107 高普考高考二級 水利工程 渠道水力學 考古題詳解

核心觀念

本題為開渠水力學中典型的「不對稱梯形斷面」均勻流與臨界流綜合計算題，涵蓋水利工程公職考試四大核心單元觀念與公式：

1. 幾何斷面幾何關係（不對稱梯形）： 設渠底寬為 $B$，兩側邊坡水平垂直比分別為 $z_1\mathrm{H}:1\mathrm{V}$ 與 $z_2\mathrm{H}:1\mathrm{V}$，水深為 $y$：

• 通水斷面積：$A = By + \frac{1}{2}(z_1 + z_2)y^2$
• 濕周（Wetted perimeter）：$P = B + y\sqrt{1+z_1^2} + y\sqrt{1+z_2^2}$
• 水面寬（Top width）：$T = B + (z_1 + z_2)y$
• 水力半徑（Hydraulic radius）：$R = \frac{A}{P}$
• 水力深度（Hydraulic depth）：$D = \frac{A}{T}$

2. 均勻流正常水深（Normal depth, $y_0$）： 均勻流滿足曼寧公式（Manning's formula），水力坡降等於渠床縱坡（$S_f = S_0$）： $Q = \frac{1}{n} A R^{2/3} S_0^{1/2} = \frac{1}{n} \frac{A^{5/3}}{P^{2/3}} S_0^{1/2}$

3. 臨界水深（Critical depth, $y_c$）： 斷面發生臨界流時，福祿數 $Fr = 1$，滿足斷面比能極小化條件： $\frac{Q^2 T_c}{g A_c^3} = 1 \implies \frac{A_c^3}{T_c} = \frac{Q^2}{g}$

4. 渠床平均剪應力與剪力速度： 均勻流中水流重力沿坡向分力與邊界剪應力阻力平衡：

• 渠床平均邊界剪應力：$\tau_0 = \gamma R S_0 = \rho g R S_0$
• 剪力速度（Shear velocity / Friction velocity）：$u_* = \sqrt{\frac{\tau_0}{\rho}} = \sqrt{g R S_0}$

解題方法

幾何基本參數設定

• 渠底寬 $B = 1.0\ \mathrm{m}$
• 側坡比 $z_1 = 1.0$、$z_2 = 2.0$
• 粗糙係數 $n = 0.013$，渠床坡度 $S_0 = 0.015$，流量 $Q = 3.5\ \mathrm{m^3/s}$，重力加速度採 $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$

隨水深 $y$ 變化的幾何函數式為：

• $A(y) = 1.0y + \frac{1+2}{2}y^2 = y + 1.5y^2$
• $P(y) = 1.0 + y\sqrt{1+1^2} + y\sqrt{1+2^2} = 1.0 + (\sqrt{2} + \sqrt{5})y \approx 1.0 + 3.6503y$
• $T(y) = 1.0 + (1+2)y = 1.0 + 3y$

(一) 求解正常水深 $y_0$ 與臨界水深 $y_c$

1. 求正常水深 $y_0$： 由曼寧公式整理斷面幾何通量項： $A R^{2/3} = \frac{A^{5/3}}{P^{2/3}} = \frac{Q \cdot n}{\sqrt{S_0}} = \frac{3.5 \times 0.013}{\sqrt{0.015}} = \frac{0.0455}{0.12247} \approx 0.3715\ \mathrm{m^{8/3}}$

將幾何關係代入： $\frac{(y_0 + 1.5y_0^2)^{5/3}}{(1.0 + 3.6503y_0)^{2/3}} = 0.3715$

採用試誤法（Trial and Error）求解：

• 試設 $y = 0.45\ \mathrm{m}$：$A = 0.7538$，$P = 2.6426$，$A R^{2/3} = 0.3266 < 0.3715$
• 試設 $y = 0.50\ \mathrm{m}$：$A = 0.8750$，$P = 2.8251$，$A R^{2/3} = 0.4005 > 0.3715$
• 試設 $y = 0.481\ \mathrm{m}$： $A = 0.481 + 1.5(0.481)^2 = 0.8280\ \mathrm{m^2}$ $P = 1.0 + 3.6503(0.481) = 2.7558\ \mathrm{m}$ $R = \frac{0.8280}{2.7558} = 0.3005\ \mathrm{m}$ $A R^{2/3} = 0.8280 \times (0.3005)^{2/3} = 0.3715\ \mathrm{m^{8/3}}$ 收斂得正常水深： $y_0 \approx 0.481\ \mathrm{m}$

2. 求臨界水深 $y_c$： 臨界流條件式： $\frac{A_c^3}{T_c} = \frac{Q^2}{g} = \frac{(3.5)^2}{9.81} = \frac{12.25}{9.81} \approx 1.2487\ \mathrm{m^5}$

代入幾何關係式： $\frac{(y_c + 1.5y_c^2)^3}{1.0 + 3y_c} = 1.2487$

核心觀念

本題探討水平矩形渠道中閘門出流（Sluice Gate Flow）的水力特性，涉及以下核心觀念與公式：

1. 連續方程式（Continuity Equation）： 在穩定流條件下，通過任意斷面之體積流量恆定： $Q = V_1 A_1 = V_2 A_2 = B q$ 其中 $B$ 為渠寬，$q$ 為單位寬度流量（單寬流量），斷面平均流速分別為 $V_1 = \frac{q}{y_1}$、$V_2 = \frac{q}{y_2}$。

2. 能量方程式（Energy Equation）： 以水平渠底為基準面，比能量（Specific Energy）為： $E = y + \frac{V^2}{2g} = y + \frac{q^2}{2g y^2}$

• 不計能量損失時（理想流體）：$E_1 = E_2$
• 考慮能量損失 $E_L$ 時：$E_1 = E_2 + E_L$

3. 動量方程式（Momentum Equation）： 選取閘門前後之控制體積，忽略渠底摩擦力及水流空氣接觸面之阻力，水平方向之一維動量方程式為： $\sum F_x = P_1 - P_2 - F_G = \rho Q (V_2 - V_1)$ 其中：

• $P_1 = \frac{1}{2} \gamma B y_1^2$ 為上游斷面 1 之靜水壓力。
• $P_2 = \frac{1}{2} \gamma B y_2^2$ 為下游斷面 2 之靜水壓力。
• $F_G$ 為渠流作用於閘門上之水平推力（閘門反作用於水流之推力向左，故為負號）。
• $\rho$ 為水之密度（常溫下取 $1000\ \mathrm{kg/m^3}$），$\gamma = \rho g$ 為水之單位重（取 $9.81\ \mathrm{kN/m^3}$ 或 $9.8\ \mathrm{kN/m^3}$）。

解題方法

(一) 不計渠流能量損失時之流量推估

1. 建立能量方程式： 因忽略流經閘門之能量損失，斷面 1 與斷面 2 之比能量相等： $y_1 + \frac{q^2}{2g y_1^2} = y_2 + \frac{q^2}{2g y_2^2}$

2. 推導單寬流量公式： 移項整理： $y_1 - y_2 = \frac{q^2}{2g} \left( \frac{1}{y_2^2} - \frac{1}{y_1^2} \right) = \frac{q^2}{2g} \left( \frac{y_1^2 - y_2^2}{y_1^2 y_2^2} \right)$ 利用平方差因式分解 $y_1^2 - y_2^2 = (y_1 - y_2)(y_1 + y_2)$，兩側同除以 $(y_1 - y_2 \neq 0)$： $1 = \frac{q^2}{2g} \frac{y_1 + y_2}{y_1^2 y_2^2} \implies q = y_1 y_2 \sqrt{\frac{2g}{y_1 + y_2}}$

3. 數值計算： 已知 $y_1 = 1.0\ \mathrm{m}$、$y_2 = 0.2\ \mathrm{m}$、$B = 2\ \mathrm{m}$，取重力加速度 $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$： $q = (1.0)(0.2) \sqrt{\frac{2 \times 9.81}{1.0 + 0.2}} = 0.2 \sqrt{\frac{19.62}{1.2}} = 0.2 \sqrt{16.35} \approx 0.8087\ \mathrm{m^2/s}$ 總流量 $Q$ 為： $Q = B \times q = 2\ \mathrm{m} \times 0.8087\ \mathrm{m^2/s} \approx 1.617\ \mathrm{m^3/s}$ （若取 $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$ 計算，則 $q \approx 0.8083\ \mathrm{m^2/s}$，$Q \approx 1.617\ \mathrm{m^3/s}$）

(二) 考慮能量損失 $E_L = 0.1y_1$ 時之流量推估

1. 計算能量損失量： $E_L = 0.1 y_1 = 0.1 \times 1.0\ \mathrm{m} = 0.1\ \mathrm{m}$

2. 建立含損耗之能量方程式： $y_1 + \frac{q^2}{2g y_1^2} = y_2 + \frac{q^2}{2g y_2^2} + E_L$ 整理各項： $(y_1 - y_2) - E_L = \frac{q^2}{2g} \left( \frac{1}{y_2^2} - \frac{1}{y_1^2} \right)$ 代入數值 $y_1 = 1.0\ \mathrm{m}$、$y_2 = 0.2\ \mathrm{m}$、$E_L = 0.1\ \mathrm{m}$： $(1.0 - 0.2) - 0.1 = 0.7\ \mathrm{m}$ $\frac{1}{y_2^2} - \frac{1}{y_1^2} = \frac{1}{0.2^2} - \frac{1}{1.0^2} = 25 - 1 = 24$ 因此： $0.7 = \frac{q^2}{2g} \times 24 = \frac{12 q^2}{g}$ 解得 $q$： $q = \sqrt{\frac{0.7g}{12}}$

3. 數值計算： 取 $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$： $q = \sqrt{\frac{0.7 \times 9.81}{12}} = \sqrt{0.57225} \approx 0.7565\ \mathrm{m^2/s}$ 總流量 $Q$ 為： $Q = B \times q = 2\ \mathrm{m} \times 0.7565\ \mathrm{m^2/s} \approx 1.513\ \mathrm{m^3/s}$

核心觀念

本題評量水平矩形渠道中「水躍」（Hydraulic Jump）之水力特性與基本水力學方程式的綜合應用，涉及以下核心觀念與公式：

1. 水躍共軛水深方程式（Belanger 方程式）： 在底坡平緩可忽略摩擦力的水平矩形渠道中，由控制體積之動量方程式可推導出水躍前後共軛水深（Sequent Depths）與前、後福祿數之關係： $\frac{y_2}{y_1} = \frac{1}{2} \left( \sqrt{1 + 8 Fr_1^2} - 1 \right)$ 反向關係亦成立： $\frac{y_1}{y_2} = \frac{1}{2} \left( \sqrt{1 + 8 Fr_2^2} - 1 \right)$

2. 福祿數（Froude Number, $Fr$）定義： 對矩形渠道而言，水力水深 $D = A / T = y$，故斷面之福祿數為： $Fr = \frac{V}{\sqrt{g y}}$

• 水躍前為超臨界流（急流）：$Fr_1 > 1$
• 水躍後為次臨界流（緩流）：$Fr_2 < 1$

3. 連續方程式（Continuity Equation）： 渠道寬度為常數 $b = 1.2\ \mathrm{m}$，質量守恆表示為： $Q = A_1 V_1 = A_2 V_2 \implies q = y_1 V_1 = y_2 V_2$

4. 水躍能量損失（Energy Loss / Head Loss, $E_L$）： 水躍為強烈紊流消能現象，水頭損失為躍前與躍後比能（Specific Energy）之差： $E_L = E_1 - E_2 = \left( y_1 + \frac{V_1^2}{2g} \right) - \left( y_2 + \frac{V_2^2}{2g} \right)$ 對於水平矩形渠道，經代數化簡可得純水深表示式： $E_L = \frac{(y_2 - y_1)^3}{4 y_1 y_2}$

解題方法

本題採公職考試標準重力加速度 $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$ 計算。

(一) 水躍前的福祿數 $Fr_1$ 及流速 $V_1$

1. 求水躍前福祿數 $Fr_1$： 由共軛水深公式： $\frac{y_2}{y_1} = \frac{1}{2} \left( \sqrt{1 + 8 Fr_1^2} - 1 \right)$ 代入已知水深 $y_1 = 0.1\ \mathrm{m}$ 及 $y_2 = 1.0\ \mathrm{m}$： $\frac{1.0}{0.1} = 10 = \frac{1}{2} \left( \sqrt{1 + 8 Fr_1^2} - 1 \right)$ 兩邊同乘以 $2$ 並移項： $20 = \sqrt{1 + 8 Fr_1^2} - 1 \implies \sqrt{1 + 8 Fr_1^2} = 21$ 兩邊平方： $1 + 8 Fr_1^2 = 21^2 = 441$ $8 Fr_1^2 = 440 \implies Fr_1^2 = 55$ $Fr_1 = \sqrt{55} \approx 7.416$

2. 求水躍前流速 $V_1$： 由福祿數定義式 $Fr_1 = \frac{V_1}{\sqrt{g y_1}}$： $V_1 = Fr_1 \sqrt{g y_1} = \sqrt{55} \times \sqrt{9.81 \times 0.1} = \sqrt{5.5 \times 9.81} = \sqrt{53.955} \approx 7.345\ \mathrm{m/s}$

(二) 水躍後的福祿數 $Fr_2$ 及流速 $V_2$

1. 求水躍後流速 $V_2$： 由連續方程式 $q = y_1 V_1 = y_2 V_2$： $V_2 = V_1 \left( \frac{y_1}{y_2} \right) = 7.3454 \times \left( \frac{0.1}{1.0} \right) = 0.7345\ \mathrm{m/s}$

2. 求水躍後福祿數 $Fr_2$：

• 方法一（福祿數定義）： $Fr_2 = \frac{V_2}{\sqrt{g y_2}} = \frac{0.73454}{\sqrt{9.81 \times 1.0}} = \frac{0.73454}{3.1321} \approx 0.2345$
• 方法二（共軛水深公式逆求）：

核心觀念

本題評量一維漸變非均勻不常態流（One-dimensional Unsteady Gradually Varied Open Channel Flow）的核心控制方程式——**聖維南方程式（Saint-Venant Equations）**之數學推導形式、項次物理意義，以及簡化波形模式之分類比較。

主要依據與公式：

1. 質量守恆原理（連續方程式）：流入與流出控制體積之淨質量流率，等於控制體積內流體質量的時變率。
2. 動量守恆原理（運動方程式，牛頓第二運動定律 / 動量方程式）：作用於控制體積上之外力合力（重力、底床剪應力、靜水壓力），等於動量通量之淨流出率與局部動量時變率之和。
3. 波浪理論簡化層級：根據水流動態特性，依序忽略慣性項（加速度項）與壓力梯度項，可由完全動力波簡化為擴散波及運動波。

解題方法

(一) 聖維南連續方程式與各項意義（7 分）

以通水斷面積 $A(x,t)$ 與斷面流量 $Q(x,t)$ 為應變數，取長度為 $\Delta x$ 之微小控制體積，考慮單位渠長側向入流量 $q_L$（Lateral inflow per unit channel length，量綱為 $[L^2/T]$），一維連續方程式之標準形式為：

$\frac{\partial A}{\partial t} + \frac{\partial Q}{\partial x} = q_L$

若無側向入流（$q_L = 0$），方程式簡化為：

$\frac{\partial A}{\partial t} + \frac{\partial Q}{\partial x} = 0$

各項物理意義說明：

1. $\frac{\partial A}{\partial t}$（蓄水時變項／儲水量時變率）：代表單位長度渠道內，通水斷面積隨時間的變化率；反映控制體積內部蓄水量隨時間的增減。
2. $\frac{\partial Q}{\partial x}$（流量空間變化項／淨通水率）：代表沿渠道流程方向（$x$ 軸），流量隨距離的變化率；反映由流動所帶入與帶出控制體積的淨流量。
3. $q_L$（側向入流源匯項）：代表由渠道兩側匯入（$q_L > 0$）或流出／滲漏（$q_L < 0$）之單位渠長流量。

(二) 聖維南運動方程式與各項意義（8 分）

以變數 $Q$ 與 $A$ 表示，一維開渠不常態流的動量（運動）方程式可寫為保守型（Conservative form）或非保守型。令動量修正係數為 $\beta$（Boussinesq 係數，通常水流接近均勻時取 $\beta \approx 1$）、重力加速度為 $g$、渠底坡度為 $S_0$、摩擦坡降（能量坡降）為 $S_f$。標準方程式如下：

$\frac{\partial Q}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\beta Q^2}{A}\right) + g A \frac{\partial y}{\partial x} + g A (S_f - S_0) = 0$

若考慮垂直匯入之側向入流（入流無沿渠流方向之動量），上式等號右側為 $0$。若將全式同除以 $gA$，可轉換為更具物理坡度對比的水頭坡度形式：

$\underbrace{\frac{1}{g A}\frac{\partial Q}{\partial t}}_{\text{局部加速度項}} + \underbrace{\frac{1}{g A}\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\beta Q^2}{A}\right)}_{\text{對流加速度項}} + \underbrace{\frac{\partial y}{\partial x}}_{\text{壓力梯度項}} + \underbrace{S_f}_{\text{摩擦坡度項}} - \underbrace{S_0}_{\text{渠床坡度項}} = 0$

各項物理意義說明：

1. $\frac{\partial Q}{\partial t}$ 或 $\frac{1}{g A}\frac{\partial Q}{\partial t}$（局部加速度項／時變慣性項，Local Acceleration）：代表特定斷面上流量隨時間改變而產生的慣性力效應。
2. $\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\beta Q^2}{A}\right)$ 或 $\frac{1}{g A}\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\beta Q^2}{A}\right)$（對流加速度項／空間慣性項，Convective Acceleration）：代表流體質點因沿程流速與斷面形狀不均勻，在空間運動時動量通量之空間變化率。
3. $g A \frac{\partial y}{\partial x}$ 或 $\frac{\partial y}{\partial x}$（壓力梯度項，Pressure Gradient）：代表斷面間因水深不均勻所產生的靜水壓力差合力；在緩坡或受回水影響時顯著。
4. $g A S_0$ 或 $S_0$（重力驅動項／渠底坡度項，Gravity Force）：流體因渠床傾斜，自身重力沿流動方向的分力，為推動水流前進的主要外力。
5. $g A S_f$ 或 $S_f$（邊界摩擦阻力項／摩擦坡降項，Friction Force）：渠壁與渠底之剪應力對水流所施加的阻力效應，通常藉由 Manning 公式或 Chezy 公式評估（如 $S_f = \frac{n^2 Q |Q|}{A^2 R^{4/3}}$）。

(三) 運動波、擴散波及動力波在運動方程式方面之差異（10 分）

將運動方程式表示為摩擦坡度 $S_f$ 的平衡形式：