107 高普考高考二級 水利工程 高等水文學 考古題詳解

核心觀念

本題屬於水文學中「水庫與池塘之水文平衡（Water Balance）」與「土壤入滲理論（Infiltration Theory）」之綜合計算題，核心觀念包含：

1. 池塘水量平衡方程式（Hydrologic Budget / Water Balance Equation）： 在無入流補注期間，生態池蓄水量之變化率取決於邊界之輸出量，主要由「池面蒸發（Evaporation, $E$）」與「池底滲漏（Infiltration/Seepage, $f$）」兩者主導： $\frac{dh}{dt} = - \left( E + f(t) \right)$ 式中，$h$ 為池水深度，$t$ 為時間。

2. 霍頓入滲公式（Horton's Infiltration Equation）： 黏土層之入滲率隨時間衰減，依霍頓經驗公式表示： $f(t) = f_c + (f_0 - f_c) e^{-kt}$ 式中：

• $f(t)$：$t$ 時刻之入滲率（$\mathrm{mm/hr}$）
• $f_0$：初始入滲率（$6.6\ \mathrm{mm/hr}$）
• $f_c$：最終穩定入滲率（$1.5\ \mathrm{mm/hr}$）
• $k$：入滲率衰減係數（$1.4 \sim 4.7\ \mathrm{hr^{-1}}$）
• 累積入滲深度：$F(t) = \int_0^t f(\tau) d\tau = f_c t + \frac{f_0 - f_c}{k} \left(1 - e^{-kt}\right)$

3. 集水區降雨—逕流總量概念（Rainfall-Runoff Volume）： 當不考慮蒸發、滲漏等損失（水文損失為零，逕流係數 $C = 1.0$）時，集水區產生的總逕流體積為降雨延時內之總雨量乘以集水面積： $V_{\text{in}} = P \times A_c$

解題方法

基本幾何參數設定

• 最大蓄水容量 $V_{\max} = 1000\ \mathrm{m^3}$
• 滿水深 $H = 1\ \mathrm{m}$
• 生態池水表面積（假設為均勻斷面）： $A_p = \frac{V_{\max}}{H} = \frac{1000\ \mathrm{m^3}}{1\ \mathrm{m}} = 1000\ \mathrm{m^2}$
• 集水區面積： $A_c = 0.1\ \mathrm{km^2} = 0.1 \times 10^6\ \mathrm{m^2} = 100,000\ \mathrm{m^2}$

子題（一）：生態池由蓄滿水至無水約需幾天時間？

1. 分析霍頓入滲的時間尺度與暫態影響： 入滲衰減係數 $k = 1.4 \sim 4.7\ \mathrm{hr^{-1}}$。當時間經過數小時（如 $t > 5\ \mathrm{hr}$）後，$e^{-kt} \to 0$。因此在以「天」為計算單位的長期失水過程中，暫態入滲量僅發生在最初數小時內。 暫態入滲總累積量為： $\Delta F_{\text{trans}} = \frac{f_0 - f_c}{k} = \frac{6.6 - 1.5}{k} = \frac{5.1}{k}\ \mathrm{mm}$

• 若取 $k = 1.4\ \mathrm{hr^{-1}}$：$\Delta F_{\text{trans}} = \frac{5.1}{1.4} \approx 3.64\ \mathrm{mm}$
• 若取 $k = 4.7\ \mathrm{hr^{-1}}$：$\Delta F_{\text{trans}} = \frac{5.1}{4.7} \approx 1.09\ \mathrm{mm}$ 由數值可見，暫態入滲深度僅約 $1.1 \sim 3.6\ \mathrm{mm}$，相對於滿水深度 $1000\ \mathrm{mm}$ 而言佔比極微（$< 0.4\%$）。

2. 計算每日總失水深度： 池底達到穩定滲漏後之日入滲深度： $f_{c,\text{day}} = f_c \times 24\ \mathrm{hr/day} = 1.5\ \mathrm{mm/hr} \times 24\ \mathrm{hr/day} = 36\ \mathrm{mm/day}$ 池面日蒸發深度： $E_{\text{day}} = 5\ \mathrm{mm/day}$ 每日總失水率（水深消退速率）： $L_{\text{day}} = E_{\text{day}} + f_{c,\text{day}} = 5 + 36 = 41\ \mathrm{mm/day} = 0.041\ \mathrm{m/day}$

3. 求算完全乾涸所需時間 $T$： 滿水深 $H = 1\ \mathrm{m} = 1000\ \mathrm{mm}$。

• 精確解（計入暫態入滲修正）： $T = \frac{H - \Delta F_{\text{trans}}}{L_{\text{day}}}$
• 當 $k = 1.4\ \mathrm{hr^{-1}}$ 時：

核心觀念

本題評量都市雨水下水道排水系統之水文分析與通水能力檢核，主要包含三個核心概念：

1. 集流時間（Time of Concentration, $t_c$）： 集水區最遠點之雨水流至排水出口所需之時間。在雨水下水道系統中，集流時間由「流入時間（Inlet Time, $t_i$）」與「管內流動時間（Conduit Travel Time, $t_f$）」兩部分組成： $t_c = t_i + t_f = t_i + \frac{L}{V}$ 其中 $L$ 為管長（$\mathrm{m}$），$V$ 為平均流速（$\mathrm{m/sec}$）。

2. 降雨強度—延時關係（IDF 公式）： 在合理化公式應用中，產生最大尖峰流量之降雨延時 $t$ 通常取等於集水區之集流時間 $t_c$（即 $t = t_c$）。

3. 合理化公式（Rational Formula）： 用於小集水區（如市區、學校、小型集水區）之暴雨尖峰逕流量推估： $Q = \frac{1}{360} C I A$ 其中：

• $Q$：逕流尖峰流量（$\mathrm{cms}$ 或 $\mathrm{m^3/sec}$）
• $C$：逕流係數（無因次）
• $I$：降雨強度（$\mathrm{mm/hr}$）
• $A$：集水區面積（公頃，$\mathrm{ha}$）
• 常數 $\frac{1}{360}$：為公制單位換算係數（$1\ \mathrm{ha} \times 1\ \mathrm{mm/hr} = 10,000\ \mathrm{m^2} \times \frac{0.001\ \mathrm{m}}{3600\ \mathrm{sec}} = \frac{1}{360}\ \mathrm{m^3/sec}$）。

解題方法

第一部分：計算下水道出口之尖峰流量

1. 計算管內流動時間 $t_f$： 下水道長度 $L = 500\ \mathrm{m}$，流速 $V = 1.2\ \mathrm{m/sec}$： $t_f = \frac{L}{V} = \frac{500}{1.2} \approx 416.67\ \mathrm{sec} = \frac{416.67}{60} \approx 6.94\ \mathrm{min}$

2. 計算總集流時間 $t_c$： 流入時間 $t_i = 3\ \mathrm{min}$： $t_c = t_i + t_f = 3 + 6.94 = 9.94\ \mathrm{min}$

3. 計算平均降雨強度 $I$： 取降雨延時 $t = t_c = 9.94\ \mathrm{min}$，代入降雨強度公式：

核心觀念

1. 單位歷線（Unit Hydrograph, UH）定義： 單位歷線為特定延時 $D$ 內均勻降下 1 單位深度（本題為 $1\ \mathrm{cm}$）之有效降雨（超額降雨），在流域出口所產生的直接逕流歷線。其直接逕流總體積 $V$ 必等於流域面積 $A$ 與有效降雨深度 $P_e$ 之乘積： $V = A \times P_e = \int Q\, dt \approx \sum Q_i \cdot \Delta t$
2. 有效降雨量（超額降雨）推求： 總降雨量扣除入滲損失量後即為有效降雨量。若給定平均入滲率 $f$（或 $\Phi$ 指數）與暴雨延時 $T$，則入滲損失量為 $F = f \times T$；有效降雨量 $R = P - F$。
3. 線性水文系統之比例與重疊原理（捲積）：

• 比例性（Proportionality）：若降雨延時相同，有效降雨量為 $R$（公分）時，所產生的直接逕流縱距為單位歷線縱距之 $R$ 倍。
• 重疊性（Superposition）：若連續暴雨各場延時與單位歷線之延時相同，各場降雨所產生的直接逕流可依發生時間向後平移並直接疊加。

4. 洪水歷線（總逕流歷線）： 總逕流歷線縱距為直接逕流縱距與基流量（Baseflow, $Q_b$）之和： $Q(t) = Q_d(t) + Q_b = Q_1(t) + Q_2(t) + Q_b$

解題方法

(一) 計算該流域面積

1. 直接逕流總體積 $V$ 計算： 由題目給定之 4 小時單位歷線 $U(4, t)$，記錄時距為 $\Delta t = 2\ \mathrm{hr} = 7,200\ \mathrm{s}$。 由於起點 $U(4, 0) = 0$ 且終點 $U(4, 18) = 0$，採梯形法計算其圍成之面積（即直接逕流體積）： $\sum U_i = 0 + 12 + 55 + 35 + 25 + 13 + 8 + 3 + 1 + 0 = 152\ \mathrm{cms}$ $V = \Delta t \times \sum U_i = 7,200\ \mathrm{s} \times 152\ \mathrm{m^3/s} = 1,094,400\ \mathrm{m^3}$

2. 推求流域面積 $A$： 單位歷線對應之有效降雨深度 $P_e = 1\ \mathrm{cm} = 0.01\ \mathrm{m}$。 $A = \frac{V}{P_e} = \frac{1,094,400\ \mathrm{m^3}}{0.01\ \mathrm{m}} = 109,440,000\ \mathrm{m^2} = 109.44\ \mathrm{km^2}$

(二) 推求連續暴雨所造成的洪水歷線

1. 計算各場暴雨之有效降雨量： 兩場暴雨之延時皆為 $T = 4\ \mathrm{hr}$，平均入滲率 $f = 0.6\ \mathrm{cm/hr}$。 每場暴雨之入滲損失量： $F = f \times T = 0.6\ \mathrm{cm/hr} \times 4\ \mathrm{hr} = 2.4\ \mathrm{cm}$

• 第一場暴雨（$t = 0 \sim 4\ \mathrm{hr}$）： $R_1 = P_1 - F = 5.4 - 2.4 = 3.0\ \mathrm{cm}$
• 第二場暴雨（$t = 4 \sim 8\ \mathrm{hr}$）： $R_2 = P_2 - F = 7.4 - 2.4 = 5.0\ \mathrm{cm}$

2. 直接逕流與洪水歷線疊加：

• 第一場暴雨直接逕流：$Q_1(t) = R_1 \times U(4, t) = 3.0 \times U(4, t)$
• 第二場暴雨自 $t = 4\ \mathrm{hr}$ 開始，直接逕流落後 4 小時：$Q_2(t) = R_2 \times U(4, t - 4) = 5.0 \times U(4, t - 4)$（$t < 4\ \mathrm{hr}$ 時為 0）
• 總洪水流量：$Q(t) = Q_1(t) + Q_2(t) + Q_b$，其中基流量 $Q_b = 10\ \mathrm{cms}$。

3. 數值計算表：

核心觀念

本題考查水文學中非等量流河道洪水演算之經典方法——馬斯金更法（Muskingum Method）。核心概念包含：

1. 水量平衡（連續方程式）：在演算時距 $\Delta t$ 內，河道入流量與出流量的差值等於河段蓄水量的變化量： $\frac{I_1 + I_2}{2} - \frac{O_1 + O_2}{2} = \frac{S_2 - S_1}{\Delta t}$
2. 馬斯金更蓄水方程式：將河道總蓄水量視為「柱形蓄水（Prism Storage）」與「楔形蓄水（Wedge Storage）」之和： $S = K [X \cdot I + (1 - X) \cdot O]$

• $K$：蓄水時間常數（Storage Constant），具有時間維度，物理意義約等於洪水波通過該河段之行進時間。
• $X$：入流與出流之權重係數（Weighting Factor），無因次，介於 $0 \le X \le 0.5$ 之間（自然河道多介於 $0.1 \sim 0.3$，水庫蓄水則 $X = 0$）。

解題方法

一、Muskingum 洪水演算公式推導

1. 蓄水量變化量表示： 根據蓄水方程式，在時段起始點 $t_1$ 與結束點 $t_2$（$\Delta t = t_2 - t_1$）之蓄水量分別為： $S_1 = K [X I_1 + (1 - X) O_1]$ $S_2 = K [X I_2 + (1 - X) O_2]$ 兩式相減得蓄水量變化量： $S_2 - S_1 = K \left[ X(I_2 - I_1) + (1 - X)(O_2 - O_1) \right]$

2. 代入連續方程式： 將上述蓄水量變化代入時段平均連續方程式中： $\frac{I_1 + I_2}{2}\Delta t - \frac{O_1 + O_2}{2}\Delta t = K \left[ X(I_2 - I_1) + (1 - X)(O_2 - O_1) \right]$

3. 展開並整理各流量項： 兩端同乘以 2： $(I_1 + I_2)\Delta t - (O_1 + O_2)\Delta t = 2KX(I_2 - I_1) + 2K(1 - X)(O_2 - O_1)$ 將含有待求項 $O_2$ 移至左端，其餘已知項（$I_2, I_1, O_1$）移至右端： $O_2 \left[ 2K(1 - X) + \Delta t \right] = I_2 (\Delta t - 2KX) + I_1 (\Delta t + 2KX) + O_1 \left[ 2K(1 - X) - \Delta t \right]$

4. 求得演算係數： 同除以 $\left[ 2K(1 - X) + \Delta t \right]$，可得馬斯金更演算標準式： $O_2 = C_0 I_2 + C_1 I_1 + C_2 O_1$ 各常數與參數 $K$、$X$ 及 $\Delta t$ 之關係式如下： $C_0 = \frac{\Delta t - 2KX}{2K(1 - X) + \Delta t}$ $C_1 = \frac{\Delta t + 2KX}{2K(1 - X) + \Delta t}$ $C_2 = \frac{2K(1 - X) - \Delta t}{2K(1 - X) + \Delta t}$ 且滿足係數和為 1 之特性：$C_0 + C_1 + C_2 = 1$。

二、數值代入與係數計算

依題意已知：

• $K = 12.0\ \mathrm{hr}$
• $X = 0.2$
• 時距由入流歷線表得知：$\Delta t = 6.0\ \mathrm{hr}$

計算輔助項：

• $2KX = 2 \times 12.0 \times 0.2 = 4.8\ \mathrm{hr}$
• $2K(1 - X) = 2 \times 12.0 \times (1 - 0.2) = 19.2\ \mathrm{hr}$
• 分母 $D = 2K(1 - X) + \Delta t = 19.2 + 6.0 = 25.2\ \mathrm{hr}$

求各演算係數： $C_0 = \frac{6.0 - 4.8}{25.2} = \frac{1.2}{25.2} = \frac{1}{21} \approx 0.0476$ $C_1 = \frac{6.0 + 4.8}{25.2} = \frac{10.8}{25.2} = \frac{9}{21} \approx 0.4286$ $C_2 = \frac{19.2 - 6.0}{25.2} = \frac{13.2}{25.2} = \frac{11}{21} \approx 0.5238$

檢核：$C_0 + C_1 + C_2 = \frac{1 + 9 + 11}{21} = 1.0000$。 計算式可簡化為： $O_2 = \frac{I_2 + 9I_1 + 11O_1}{21}$

三、出流歷線演算過程

已知初始出流量 $O_1 (t=0) = 10\ \mathrm{cms}$。逐時距代入遞推公式：

1. $t = 6\ \mathrm{hr}$： $O(6) = \frac{20 + 9(10) + 11(10)}{21} = \frac{220}{21} \approx 10.48\ \mathrm{cms}$

核心觀念

本題為水文學中典型的「水文設計標準與極值統計分析」整合考題，評量考生將水文統計理論應用於工程安全設計的能力。核心觀念包含以下三項：

1. 水文風險率（Hydrologic Risk, $R$）與重現期距（Return Period, $T$）之關係： 水工結構物在設計壽命 $N$ 年內，超越設計規模的極端水文事件至少發生一次的機率稱為水文風險率。若各年度年最大值事件互為獨立同分布（IID），其發生次數服從二項分布（Binomial Distribution），則風險率為： $R = 1 - \left(1 - \frac{1}{T}\right)^N$
2. 周氏頻率因子法（Chow's Frequency Factor Method）與 Gumbel 極值分布： 水文變量之設計值可表示為樣本平均值與標準偏差之線性組合： $X_T = \bar{X} + K_T \cdot S_X$ 其中 Gumbel 分布（極值第一類分布，EV1）之頻率因子 $K_T$ 為： $K_T = -\frac{\sqrt{6}}{\pi}\left[0.5772 + \ln\left(\ln\frac{T}{T-1}\right)\right]$
3. 水工結構物之防洪耐受能力評估： 若外在降雨事件之降雨量（或其對應之重現期距）小於或等於結構物之設計暴雨深度（或設計重現期距），在其他水文條件與附屬設施正常運作之前提下，結構物在水理上可順利通過檢驗。

解題方法

步驟一：由設計壽命與風險率求算設計重現期距 $T$

已知結構物設計壽命 $N = 20\text{ 年}$，容許之水文風險率 $R = 10\% = 0.10$。 代入水文風險率公式： $R = 1 - \left(1 - \frac{1}{T}\right)^N \implies 0.10 = 1 - \left(1 - \frac{1}{T}\right)^{20}$

整理得非超越機率之累積式： $\left(1 - \frac{1}{T}\right)^{20} = 0.90$

兩邊開 20 次方（或取對數求解）： $1 - \frac{1}{T} = (0.90)^{\frac{1}{20}} = (0.90)^{0.05} \approx 0.994746$

解出設計重現期距 $T$： $\frac{1}{T} = 1 - 0.994746 = 0.005254 \implies T = \frac{1}{0.005254} \approx 190.33\text{ 年}$

步驟二：計算 Gumbel 分布頻率因子 $K_T$

利用題示之 Gumbel 頻率因子公式，注意項次轉換： $\frac{T}{T-1} = \frac{1}{1 - \frac{1}{T}} = \frac{1}{0.994746} \approx 1.005282$

取自然對數： $\ln\left(\frac{T}{T-1}\right) = \ln(1.005282) \approx 0.005268$ （或利用 $-\ln\left(1 - \frac{1}{T}\right) = -\ln(0.994746) = 0.005268$）

再次取自然對數： $\ln\left(\ln\frac{T}{T-1}\right) = \ln(0.005268) \approx -5.2461$

代入頻率因子公式中（其中 $\pi \approx 3.14159$，$\sqrt{6} \approx 2.44949$）： $K_T = -\frac{\sqrt{6}}{\pi} \left[ 0.5772 + (-5.2461) \right] = -\frac{2.44949}{3.14159} \times (-4.6689) \approx 0.7797 \times 4.6689 \approx 3.6403$

步驟三：計算 24 小時延時之設計暴雨深度 $X_T$

已知 24 小時延時年最大降雨量之統計參數：

• 期望值（平均值）$\bar{X} = 200\ \mathrm{mm}$
• 標準偏差 $S_X = 100\ \mathrm{mm}$

代入頻率分析公式：