112 高普考高考二級 土木工程 高等工程力學（包括材料力學） 考古題詳解

核心觀念

本題考查變截面懸臂梁的彎曲正應力與自由端轉角：

• 矩形斷面的慣性矩為 $I=\dfrac{bh^3}{12}$，其中 $b$ 為寬度、$h$ 為梁的深度。
• 彎曲正應力大小為 $\sigma=\dfrac{|M|c}{I}$；矩形斷面 $c=h/2$，故 $\sigma=\dfrac{6|M|}{bh^2}$。
• 梁的曲率由 $\dfrac{M}{EI}$ 決定，因此自由端與固定端的轉角差可由沿梁長積分彎矩除以彎曲剛度求得。

解題方法

令 $s$ 為從受力自由端沿梁往固定端量的距離，$0\le s\le L$。依圖，深度由自由端的 $d$ 線性增加至固定端的 $3d$，所以

自由端集中力 $P$ 造成的截面彎矩大小為

（一）最大彎曲應力的位置及應力值

代入矩形斷面的彎曲應力公式：

令 $u=s/L$，最大化 $\dfrac{u}{(1+2u)^2}$：

因此，最大彎曲應力發生於距受力自由端 $s=L/2$ 處，也就是變深度梁段的中點。此處深度為 $h=2d$，彎矩大小為 $|M|=PL/2$，故

核心觀念

這題考察平台加速時，梁與平台間的靜摩擦、動摩擦，以及摩擦力造成的傾倒判斷。

梁若與平台保持相對靜止，梁的水平加速度等於平台加速度，所需摩擦力為 $F=ma_p$；若所需摩擦力超過 $\mu mg$，梁便開始滑動，此時動摩擦力大小為 $\mu mg$，方向與梁相對平台的滑動方向相反。

判斷是否有傾倒趨勢，可將地面的正向力視為作用在接觸面上的合力。若摩擦力為 $F$，其作用線相對梁底面中心的偏移量為

接觸面半寬為 $w/2$，因此不傾倒的條件是 $e_N\leq w/2$，亦即

題給 $w=0.2h$，故摩擦力與重量之比不得超過 $0.2$。

（一）不發生傾倒的摩擦係數條件

平台加速度振幅為 $0.3g$。梁隨平台加速時，若尚未滑動，所需摩擦力最大為 $0.3mg$；若已滑動，摩擦力大小則為 $\mu mg$。因此摩擦力比值的最大值為

不傾倒須滿足

因 $0.3>0.2$，條件等價於

$\mu=0.2$ 時是剛好達到傾倒臨界；若要求保有安全餘度，則取 $\mu<0.2$。

（二）摩擦力 $f_x$ 的三秒歷時反應

依圖二（b），平台速度在 $t=0,1,2,3$ 秒分別為 $0,\ v,\ -v,\ 0$，且 $v=1\ \mathrm{m/s}$。各段平台加速度為速度圖的斜率：

以下假設 $t=0$ 時梁與平台相對靜止，並以圖中向右為 $f_x$ 正向。靜摩擦力上限為

等效於最大可提供加速度 $\mu g=1.5\ \mathrm{m/s^2}$。

• $0<t<1$ 秒： 平台加速度為 $+1\ \mathrm{m/s^2}$，所需摩擦力為 $+m$，小於上限 $1.5m$，所以梁不滑動，$f_x=+m$。
• $1<t<2$ 秒： 平台加速度變為 $-2\ \mathrm{m/s^2}$，超過摩擦力可提供的加速度。梁相對平台向右滑動，動摩擦力向左，故 $f_x=-0.15mg=-1.5m$。梁與平台的相對加速度為

核心觀念

本題考查偏心軸力造成的附加彎矩，以及彈性支承柱的線性挫屈。第一小題以桿底旋轉彈簧的回復力矩，平衡偏心軸力對桿底的力矩；第二小題則由柱的挫屈微分方程與端點邊界條件求特徵值。

（一）剛性桿受偏心軸力

令桿相對鉛直方向的轉角為 $\theta$，並取圖示偏心方向為正。小變形下，桿頂的水平位移約為 $L\theta$，故軸力對 A 點的力矩臂約為 $e+L\theta$。桿底旋轉彈簧的回復力矩為 $\beta_R\theta$。

以 A 點取力矩平衡：

因此載重與轉角的關係為

或整理成

要維持穩定平衡，轉角增加時，彈簧提供的增量回復力矩須大於軸力造成的增量傾覆力矩。因此切線轉動剛度須為正：

所以穩定平衡的載重條件為

當 $P$ 趨近 $\beta_R/L$ 時，轉角會急遽增大；$\beta_R/L$ 即此剛性桿系統的臨界載重。偏心量 $e\ne0$ 會使桿在載重下產生初始轉角，但不改變上述線性化的臨界載重。

（二）具彎曲剛度之柱，$e=0$

令 $v(x)$ 為柱的側向位移，$x$ 自桿底 A 起算。令

挫屈微分方程為

A 點限制側向位移，且由旋轉彈簧提供彈性轉動拘束；B 點為自由端，彎矩與有效剪力均為零：

核心觀念

薄壁箱型斷面的剪力流，分別用下列關係處理：

• 扭力：單室閉口薄壁斷面依 Bredt–Batho 公式，剪力流沿閉合壁厚中線均勻分布： $q_T=\frac{T}{2A_m}$
• 垂直剪力與水平剪力：先由梁的剪力流關係求基本剪力流，再對閉口箱室加入常數剪力流，使箱室滿足變形相容。對本題沒有扭轉的橫向剪力，閉口壁上的相容條件為 $\oint \frac{q}{t}\,ds=0.$

令箱室中線寬、高皆為 $h$，薄壁厚度為 $t$。圖示斷面關於鉛直中心線對稱，截面形心位於高度中央。

（一）僅受扭力 $T$

箱室中線所圍面積為 $A_m=h^2$，因此

單室閉口斷面的扭轉剪力流沿上壁、兩側腹板及底壁大小相同，方向繞箱室一周；依圖示扭矩方向為順時針。

代入 $T=1\ \mathrm{kN\cdot m}$、$h=1\ \mathrm{m}$：

（二）僅受垂直剪力 $V$

垂直剪力作用下，先求水平形心軸的慣性矩。採薄壁中線近似，忽略各壁自身厚度方向的慣性矩：

沿箱室上壁中心切開，從切口起算基本剪力流，再加入閉口冗流。因斷面左右對稱且垂直剪力通過對稱軸，基本剪力流對稱，繞箱室一周的積分為零，故此例冗流常數為零。

令 $q$ 的正方向沿箱室順時針，並以圖示向下的 $V$ 為正。令 $y$ 自形心水平軸向上為正，則各壁的剪力流如下：

• 上壁：由箱室上壁中央向左右腹板，剪力流線性增加；中央為零，在左右腹板頂端大小相等、方向相反。
• 兩側腹板：沿高度呈曲線變化，於形心水平軸附近達到最大絕對值；上下半部方向相反。
• 底壁：由左至右線性變化，中央剪力流為零，兩端方向相反。

由上壁中央至單側腹板頂端的剪力流大小為

腹板由頂端往形心水平軸，剪力流再增加