111 高普考高考二級 金融保險 經濟學研究 考古題詳解

核心觀念

本題旨在測驗完全競爭要素市場與完全競爭產品市場下，廠商追求利潤極大化的最適要素（勞動）僱用決策。涉及的核心觀念與公式如下：

1. 邊際產量（Marginal Product of Labor, $MP_L$）： 每增加一單位勞動投入所帶來的總產量變動量： $MP_L = \frac{dQ}{dL}$

2. 邊際產值（Value of Marginal Product, $VMP_L$）與邊際收益產出（Marginal Revenue Product, $MRP_L$）：

• 廠商多僱用一單位勞動所創造的產值：$VMP_L = P \times MP_L$。
• 廠商多僱用一單位勞動所帶來的總收益變動：$MRP_L = MR \times MP_L$。
• 因為產品市場為完全競爭市場，個別廠商為價格接受者，邊際收益等於產品價格（$MR = P$），故： $VMP_L = MRP_L = P \times MP_L$

3. 邊際要素成本（Marginal Factor Cost, $MFC_L$）： 因為勞動市場為完全競爭市場，個別廠商為工資接受者，其所面對的勞動供給線為水平線，邊際要素成本等於工資率（$MFC_L = W$）。

4. 廠商利潤極大化之要素僱用條件：

• 一階條件（FOC）：邊際效益等於邊際成本，即： $VMP_L = W \quad \text{或} \quad P \times MP_L = W$
• 二階條件（SOC）：利潤函數對勞動量之二階導函數必須小於零，即邊際產值曲線斜率小於邊際要素成本曲線斜率（處於邊際報酬遞減階段）： $\frac{d^2\pi}{dL^2} = P \times \frac{d(MP_L)}{dL} < 0$
• 要素停業條件（生產第二階段）：工資率必須小於等於平均產值（$W \le VAP_L = P \times AP_L$），確保廠商不會因生產而擴大虧損。

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解題方法

(一) 計算該廠商將僱用多少勞動量

步驟一：設定利潤函數 廠商的總利潤 $\pi$ 為總收益（$TR$）減去總成本（$TC$）。由於題目僅涉及勞動要素，利潤函數表示為： $\pi(L) = TR - TC = P \times Q(L) - W \times L$

將產量函數 $Q = 1000L - 10L^2$、產品價格 $P = 10$、工資 $W = 1000$ 代入： $\pi(L) = 10 \times (1000L - 10L^2) - 1000L = 9000L - 100L^2$

步驟二：求解利潤極大之一階條件（FOC） 對勞動僱用量 $L$ 微分並令其等於零： $\frac{d\pi}{dL} = P \times MP_L - W = 0$

其中勞動的邊際產量為： $MP_L = \frac{dQ}{dL} = 1000 - 20L$

將數值代入一階條件： $10 \times (1000 - 20L) = 1000$ $1000 - 20L = 100$ $20L = 900 \implies L^* = 45$

步驟三：檢驗利潤極大之二階條件（SOC） $\frac{d^2\pi}{dL^2} = \frac{d(10000 - 200L)}{dL} = -200 < 0$ 二階導函數為負，確定 $L^* = 45$ 能達到利潤極大化。

步驟四：檢驗停業條件（經濟合理生產區間） 計算勞動平均產量（$AP_L$）與平均產值（$VAP_L$）： $AP_L = \frac{Q}{L} = 1000 - 10L$ 當 $L^* = 45$ 時： $AP_L = 1000 - 10(45) = 550$ $VAP_L = P \times AP_L = 10 \times 550 = 5500$

核心觀念

本題評量個體經濟學中「市場供需模型（Supply and Demand Model）」的比較靜態分析（Comparative Statics）與「總收益（Total Revenue, $TR$）」之判定：

1. 消費偏好與替代效果（Substitutes in Consumption）： 消費者在不同消費管道間具有替代性。外帶／外送與到店內用互為替代品。當外生衝擊（疫情風險）改變消費者偏好時，將引起兩市場需求曲線的反向移動。
2. 市場均衡的變動（Shifts in Supply and Demand）：

• 需求曲線移動：消費者偏好改變、替代品價格與可取得性變動。
• 供給曲線移動：政府防疫規範（容留限制、隔板成本）、店家轉型投入替代通路之生產要素重配置。

3. 總收益與價格彈性（Total Revenue and Elasticity）： 總收益定義為 $TR = P \times Q$。

• 若價格 $P$ 與數量 $Q$ 同向變動，則 $TR$ 變動方向明確，無須依賴彈性即可判定。
• 若價格 $P$ 與數量 $Q$ 反向變動，則 $TR$ 的變動方向取決於需求價格彈性（Price Elasticity of Demand, $E_d$）： $E_d = -\frac{\% \Delta Q}{\% \Delta P}$
• 當富有彈性（$E_d > 1$）時：降價使 $TR$ 上升；漲價使 $TR$ 下降。
• 當缺乏彈性（$E_d < 1$）時：降價使 $TR$ 下降；漲價使 $TR$ 上升。

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解題方法

高考二級《經濟學研究》為研究等級之申論題型，答題時應兼顧「基準模型（主要需求面衝擊）」與「完整模型（納入供給面防疫與轉型衝擊）」，並配合清楚標示的供需座標圖進行幾何與代數推導：

1. 剖析內用市場（子題一）：

• 需求面：群聚染疫風險使消費者內用偏好驟降，需求線左移（$D \downarrow$）。
• 供給面：店家配合社交距離、隔板裝設、容留上限等防疫規定，使營運成本提升或接客產能受限，供給線左移（$S \downarrow$）。
• 變動推導：兩者皆促使數量下降；進一步透過價量同跌或彈性分析推導總收益 $TR$ 之縮減。

2. 剖析外帶及外送市場（子題二）：

• 需求面：外帶外送作為內用的替代品，在避免接觸偏好驅使下，需求線大幅右移（$D \uparrow$）。
• 供給面：內用受挫的餐飲業者積極轉型開拓外帶外送管道、外送平台擴展服務，供給線向右移動（$S \uparrow$）。
• 變動推導：供需雙雙擴張使數量確定增加；價格與總收益則依移動幅度及需求彈性分層次深入討論。

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詳細解析與圖形說明

(一) 消費者到店內消費之餐飲市場（13 分）

1. 圖形分析

 價格 (P)
 ^
 | S1 (防疫成本/限制)
 | / S0 (原供給線)
 | / /
 P0 |-------/-*--/ E0: 原始均衡 (P0, Q0)
 | / / \ \ E1: 疫情後均衡 (P1, Q1)
 P1 |-----*-/---\-\
 | / / \ \
 | / / \ \
 | / / \ \ D0 (原需求線)
 | / / \ \
 |/ / \ v D1 (偏好下降)
 +----------------------> 數量 (Q)
 0 Q1 Q0

2. 文字詳細推導

1. 需求面變動（主導力量）： 新冠疫情具高度傳染性，面對面接觸及室內群聚顯著提高染疫機率。在防疫意識提升下，消費者對於「到店內用餐」的偏好大幅減退，導致內用市場的需求曲線由 $D_0$ 向左移動至 $D_1$。
2. 供給面變動（連帶衝擊）： 政府實施各項防疫措施（如維持室內 $1.5$ 公尺社交距離、採梅花座、加裝透明隔板、實施人流與容留總量管制），使內用座席數銳減、翻桌率下降且每客邊際服務成本增加。部分業者甚至因成本過高直接暫停內用。因此，內用市場之供給曲線由 $S_0$ 向左移動至 $S_1$。
3. 均衡數量（$Q^*$）之變化：

• 需求曲線左移使成交數量減少（$Q \downarrow$）。
• 供給曲線左移亦使成交數量減少（$Q \downarrow$）。
• 兩者同向作用，故到店內用市場的均衡數量確定大幅減少，即： $Q_1 < Q_0$

4. 均衡價格（$P^*$）與總收益（$TR$）之變化：

• 均衡價格：需求左移帶來降價壓力，供給左移帶來漲價成本推力。由於疫情初期內用人潮呈斷崖式萎縮，需求衝擊通常遠大於供給衝擊，使均衡價格下跌（$P_1 < P_0$）；即使供給限制使價格跌幅有限或價格微幅上升，數量銳減仍為主導因素。
• 總收益分析： 原始總收益為矩形面積 $TR_0 = P_0 \times Q_0$；變動後總收益為 $TR_1 = P_1 \times Q_1$。
• 若僅考慮需求面衝擊（基準情況）：價格下跌（$P_1 < P_0$）且數量減少（$Q_1 < Q_0$），由於價、量同步下滑，總收益必然減少（$TR_1 < TR_0$）。
• 若兼顧供需皆左移（完整情況）：數量縮減幅度極大。若 $P_1 < P_0$，價量齊跌，$TR$ 必然減少；

核心觀念

本題屬於個體經濟學之「消費者選擇理論」（Consumer Choice Theory），核心重點在於 寇布—道格拉斯效用函數（Cobb-Douglas Utility Function） 的性質與最適消費決策分析，涉及之核心觀念與工具包括：

1. 邊際效用（Marginal Utility, $MU$）：由效用函數對特定財貨取一階偏微分導出，表示在其他財貨消費量不變下，多消費一單位該財貨所帶來的總效用增量： $MU_x = \frac{\partial U}{\partial x}, \quad MU_y = \frac{\partial U}{\partial y}$
2. 邊際替代率（Marginal Rate of Substitution, $MRS$）：維持效用水準不變時，消費者願以多少單位 $y$ 財貨替代一單位 $x$ 財貨的比率，定義為兩財貨邊際效用之比值： $MRS_{xy} = -\left.\frac{dy}{dx}\right|_{dU=0} = \frac{MU_x}{MU_y}$
3. 效用極大化條件（Utility Maximization Condition）：在凸性偏好（Convex Preferences）與內部解（Interior Solution）前提下，最適消費組合必滿足無異曲線斜率等於預算線斜率（主觀評價等於客觀交換比率）： $MRS_{xy} = \frac{P_x}{P_y} \quad \text{且} \quad P_x x + P_y y = I$
4. 邊界解（Corner Solution）與稻田條件（Inada Conditions）：探討最適解是否位於座標軸邊界，核心在於檢驗各財貨是否為「不可或缺之必要品」（Essential Good）以及邊際效用在消費量趨近於零時的極限行為。

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解題方法與推導過程

(一) 推導消費者對 $x$ 與 $y$ 財貨之邊際效用

效用函數為： $U(x, y) = x^{0.5} y^{0.5}$

根據邊際效用定義，分別對 $x$ 與 $y$ 進行偏微分：

1. $x$ 財貨之邊際效用（$MU_x$）： $MU_x = \frac{\partial U(x, y)}{\partial x} = 0.5 \cdot x^{0.5 - 1} \cdot y^{0.5} = 0.5 x^{-0.5} y^{0.5} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{x}}$

2. $y$ 財貨之邊際效用（$MU_y$）： $MU_y = \frac{\partial U(x, y)}{\partial y} = 0.5 \cdot x^{0.5} \cdot y^{0.5 - 1} = 0.5 x^{0.5} y^{-0.5} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{x}{y}}$

說明：在 $x > 0$ 且 $y > 0$ 之下，兩財貨的邊際效用皆為正值（符合「多比少好」之單調性假設），且單一財貨消費量增加時其邊際效用隨之遞減（符合邊際效用遞減法則）。

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(二) 計算最適消費組合

已知參數：$P_x = 10$、$P_y = 5$、所得 $I = 100$。

建立效用極大化問題： $\max_{x, y} \; U(x, y) = x^{0.5} y^{0.5} \quad \text{s.t.} \quad 10x + 5y = 100$

步驟 1：計算邊際替代率（$MRS_{xy}$） $MRS_{xy} = \frac{MU_x}{MU_y} = \frac{0.5 x^{-0.5} y^{0.5}}{0.5 x^{0.5} y^{-0.5}} = \frac{y}{x}$

步驟 2：利用切點條件（Equi-Marginal Principle）列式 無異曲線斜率等於價格比： $MRS_{xy} = \frac{P_x}{P_y} \implies \frac{y}{x} = \frac{10}{5} = 2 \implies y = 2x$

步驟 3：代入預算限制式求解 將 $y = 2x$ 代入預算限制式 $10x + 5y = 100$： $10x + 5(2x) = 100$ $10x + 10x = 100$ $20x = 100 \implies x^* = 5$

將 $x^* = 5$ 代回 $y = 2x$： $y^* = 2(5) = 10$

此時消費者的最適消費組合為 $(x^*, y^*) = (5, 10)$，所得之極大效用水準為 $U^* = 5^{0.5} \cdot 10^{0.5} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$。

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(三) 說明最適消費組合不會出現任一財貨消費量為零之原因

核心觀念

本題評量**索羅－史旺新古典成長模型（Solow-Swan Neoclassical Growth Model）**的理論推導、動態調整路徑與衝擊分析能力：

1. 密集型生產函數（Intensive Production Function）：總生產函數具規模報酬不變（CRS）特徵，可轉化為人均形式 $y = f(k)$，滿足新古典邊際報酬遞減法則（$f'(k) > 0$ 且 $f''(k) < 0$）與稻田條件（Inada Conditions）。
2. 基本資本積累方程式（Fundamental Dynamic Equation）： $\dot{k} = sf(k) - (n + \delta)k$ 其中 $s$ 為外生儲蓄率、$n$ 為人口成長率、$\delta$ 為資本折舊率。
3. 長期穩態均衡（Steady-State Equilibrium）：當 $\dot{k} = 0$ 時，人均投資等於維護現有人均資本所需之必要投資（Break-even Investment），即 $sf(k^*) = (n + \delta)k^*$，決定獨一無二的長期穩態人均資本 $k^*$ 與人均產出 $y^* = f(k^*)$。
4. 狀態變數的水準衝擊（Level Shock） vs. 結構參數改變：一次性自然災害屬於「狀態變數（實體資本存量 $K$）的驟減」，並未改變結構參數（$s, n, \delta$）或技術型態，因此穩態均衡點不變，經濟體僅歷經短暫偏離與過渡動態（Transition Dynamics），最終展現新古典模型的「自發收斂性（Convergence Property）」。

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解題方法

1. 第一小題切入點：

• 建立標準索羅模型的假設與符號定義。
• 推導人均資本累積方程式，求出長期穩態條件 $\dot{k} = 0$。
• 解析人均產出與人均資本在生產函數上的靜態對應關係（凹向函數），以及長期穩態下兩者的共變決定機制。
• 繪製標準索羅成長模型圖（包含 $y=f(k)$、$sf(k)$ 與 $(n+\delta)k$ 三條曲線），清晰標示穩態交點與座標軸。

2. 第二小題切入點：

• 短期（天災發生瞬間）：勞動人口 $L$ 暫設不變，實體資本 $K$ 損毀導致人均資本水準由 $k^*$ 垂直驟降至 $k_0 < k^*$，人均產出同步驟降至 $y_0 = f(k_0) < y^*$。
• 動態調整期（過渡期）：由於新古典邊際生產力遞減，較低的人均資本使邊際產量提高，投資率維持 $s$ 之下，人均實際儲蓄投資大於損耗維持需求（$sf(k_0) > (n+\delta)k_0$），導致 $\dot{k} > 0$。經濟體出現暫時性的超額成長（追趕效果）。
• 長期影響：隨著資本重新積累，人均資本與人均產出完全回復至原有的長期穩態水準 $k^*$ 與 $y^*$。
• 繪製「索羅動態調整相圖」與「時間路徑圖（Time Paths of $k(t)$ and $y(t)$）」，清楚呈現短期斷崖式下跌、中期單調遞增收斂與長期重返原位的全過程。

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解題技巧與常見陷阱

1. 勿混淆「狀態變數衝擊」與「參數外生變動」：

• 常見陷阱：許多考生誤將天然災害畫成「折舊率 $\delta$ 提高」或「生產函數 $f(k)$ 整體下移」。
• 判斷竅門：題目明確指明為「一次性地（one-off）嚴重自然災害，造成資本減損」，這是一次性的存量破壞（Stock Shock / Level Shock），並非持續性的長期折舊率上升，亦非長期的技術倒退。因此，$(n+\delta)k$ 線與 $sf(k)$ 線的位置完全不變，僅是當前經濟體所處的座標點 $k$ 被外力推移至左方。

2. 短期與長期的概念劃分：

• 短期是指衝擊剛發生的當期（無時間讓新投資積累成新資本），資本存量直接產生缺口；
• 長期是指時間趨近於無限大（$t \to \infty$），市場機制與積累機制充分調整完畢後的穩態。

3. 圖形標示完整度：

• 圖形必須包含橫軸（人均資本 $k$）、縱軸（人均產出與投資 $y, i$）、各曲線名稱、原穩態點、受衝擊後的起始點以及收斂的箭頭方向。

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【答案】

(一) 長期下人均產出及人均資本之關係

1. 模型設定與符號定義

設總體生產函數為新古典生產函數： $Y = F(K, L)$ 其中 $Y$ 為實質總產出，$K$ 為實質總資本，$L$ 為勞動力（人口規模）。假設生產函數具備規模報酬不變（Constant Returns to Scale, CRS），兩邊同除以 $L$ 可得密集型（人均）生產函數： $y \equiv \frac{Y}{L} = F\left(\frac{K}{L}, 1\right) \equiv f(k)$ 其中 $k \equiv \frac{K}{L}$ 為人均資本，$y$ 為人均產出。該函數滿足新古典假設：

• 一階導數大於零：$f'(k) > 0$（資本邊際產出為正）。
• 二階導數小於零：$f''(k) < 0$（資本邊際產出遞減）。
• 稻田條件（Inada Conditions）：$\lim_{k \to 0} f'(k) = \infty$ 且 $\lim_{k \to \infty} f'(k) = 0$。

假設社會儲蓄率為常數 $s$（$0 < s < 1$），總儲蓄全數轉化為總投資 $I = S = sY$；資本折舊率為 $\delta$（$0 < \delta < 1$），人口成長率為 $n = \frac{\dot{L}}{L}$。對人均資本 $k$ 對時間微分，可得資本積累動態方程式： $\dot{k} = \frac{d(K/L)}{dt} = \frac{\dot{K}L - K\dot{L}}{L^2} = \frac{I - \delta K}{L} - n k = sf(k) - (n + \delta)k$

2. 長期穩態均衡關係

在長期下，經濟體達到穩態（Steady State），人均變數停止變動，即 $\dot{k} = 0$。此時長期穩態條件為： $sf(k^*) = (n + \delta)k^*$ 此條件決定了唯一的長期均衡人均資本 $k^*$。將 $k^*$ 代入人均生產函數，即決定長期穩態人均產出： $y^* = f(k^*)$

長期下人均產出與人均資本的關係表現在以下兩方面：

1. 靜態技術對應關係：在任何時點（包含長期），人均產出 $y$ 皆決定於人均資本 $k$。因 $f'(k) > 0$ 且 $f''(k) < 0$，$y$ 與 $k$ 呈嚴格單調遞增且凹向（concave）之關係，意即提高人均資本可提升人均產出，但邊際增益隨資本深化而遞減。
2. 長期均衡結構關係：長期穩態人均資本 $k^*$ 並非外生給定，而是由外生參數（$s, n, \delta$）共同決定。當儲蓄率 $s$ 越高、或人口成長率 $n$ 與折舊率 $\delta$ 越低時，長期穩態人均資本 $k^*$ 越高，帶動長期人均產出 $y^*$ 上升；