112 高普考高考二級 土木工程 高等鋼筋混凝土學與設計 考古題詳解

核心觀念

本題考雙筋矩形梁在使用性彎矩作用下的彈性應力分析。採用平截面假設，假定混凝土受拉不計、混凝土與鋼筋間無滑移，並依應變相容及斷面內力平衡求中性軸深度；再由線性應變分布求拉力鋼筋應力與混凝土最大受壓應力。

鋼筋面積取 D29 約 $6.42\ \mathrm{cm^2}$、D22 約 $3.87\ \mathrm{cm^2}$，因此

使用性彎矩為

解題方法

取混凝土彈性模數比 $n=E_s/E_c$。依當時鋼筋混凝土設計常用公式，

取 $E_s=2.04\times10^6\ \mathrm{kgf/cm^2}$，得

令中性軸深度為 $c$，自受壓緣量起。將鋼筋換算為等值混凝土面積，且扣除壓力鋼筋位置原有的混凝土面積，彈性斷面形心須滿足一階矩平衡：

代入數值：

整理得

解得正根

核心觀念

本題考查深梁腹部的縱向表層鋼筋配置。梁深較大時，梁腹兩側的受拉應變分布可能造成腹部裂縫寬度大於受撓主筋附近的裂縫；在梁腹兩側配置縱向表層鋼筋，可控制裂縫。

依命題當年（民國112年）考試指定的《混凝土結構設計規範》（110年版）第3.7.5節，梁總深度 $h>90\ \mathrm{cm}$ 時，應在距最外受拉面 $h/2$ 範圍內的梁腹兩側配置縱向表層鋼筋，並依第3.7.2節限制間距。表層鋼筋可併入強度計算，鋼筋應力須依應變一致性分析求得。

解題方法與計算

圖示為負彎矩，因此梁頂為受拉面。表層鋼筋配置在梁腹兩側、靠近梁頂的 $h/2$ 範圍：

依題目提供的最大間距公式，取服務應力 $f_s=2800\ \mathrm{kgf/cm^2}$，檢核：

採用 D13 表層鋼筋；橫向箍筋淨保護層為 $4\ \mathrm{cm}$，D13 箍筋直徑為 $1.27\ \mathrm{cm}$，故表層鋼筋至梁側面的淨保護層取：

因此：

核心觀念

本題分兩步檢核：

1. 以柱的有效長度與迴轉半徑檢核長細效應是否可忽略。
2. 若可忽略，以一階彎矩 $M_u=P_u e$，用應變相容法求柱的軸力與彎矩設計強度，再與需求比較。

原考題指定依據為內政部「混凝土結構設計規範」110 年版；後續規範已修正，以下依命題當年的版本作答。考題指定規範版本 現行規範沿革

解題方法

一、檢核長細效應

由圖判讀柱高 $l_u=2\ \mathrm{m}=200\ \mathrm{cm}$，柱底固定、柱頂無側向支撐，按懸臂柱取有效長度係數 $k=2.0$。偏心方向的斷面尺寸為 $70\ \mathrm{cm}$，依矩形柱迴轉半徑簡化式：

無側向位移支撐柱可忽略長細效應的條件為：

計算得：

因此，此柱可忽略長細效應。規範長細效應條文

二、求需求彎矩

偏心距 $e=35\ \mathrm{cm}=0.35\ \mathrm{m}$，因此：

斷面彎曲深度 $h=70\ \mathrm{cm}$、寬度 $b=50\ \mathrm{cm}$。圖示鋼筋沿彎曲深度兩側對稱配置，各側 5 支 D29，兩側鋼筋中心距各自外緣 $7\ \mathrm{cm}$。

考題資料表列 D29 面積 $A_b=6.47\ \mathrm{cm^2}$，故每側鋼筋面積：

採 $E_s=2{,}040{,}000\ \mathrm{kgf/cm^2}$、$\beta_1=0.85$、極限混凝土壓應變 $\epsilon_{cu}=0.003$。依柱構材壓力控制區之強度折減因數取 $\phi=0.65$。欲使軸力設計強度等於 $P_u$，所需名目軸力為：

三、用應變相容求中性軸深度

令壓力側為 $x=0$，中性軸深度為 $c$；兩側鋼筋位置分別為 $x=7\ \mathrm{cm}$ 與 $x=63\ \mathrm{cm}$。混凝土等值壓力塊深度：

試算可知中性軸位於壓力鋼筋之內側，且 $a>7\ \mathrm{cm}$，所以壓力鋼筋位於等值壓力塊內，計算混凝土壓力面積時須扣除其面積：

壓力側鋼筋應變：

拉力側鋼筋應變：

由應變相容及鋼筋應力不超過降伏強度，壓力側鋼筋已降伏，拉力側鋼筋尚未降伏。軸力平衡式為：

核心觀念

本題依民國 112 年命題當時適用的舊制混凝土結構設計規範，先用第 433 條判斷扭矩是否可忽略，再依剪力鋼筋公式計算間距。扭矩門檻為：

式中 $\phi=0.75$；$X$、$Y$ 為各矩形分塊的短邊與長邊。T 形梁的翼版懸臂寬不得大於翼版厚度的 3 倍。

解題方法

圖示梁腹為 $30\times60\ \mathrm{cm}$，翼版伸出腹部一側 $30\ \mathrm{cm}$、厚 $15\ \mathrm{cm}$。因 $30\le3(15)=45\ \mathrm{cm}$，可依腹部與翼版懸臂分塊計算：

將 $T_u=100\ \mathrm{tf\cdot cm}=100{,}000\ \mathrm{kgf\cdot cm}$ 代入：

因 $6.58<6.66$，依第 433 條可不計扭矩影響，橫向鋼筋只需按剪力設計。

梁深 $h=60\ \mathrm{cm}$。由圖示淨保護層厚度 $4\ \mathrm{cm}$，D13 箍筋直徑 $1.27\ \mathrm{cm}$，D25 撓曲鋼筋直徑 $2.54\ \mathrm{cm}$，有效深度為：

剪力鋼筋須承擔的剪應力差為：