113 年高普考高考二級土木工程考古題與詳解

Question 1

已知一等向均質之彈性體具有如下式的位移函數（displacement functions）。式中 $(u,v,w)$ 分別代表 $(x,y,z)$ 方向的位移函數，長度單位為 m， $\mu$ 代表 $10^{-6}$ ：

u(x,y,z)=(2x+y)\mu

v(x,y,z)=z\mu

w(x,y,z)=(z-y)\mu

（一）請利用小變位理論（small deformation），計算彈性體中任意點位的正向應變（normal strain） $(\varepsilon_{xx},\varepsilon_{yy},\varepsilon_{zz})$ 與剪應變（shear strain） $(\gamma_{xy},\gamma_{xz},\gamma_{yz})$ 。（10 分）

（二）此彈性體中有一微小立方體，其三維應力如下圖所示。若此三維應力之值如下式所示（式中單位為 MPa），請計算作用於 $ABCD$ 斜面上的正向應力（normal stress）與剪應力（shear stress）之大小。（15 分）

\mathbf{T}= \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz}\\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz}\\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 36 & 27 & 0\\ 27 & -36 & 30\\ 0 & 30 & 18 \end{bmatrix}\text{ MPa}

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 小變位下，正向應變由位移對同方向座標的偏導數求得；工程剪應變是兩個相關位移梯度的和。斜面上的應力則由應力張量與斜面單位法向量計算面力，再分解為法向分量與切向分量。 解題方法 （一）小變位應變 正向應變定義為 $$ \varepsilon{xx}=\frac{\partial u}{\partial x},\qquad \varepsilon{yy}=\frac{\partial v}{\partial y},\qquad \varepsilon{zz}=\frac{\partial w}{\partial z}. $$ 工程剪應變定義為 $$ \gamma{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x},\quad \gamma{xz}=\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x},\quad \gamma{yz}=\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y}. $$ 將題目位移函數代入，並以 $\mu=10^{-6}$ 計： $$ \varepsilon{xx}=\frac{\partial[(2x+y)\mu]}{\partial x}=2\mu=2	imes10^{-6}, \qquad \varepsilon{yy}=\frac{\partial(z\mu)}{\partial y}=0, \qquad \varepsilon{zz}=\frac{\partial[(z-y)\mu]}{\partial z}=\mu=1	imes10^{-6}. $$ $$ \gamma{xy}=\frac{\partial[(2x+y)\mu]}{\partial y} +\frac{\partial(z\mu)}{\partial x} =\mu=1	imes10^{-6}, $$ $$ \gamma{xz}=\frac{\partial[(2x+y)\mu]}{\partial z} +\frac{\partial[(z-y)\mu]}{\partial x}=0, $$ $$ \gamma{yz}=\frac{\partial(z\mu)}{\partial z} +\frac{\partial[(z-y)\mu]}{\partial y} =\mu-\mu=0. $$ （二）ABCD 斜面上的應力 依圖，ABCD 斜面沿 $z$ 方向延伸，其在 $xy$ 平面上的截線為對角線，因此可取單位法向量為 $$ \mathbf n=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}1\1\0\end{b…

Question 2

如圖所示為一棟二層樓剪力屋結構，圖中結構可假設為具有剛性樓板之集中質量模型。圖中， $m$ 為樓層質量， $CG$ 柱長 $2L$ ，其餘柱長為 $L$ ，不計樓板厚度。各柱之彈性模數 $E$ 、斷面積 $A$ 與斷面慣性矩 $I$ 為常數且皆相等。令

\frac{12EI}{L^3}=2000\ \text{kN/m}

質量 $m=100$ tons。

（一）若令 $x_1$ 與 $x_2$ 分別為一樓頂板及二樓頂板相對地表之位移，請以 $x_1$ 與 $x_2$ 為自由度，寫出此結構系統在自由振動下的矩陣運動方程式，不考慮結構阻尼。請列明方程式中質量矩陣 $[M]$ 及勁度矩陣 $[K]$ 之內容。（10 分）

（二）請以上述質量及勁度矩陣，計算此結構的第 1 及第 2 水平自由振頻率。（15 分）

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 這題考二自由度剪力屋的質量與勁度矩陣組裝，以及解廣義特徵值問題求水平自由振頻率。自由振動方程式為 $$ [M]\{\ddot{x}\}+[K]\{x\}=\{0\} $$ 其中 $\{x\}=\begin{Bmatrix}x1&x2\end{Bmatrix}^{T}$。每層樓的集中質量均為 $m$，所以兩層質量矩陣為對角矩陣。 解題方法 令長度為 $L$ 的柱側向勁度為 $$ k0=\frac{12EI}{L^3}=2000\ 	ext{kN/m} $$ 採剪力屋柱勁度 $12EI/h^3$ 組裝各樓層勁度： - 一樓至地面的 $AD$、$BE$ 兩柱各長 $L$，合計勁度為 $2k0$。 - 一樓至二樓的 $DF$ 柱長 $L$，勁度為 $k0$。 - $CG$ 柱由地面直接連至二樓，長 $2L$，勁度為 $$ \frac{12EI}{(2L)^3}=\frac{k0}{8} $$ $CG$ 柱沒有連接一樓樓板，因此只對二樓自由度 $x2$ 提供勁度。組裝後， $$ [M]= \begin{bmatrix} m&0\ 0&m \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 100&0\ 0&100 \end{bmatrix} $$ 以題目使用的 kN、m、s 單位表示，$100$ tons 對應 $100\ 	ext{kN}\cdot	ext{s}^2/	ext{m}$。 $$ [K]= \begin{bmatrix} 2k0+k0&-k0\ -k0&k0+\dfrac{k0}{8} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6000&-2000\ -2000&2250 \end{bmatrix} \ 	ext{kN/m} $$ 因此矩陣運動方程式為

Question 3

如圖（a）所示，具均勻斷面之 L 型剛性構架 $ABC$ 位於 $x$-$z$ 平面上，構架之單位長度重量為 $60\ 	ext{kN/m}$，其支承 $A$ 與 $C$ 為球窩支承，$BD$ 為纜索連接，$D$ 點位於 $y$-$z$ 平面上。 若纜索具有如圖（b）所示之雙線性力與變形（$F$-$\delta$）關係，請計算纜索之內力 $T$ 與其變形前之原始長度 $L0$。 今纜索降伏力 $Fy=100\ 	ext{kN}$，降伏前勁度 $k1=1000\ 	ext{kN/m}$，降伏後勁度 $k2=0.2k1$。（25 分） 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念

以通過兩球窩支承 $A、C$ 的直線 $AC$ 取力矩。支承反力作用於 $A、C$ ，對 $AC$ 軸的力矩分量皆為零，因此可由「自重對 $AC$ 軸的力矩」與「纜索張力對 $AC$ 軸的力矩」平衡求出 $T$ 。

求得張力後，再依纜索的雙線性力—變形關係計算伸長量 $\delta$ ，並以「變形後長度 = 原始長度 + 伸長量」求 $L_0$ 。

解題方法

依圖取座標如下，單位為 m：

A=(1.6,0,0),\quad B=(1.6,0,2.4),\quad C=(0,0,2.4),\quad D=(0,1.1,1.6)

因此纜索變形後長度為

BD=\sqrt{(1.6)^2+(1.1)^2+(0.8)^2}=2.1\text{ m}

構架均勻，每單位長度重量為 $60\text{ kN/m}$ 。兩段長度分別為 $AB=2.4\text{ m}$ 、 $BC=1.6\text{ m}$ ，故總重為

W=60(2.4+1.6)=240\text{ kN}

以 $A$ 為基準計算構架重心。 $AB$ 段重心在 $(1.6,0,1.2)$ ，段重為 $144\text{ kN}$ ； $BC$ 段重心在 $(0.8,0,2.4)$ ，段重為 $96\text{ kN}$ 。因此總重心為

G=\left( \frac{144(1.6)+96(0.8)}{240},\ 0,\ \frac{144(1.2)+96(2.4)}{240} \right) =(1.28,0,1.68)

$AC$ 軸的單位向量為

\mathbf{u}_{AC} =\frac{C-A}{|C-A|} =\frac{(-1.6,0,2.4)}{\sqrt{1.6^2+2.4^2}} =\frac{(-1.6,0,2.4)}{\sqrt{8.32}}

重力向量為 $\mathbf W=(0,-240,0)\text{ kN}$ ，且 $\mathbf r_{AG}=( -0.32,0,1.68)\text{ m}$ 。重力對 $AC$ 軸的力矩分量為

Question 4

如圖所示為 10 跨之桁架結構系統，$a$ 點支承為鉸支承（hinge），$k$ 點為滾動支承（roller），該滾動支承可避免垂直向運動。各桿件之彈性模數 $E$、降伏應力 $\sigmay$、斷面積 $A$、斷面慣性矩 $I$ 皆均相同。 此桁架於中央處受一集中的動態簡諧載重 $$ P(t)=P0\sin\omega t $$ 其中 $P0$ 為振幅，$\omega=2\pi\ 	ext{rad/s}$ 為激振頻率。請計算使桁架不發生張力降伏的最大簡諧載重振幅，以及使桁架不發生挫屈破壞的最大簡諧載重振幅。（25 分） 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 桁架桿件以軸力承載。先求各桿件軸力與外力振幅 $P0$ 的比例，再分別套用： - 張力降伏：$Nt\leq \sigmay A$。 - 歐拉挫屈：$Nc\leq P{\mathrm{cr}}=\dfrac{\pi^2EI}{(K\ell)^2}$。 圖示桁架為 10 跨、每跨長 $L$、桁高 $L$，中央上弦節點受垂直簡諧載重。 解題方法 題目未提供桁架質量或桿件密度、阻尼，因此無法由激振頻率 $\omega$ 計算含慣性效應的完整動態反應。以下依桁架考題常用的準靜態假設，以載重峰值 $P0$ 計算；此時 $\omega$ 不影響內力比例。 由對稱性，兩支承的垂直反力皆為 $P0/2$。中央截面的最大彎矩為 $$ M{\max}=\frac{P0}{2}(5L)=\frac{5}{2}P0L. $$ 上、下弦距離為 $L$，故弦桿最大軸力為 $$ |N{\mathrm{chord,max}}| =\frac{M{\max}}{L} =\frac{5}{2}P0. $$ 下弦受拉、上弦受壓。斜桿與水平夾角為 $45^\circ$，由節點平衡可得斜桿軸力大小為 $P0/\sqrt{2}$；腹桿的軸力不超過 $P0/2$。因此最大張力出現在中央附近的下弦，最大壓力出現在中央附近的上弦。 不發生張力降伏的最大載重振幅 令下弦最大拉力不超過降伏力： $$ \frac{5}{2}P0\leq \sigmayA. $$ 所以 $$ \boxed{P{0,\mathrm{yield}}=\frac{2}{5}\sigmayA}. $$ 不發生挫屈的最大載重振幅

113 高普考高考二級土木工程高等工程力學（包括材料力學）考古題詳解

第一題25 分

第二題25 分

第三題25 分

核心觀念

解題方法

第四題25 分

其他考古題

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土木工程《高等工程力學（包括材料力學）》其他年度

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第 二 題25 分

第 三 題25 分

核心觀念

解題方法

第 四 題25 分

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113 高普考高考二級土木工程高等工程力學（包括材料力學）考古題詳解

第一題25 分

第二題25 分

第三題25 分

第四題25 分