110 年高普考高考二級土木工程考古題與詳解

Question 1

有一材質均勻之正方形板位於 $xz$ 平面上，其尺寸為 $8a	imes 8a$，$a=10\ \mathrm{cm}$，板內含有一 $4a	imes 4a$ 之正方形開口。此板重 $W$（作用於 $y$ 軸負方向），由位於 $A(0,0,0)$、$B(\alpha,0,8a)$、$C(8a,0,\beta)$ 三點且平行於 $y$ 軸方向之三根繩索支撐其重量。 如 $\alpha=\beta=20\ \mathrm{cm}$，且每根繩索所能承受之最大張力為 $100\ \mathrm{N}$，試求此板重心之座標及板之最大重量 $W$ 為何？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考兩個觀念： 1. 複合面積形心：有開口的均勻薄板，可把開口視為負面積，利用面積加權平均求板的重心。 2. 平行力系平衡：三根繩索與重量皆平行於 $y$ 軸。平衡時，三繩張力的合力作用位置須通過板的重心，因此可用張力加權座標求各繩張力比例。 解題方法 依圖中尺寸，以 $A$ 為原點，$x,z$ 軸沿正方形板的兩邊。板外形為 $8a	imes8a$；開口沿 $x$ 方向自 $2a$ 起、沿 $z$ 方向自 $3a$ 起，尺寸為 $4a	imes4a$。因此： - 外正方形形心：$(4a,4a)$，面積 $64a^2$。 - 開口形心：$(4a,5a)$，面積 $16a^2$。 將開口視為負面積，板的重心為 $$ \bar{x} =\frac{64a^2(4a)-16a^2(4a)}{64a^2-16a^2} =4a, $$ $$ \bar{z} =\frac{64a^2(4a)-16a^2(5a)}{64a^2-16a^2} =\frac{11a}{3}. $$ 板位於 $xz$ 平面，故 $\bar{y}=0$。代入 $a=10\ \mathrm{cm}$： $$ G=\left(40,\ 0,\ \frac{110}{3}ight)\mathrm{cm}. $$ 令三根繩索張力分別為 $TA,TB,TC$。依題意，三支點座標為 $$ A=(0,0,0),\qquad B=(2a,0,8a),\qquad C=(8a,0,2a), $$ 其中 $\alpha=\beta=20\ \mathrm{cm}=2a$。 垂直力平衡及對 $y$ 軸方向的力矩平衡，給出 $$ TA+TB+TC=W, $$

Question 2

有一機構如圖所示，此機構於 $A$ 點為鉸接，於 $B$ 點可在垂直面滑動且與垂直面之摩擦係數 $\mu=0.3$ 。如 $Q=200\ \mathrm{N}$ ，且 $B$ 點維持不移動，試求 $P$ 之最小值為何？

於 $P$ 之最小值時， $A$ 點之水平反力及垂直反力為何？ $B$ 點之水平反力及垂直摩擦力為何？請註明 $A$ 點及 $B$ 點反力與摩擦力作用之方向。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考查剪式連桿機構的虛功原理與滑動摩擦。機構即將滑動時，$B$ 點的摩擦力達極限： $$ FB=\mu NB $$ 其中 $NB$ 是垂直牆面對 $B$ 點的水平正向力。由機構幾何可求出 $B$ 點與 $I$ 點的位移比，再以虛功平衡求出 $P$。 解題方法 令每段連桿在水平方向的投影為 $u$，垂直方向的半高為 $v$。圖示位置有 $u=v=L$。連桿長度固定，因此 $$ u^2+v^2=	ext{常數} \quad\Longrightarrow\quad u\,du+v\,dv=0 $$ 由圖中幾何關係，$I$ 點的水平座標為 $xI=5u$，而 $B$ 點的垂直座標為 $yB=2v$，所以 $$ dxI=5\,du,\qquad dyB=2\,dv $$ 在圖示位置 $u=v$，因此 $$ \frac{dyB}{dxI} =\frac{2\,dv}{5\,du} =-\frac{2}{5} $$ 也就是說，$I$ 點向右移動時，$B$ 點向下移動；且 $B$ 點向下位移量為 $I$ 點向右位移量的 $\frac{2}{5}$。 $Q$ 使 $B$ 點有向下滑動的趨勢，因此極限摩擦力向上。令其大小為 $FB$。在 $P$ 的最小值時，$P$、$Q$ 與摩擦力的虛功平衡為 $$ P\,dxI=(Q-FB)(-dyB) $$ 代入位移比： $$ P=\frac{2}{5}(Q-FB) $$ 接著用整個機構的力矩平衡求 $B$ 點水平正向力。以 $A$ 點取矩，$B$ 點距 $A$ 為 $2L$，$P$ 的作用高度為 $L$： $$ NB(2L)-P(L)=0 \quad\Longrightarrow\quad NB=\frac{P}{2} $$ 因此極限摩擦力為

Question 3

有一圓形斷面之懸臂梁，梁長度 $L=4\ \mathrm{m}$，斷面半徑 $r=10\ \mathrm{cm}$。此梁於自由端受一集中載重 $P$，$P$ 位於 $yz$ 面且與 $y$ 軸之夾角為 $	heta$。 如 $P=1\ \mathrm{kN}$、$	heta=30^\circ$，試求固定端 $A$ 點之應力 $\sigmax$、$\sigmay$ 與 $	au{xy}$，並將此 3 應力之值及作用方向繪製於 $xy$ 面之應力元素上。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 提示： $$Iy=\frac{\pi r^4}{8},\qquad \bar{y}=\frac{4r}{3\pi}$$

Accepted Answer

核心觀念

此題考懸臂梁受斜向橫力時的固定端彎曲正應力與橫向剪應力。梁軸為 $x$ ，載重位於 $yz$ 平面，因此分解為

P_y=-P\cos\theta,\qquad P_z=P\sin\theta

固定端彎矩分量為

M_z=LP_y=-PL\cos\theta,\qquad M_y=-LP_z=-PL\sin\theta

圓形斷面的慣性矩為 $I_y=I_z=\pi r^4/4$ 。截面上的彎曲正應力依 $y,z$ 座標而變；剪應力也依截面位置而變，因此要求某點的應力，必須知道該點在 $yz$ 截面上的位置。

解題方法

題圖將 $A$ 標在固定端附近，但未標明 $A$ 在固定端截面上的 $y,z$ 座標。因此，僅憑圖面無法唯一決定同一個 $A$ 點的 $\sigma_x$ 與 $\tau_{xy}$ 。以下先列出一般式，再以圖示常見解讀—— $A$ 為截面最上方、 $y=r,\ z=0$ ——計算。

截面彎曲正應力為

\sigma_x=-\frac{M_z y}{I_z}+\frac{M_y z}{I_y} =\frac{PL\cos\theta}{I_z}y-\frac{PL\sin\theta}{I_y}z

橫向正應力在一般梁理論下忽略，故 $\sigma_y=0$ 。若 $A$ 在截面最上方， $y=r,\ z=0$ ，則

\sigma_x(A) =\frac{PL\cos\theta\,r}{\pi r^4/4} =\frac{4PL\cos\theta}{\pi r^3}

代入 $P=1000\ \mathrm{N}$ 、 $L=4000\ \mathrm{mm}$ 、 $r=100\ \mathrm{mm}$ 、 $\theta=30^\circ$ ：

Question 4

有一矩形梁 $AB$，橫斷面高度 $h$，$A$ 點為鉸支撐，$B$ 點為位移性彈簧支撐。此梁受均佈載重 $q$，且梁之初始溫度為 $T0$。之後梁上緣之溫度升高至 $T1$，梁下緣之溫度升高至 $T2$，$T2T1$，且溫度沿 $y$ 方向呈線性變化。 設梁之彎曲勁度為 $EI$，熱膨脹係數為 $\alpha$，彈簧係數 $k=\frac{EI}{L^3}$。試求梁之側向位移函數 $v(x)$ 及 $B$ 點之側向位移，並請註明 $B$ 點側向位移之方向。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 提示： $$\frac{d^2\bar{v}(x)}{dx^2}=\frac{\alpha(T2-T1)}{h}+\frac{M(x)}{EI}$$

Accepted Answer

核心觀念 溫度沿梁高呈線性變化時，梁會產生熱曲率；依題目提示，側向位移滿足 $$ \frac{d^2v}{dx^2} =\frac{\alpha(T2-T1)}{h}+\frac{M(x)}{EI}. $$ 取 $x$ 軸由 A 指向 B，$v$ 向上為正。令 $$ c=\frac{\alpha(T2-T1)}{h}. $$ 初始溫度 $T0$ 不影響上下緣的溫差，因此熱曲率只由 $T2-T1$ 決定。彈簧力則由 B 點位移決定；由於本題的支承反力可由靜力平衡求得，熱曲率不改變支承反力。 解題方法 先以整根梁的靜力平衡求反力，再代入彎矩與曲率方程積分，最後使用 A 點位移及 B 點彈簧關係決定位移函數中的常數。 令 A、B 的垂直反力分別為 $RA$、$RB$，向上為正。對 A 點取矩： $$ RB L-qL\frac{L}{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad RB=\frac{qL}{2}. $$ 再由垂直力平衡： $$ RA+RB-qL=0 \quad\Longrightarrow\quad RA=\frac{qL}{2}. $$ B 點彈簧位於梁下方，梁向下位移時彈簧對梁施以向上的力。因此 $$ RB=-kv(L), \qquad v(L)=-\frac{RB}{k} =-\frac{qL}{2k}. $$ 由 A 至任意截面 $x$ 的彎矩為 $$ M(x)=RAx-\frac{qx^2}{2} =\frac{qL}{2}x-\frac{qx^2}{2}. $$ 代入題目提示： $$ v''(x) =c+\frac{qLx}{2EI}-\frac{qx^2}{2EI}. $$ 積分兩次，並以 $v(0)=0$ 代入：

110 高普考高考二級土木工程高等工程力學（包括材料力學）考古題詳解

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