γH
│ /
開挖底 └────── 約 0.2γH
深度 H

解題技巧

先辨識土類，再決定包絡線形狀：砂土與軟至中等黏土用均布矩形；硬黏土用梯形。砂土式中的 $0.65$ 是 Peck 視土壓力經驗係數，不是 Rankine 土壓力係數本身。

（二）砂土層三橫撐受力與板樁最大彎矩

解題方法

砂土層先依（一）求均布側壓 $p_a=0.65K_a\gamma H$。三道橫撐等間距，且上下端距離與支撐間距相同，因此每一段長度為

$$s=\frac{H}{4}$$

支撐高程為 $H/4$、$H/2$、$3H/4$。對各橫撐取其分擔的板樁高度，乘上側壓與同高程支撐間距 $B$，即可求橫撐力。

地表 p = pa（均布）
 │
 │ 高 H/4：上端懸臂
第一道撐 ──┤ z = H/4
 │ 支撐間距 H/4
第二道撐 ──┤ z = H/2
 │ 支撐間距 H/4
第三道撐 ──┤ z = 3H/4
 │ 高 H/4：下端懸臂
開挖底 ────┘ z = H

1. 砂土層橫撐支撐力

以相鄰支撐中點作為分擔範圍邊界。最上、最下道支撐各分擔高度 $3H/8$；中間道支撐分擔高度 $H/4$。因此每道橫撐的軸向力為：

$$P_1=p_aB\left(\frac{3H}{8}\right),\qquad P_2=p_aB\left(\frac{H}{4}\right),\qquad P_3=p_aB\left(\frac{3H}{8}\right)$$

核心觀念

本題考查樁基礎的荷重分擔、樁土相對位移造成的負摩擦力，以及基樁垂直承載力中樁側摩擦力與樁端承力的估算方法。基樁極限垂直承載力通常分為樁側阻力與樁端阻力：

$$Q_u=Q_s+Q_b =\sum_i f_{s,i}A_{s,i}+q_bA_b$$

其中 $f_{s,i}$ 是第 $i$ 層土的單位樁側阻力，$A_{s,i}$ 是該層樁身表面積；$q_b$ 與 $A_b$ 分別是樁端單位承力與樁端面積。實際設計仍須依設計規範採用適當的安全係數或設計強度折減，並檢核沉陷、群樁效應及結構強度。

（一）樁群與樁筏基礎的承載力設計機制

**樁群基礎（grouped piles）**通常由承台連接多根樁。承載力設計以樁群承受上部結構荷重為主，樁群總承載力依樁數、單樁承載力及樁群效率估算，並檢核群樁是否可能以整體土塊方式破壞。一般設計不把承台底部土壤的承載力列為主要承載來源；承台主要負責將上部荷重分配至各樁。

**樁筏基礎（piled raft foundation）**則將筏版、樁與土體視為共同作用的系統。筏版底面直接與土接觸，筏版可藉由底面接觸壓力承受一部分荷重；樁則透過樁側阻力與樁端阻力分擔其餘荷重，也可用來控制總沉陷與差異沉陷。其垂直荷重分配可概念化表示為：

$$Q_{\text{total}}=Q_{\text{raft}}+Q_{\text{piles}}$$

兩者主要差異在於：樁群設計主要由樁承受荷重；樁筏設計則明確計入筏版與樁共同分擔荷重，且須考慮樁、筏版與土體之間的互制及荷重分配。

（二）基樁周身負摩擦力的可能原因

負摩擦力是指樁周土體相對於樁身向下移動，因而在樁身表面產生向下的剪力。它不是「樁向下移動而使摩擦力向下」，而是周圍土層的沉陷量大於樁身沉陷量，使樁側摩擦方向反轉。

常見原因包括：

• 軟弱黏土層固結沉陷：地表新增填土或建築荷重，使軟黏土受壓固結，土體向下沉陷並拖曳樁身。
• 地下水位下降：孔隙水壓降低、有效應力增加，厚層可壓縮土因而固結沉陷。
• 地表堆載或鄰近工程施工：例如新設填方、堆置材料，或鄰近基礎施加額外荷重，使樁周土體沉陷。
• 砂土或填土的壓密：鬆砂、未充分壓實填土受到振動、交通荷重或新填土荷重後，可能發生壓密沉陷。
• 土層本身的時效變形或濕陷：如有機土長期壓縮，或具濕陷性的土遇水後結構崩解而沉陷。

負摩擦力會對樁身形成向下拖曳力，增加樁身軸力與沉陷需求。計算樁的可用承載力時，應辨識負摩擦力作用範圍及中性面位置，避免將其誤當成可提供的正向樁側阻力。

（三）以 $\alpha$ 法與 $\beta$ 法計算基樁垂直向承載力

$\alpha$ 法：總應力法，常用於黏土

$\alpha$ 法以不排水剪力強度 $s_u$ 估算黏土與樁身間的單位樁側阻力：

$$f_s=\alpha s_u$$

因此單層樁側阻力為：

$$Q_s=\alpha s_u A_s$$

多層土時逐層計算後加總。$\alpha$ 為黏著係數，受土壤強度、塑性、超額孔隙水壓消散狀況，以及施工方式影響；打入樁、鑽掘樁與其他成樁方式造成的樁土界面條件不同，採用的 $\alpha$ 值也應相應調整。黏土強度及 $\alpha$ 的選取須有試驗、經驗相關式或適用規範依據，不宜直接套用單一固定值。

核心觀念

本題考查地震作用下土層的「需求」與「抵抗」比較，以及如何把各深度的液化安全係數彙整成地盤整體的液化潛能指數。以命題當年（民國 114 年）《建築物基礎構造設計規範》為準，各評估法先求土層抗液化安全係數：

$$F_L=\frac{CRR}{CSR}$$

其中 $CSR$ 是地震引致的反覆剪應力需求比，$CRR$ 是土壤抵抗液化的剪力強度比。當 $F_L<1$，代表地震需求超過土壤抵抗力，該土層判定為可能液化。

(一) CSR 的計算方式與理論基礎

簡化應力法公式

水平地盤受地震作用時，深度 $z$ 處的地震平均等效反覆剪應力比，通常依 Seed–Idriss 簡化程序表示為：

$$CSR=\frac{\tau_{\mathrm{av}}}{\sigma'_{v0}} =0.65\frac{a_{\max}}{g} \frac{\sigma_{v0}}{\sigma'_{v0}}r_d$$

式中：

• $\tau_{\mathrm{av}}$：地震引致的平均等效反覆剪應力。
• $\sigma_{v0}$、$\sigma'_{v0}$：該深度的初始總垂直應力與有效垂直應力。
• $a_{\max}$：地表最大水平加速度；$g$ 為重力加速度。
• $r_d$：剪應力折減係數，反映地層深度方向的地震剪應力不是整個土柱都維持地表最大慣性力。

推導與物理意義

將地盤簡化為水平、均質土柱，在地表最大加速度作用下，深度 $z$ 以上土柱因慣性力產生的水平剪應力，可近似寫成：

$$\tau_{\max}\approx \frac{a_{\max}}{g}\sigma_{v0}r_d$$

地震剪應力會隨時間往復變化，實際波形並非等幅正弦波。簡化程序以 $0.65\tau_{\max}$ 代表一個地震循環中的平均等效反覆剪應力，故：

$$\tau_{\mathrm{av}}\approx 0.65\frac{a_{\max}}{g}\sigma_{v0}r_d$$

再除以初始有效垂直應力 $\sigma'_{v0}$，即得 CSR。飽和鬆砂受反覆剪力時，孔隙水壓逐步累積、有效應力降低；CSR 用來表達地震造成的剪應力需求相對於有效覆土壓力的大小。

使用上的重點

實務上先依地層剖面與地下水位計算各深度的 $\sigma_{v0}$、$\sigma'_{v0}$，再依採用的評估法及設計地震條件選取 $a_{\max}$、$r_d$，逐層計算 CSR。HBF、NCEER、AIJ、JRA 等方法在修正係數或參數處理上各有程序；上式說明的是 CSR 的簡化應力概念與常用表示法，不代表各法所有細節完全相同。

(二) 計算 CRR 所需考慮的因子

CRR 表示土層在指定地震循環條件下抵抗液化的能力，應依所採評估法，以現地試驗或經驗關係求得，並納入下列因素：

1. 土壤現地密實與貫入特性：例如 SPT 的修正貫入值 $(N_1)_{60}$，或 CPT 的修正錐尖阻抗 $q_{c1N}$；數值反映土壤密實程度及抵抗反覆剪力的能力。
2. 土壤種類與細料特性：例如土壤粒徑、細料含量及其塑性。細料含量、塑性指數會影響液化判定與貫入阻抗的修正，不能只以未修正的貫入值代表抗液化能力。
3. 有效覆土壓力：不同深度的圍壓會影響土壤抗液化強度，須依方法作上覆壓力修正。
4. 地震規模與等效循環次數：震級較大通常代表強震循環較多，需用震級修正係數等方式換算至設計地震條件。