113 高普考高考二級 土木工程 高等鋼筋混凝土學與設計 考古題詳解

核心觀念

本題考梁的撓曲與剪力斷面強度。依《建築物混凝土結構設計規範》的強度設計概念，先算標稱強度 $M_n、V_n$，再乘強度折減因數 $\phi$，得到設計強度 $\phi M_n、\phi V_n$。因此以下將題目所問的 $M_u、V_u$ 解讀為梁可提供的設計強度；它們在規範符號中分別記為 $\phi M_n、\phi V_n$。

圖示尺寸取梁寬 $b_w=40$ cm、梁高 $h=78$ cm；拉力筋中心距底面 8 cm，故 $d=78-8=70$ cm；壓力筋中心距頂面 $d'=8$ cm。鋼筋面積為

解題方法：彎矩強度

先用應變相容與水平力平衡求中性軸深度 $c$。採用混凝土極限壓應變 $0.003$、矩形應力塊 $\beta_1=0.85$，並取 $E_s=2.04\times10^6\ \mathrm{kgf/cm^2}$。拉力筋降伏，故拉力為

壓力筋應力由應變相容計算：

平衡式為混凝土壓力加上壓力筋的淨壓力等於拉力：

其中 $A_s'(f_s'-0.85f'_c)$ 扣除壓力筋位置處矩形應力塊所包含的混凝土。解得

壓力筋未降伏。最外層拉力筋淨拉應變為

此值大於拉力控制界限，故彎矩強度折減因數取 $\phi=0.90$。以拉力筋中心取矩：

因此

核心觀念

本題檢核梁底受拉鋼筋的最大間距是否符合撓曲裂縫控制規定。鋼筋分布越疏，受拉區裂縫通常越寬；因此須以鋼筋應力及混凝土保護層計算容許間距，再與圖示鋼筋中心間距比較。

依命題當年民國 113 年參考規範，最大間距應同時符合：

式中，$s$ 為受拉鋼筋中心間距，$f_s$ 為使用載重下鋼筋應力；未提供使用載重分析時，可取 $f_s=\frac{2}{3}f_y$。$c_c$ 為梁底至最靠近梁底之拉力鋼筋表面的淨保護層厚度。以上長度以 cm、應力以 kgf/cm² 代入。

解題方法

圖示梁寬為 $40$ cm，底部配置兩支 D36 拉力筋，兩側鋼筋中心距梁側各 $8$ cm。因此實際鋼筋中心間距為：

D36 標稱直徑為 $3.58$ cm，圖示梁底至鋼筋中心距離為 $8$ cm，故梁底淨保護層為：

核心觀念

本題考查民國 113 年適用之耐震設計規定：塑性鉸區柱的橫向箍筋須符合最小橫向鋼筋比。矩形柱每一方向均須滿足下列三項，取最大值：

其中 $A_g$ 為柱全斷面積，$A_{ch}$ 為箍筋中心線所圍核心面積，$b_c$ 為該方向核心尺寸；$A_{sh}$ 是間距 $s$ 內、該方向箍筋肢的總截面積。圖示箍筋在每一方向有四肢。

解題方法

柱全斷面積為

淨保護層為 $4\ \mathrm{cm}$，D13 箍筋直徑取 $1.27\ \mathrm{cm}$，核心尺寸取箍筋中心線間距：

因此

鋼筋強度比為

核心觀念

本題考查耐震 RC 梁柱接頭的接頭剪力檢核與接頭細部構造。地震時，梁端形成塑鉸，梁主筋的拉力與壓力會在柱核心內形成很大的水平剪力；設計要確保接頭不先發生脆性剪力破壞，並讓梁端能發展預期的撓曲強度。

法規依據為《建築物混凝土結構設計規範》第十五章「梁柱與板柱接頭」及第十八章「耐震結構物」。以下以命題當年（民國 113 年）法規為準。

外部接頭位於樓層邊緣，梁只由柱的一側接入，梁主筋在柱核心內終止或錨定，不像內部接頭那樣穿過柱核心。以題示「第二層樓」而言，柱通常上下連續；梁端則為接頭外側的梁端。因而接頭需求剪力須由梁端彎矩所形成的鋼筋拉壓力，扣除柱在接頭處承受的剪力來計算。

解題方法

1. 確認接頭位置與受力方向

先沿梁的主軸方向取自由體，確認梁端主筋在接頭兩側造成的拉力、壓力方向，以及柱上下端的剪力方向。接頭剪力應分別就構架的每一主軸方向檢核。

第二層樓外部接頭在地震反向作用下，梁端可能出現正、負彎矩；應以控制方向與控制載重組合進行檢核。

2. 計算接頭需求剪力 $V_u$

依《建築物混凝土結構設計規範》第 15.4.1 節，接頭剪力應在接頭半高處的接頭面計算，並以與梁彎矩強度計算一致的梁主筋拉壓力為基礎。概念式為

其中 $T_{\text{梁}}$ 為梁端彎矩在接頭面造成的水平主筋力合力，$V_{\text{柱}}$ 為相應方向的柱剪力。若梁上下兩側主筋力均須計入，則將兩側對接頭剪力有貢獻的水平力依方向代數相加，再扣除柱剪力。

簡支的力學表示可寫成

其中 $z$ 為梁內拉、壓合力的力臂。耐震設計時，應依適用規範採用梁的設計彎矩強度或可能彎矩強度 $M_{pr}$，並依其對應的鋼筋拉壓力計算；不可只用一般外力分析所得的彈性梁剪力取代接頭剪力。

3. 計算接頭有效斷面積 $A_j$

依第 15.4.2.4 節，

其中 $h$ 為沿設計作用力方向的柱全深，$b_j$ 為接頭有效寬度。有效寬度不得大於柱全寬；當柱寬大於梁腹寬 $b_w$ 時，依規範限制取

其中 $x$ 為梁腹側面至柱邊的距離。外部接頭若梁只從柱一側接入，僅能計入實際符合規範限制的有效寬度，不可逕以整個樓板寬度作為接頭寬度。

4. 判定接頭圍束條件並計算 $V_n$

依第 15.4.2.3 節及第十八章耐震接頭規定，按柱及梁在設計方向的連續情形，以及橫向梁是否符合規範圍束條件，選取接頭標稱剪力強度。常重混凝土常用形式為