107 高普考高考二級 水利工程 高等流體力學 考古題詳解

核心觀念

本題屬於流體靜力學（Fluid Statics）中「浮力與物體靜力平衡」的經典題型，評量考生對物體受力分析與力矩平衡的掌握程度。解題涉及的核心觀念與公式包括：

1. 阿基米德浮力原理（Archimedes' Principle）： 浸在流體中的物體所受浮力 $F_B$，大小等於該物體所排開流體的重量，方向恆鉛直向上，作用於排開流體體積的形心（即浮心，Center of Buoyancy）： $F_B = \rho_w g V_{\text{sub}}$ 其中 $\rho_w$ 為流體密度，$g$ 為重力加速度，$V_{\text{sub}}$ 為浸入水中的體積。
2. 物體自重與重心（Center of Gravity）： 均勻桿件的自重 $W$ 恆鉛直向下，作用於幾何中心（桿長中點）： $W = \rho g V = \rho g A L$ 其中 $\rho$ 為木棍密度，$A$ 為斷面積，$L$ 為木棍全長。
3. 剛體力矩平衡（Static Moment Equilibrium）： 木棍上端為固定鉸鏈（Hinge），受力時繞鉸鏈轉動。選取鉸鏈為支點計算合力矩，可直接消除鉸鏈未知反力的影響，靜力平衡條件為： $\sum M_O = 0$

解題方法

1. 幾何尺寸與作用點設定

設鉸鏈位置為原點 $O$（木棍上端），木棍斷面積為 $A$、長度為 $L$、密度為 $\rho$。木棍軸線與水平水面夾角為 $\theta = 35^\circ$。

• 重力作用點（重心 $G$）： 木棍斷面與密度均勻，重心位於桿件中點，距鉸鏈 $O$ 的沿桿距離為： $x_G = \frac{1}{2}L$
• 浮力作用點（浮心 $B$）： 木棍出水段長度為 $\frac{5}{8}L$，故水下浸沒段長度為： $L_{\text{sub}} = L - \frac{5}{8}L = \frac{3}{8}L$ 浸沒段的形心（浮心 $B$）位於該水下段的中點，距鉸鏈 $O$ 的沿桿距離為： $x_B = \frac{5}{8}L + \frac{1}{2}\left(\frac{3}{8}L\right) = \frac{5}{8}L + \frac{3}{16}L = \frac{13}{16}L$

2. 受力大小計算

• 木棍自重 $W$： $W = \rho g A L$
• 水下浸沒段所受浮力 $F_B$： $F_B = \rho_w g A L_{\text{sub}} = \rho_w g A \left(\frac{3}{8}L\right)$

3. 對鉸鏈 $O$ 取力矩平衡

重力 $W$ 與浮力 $F_B$ 均為鉛直方向力。木棍與水面（水平面）夾角為 $35^\circ$，因此鉛直力對鉸鏈 $O$ 的力臂均為「沿桿距離 $\times \cos 35^\circ$」。

取順時針力矩等於逆時針力矩（$\sum M_O = 0$）： $W \cdot (x_G \cos 35^\circ) = F_B \cdot (x_B \cos 35^\circ)$

核心觀念

本題旨在考查水利工程中水工模型試驗之不全相似（Incomplete Similitude）與水力模型相似律（Hydraulic Similitude Laws）。

1. 主導力判定與模型律選用： 溪流河道流動具自由液面（Free Surface），且題目明定「表面張力與黏度效應均予以忽略」，流場受重力（Gravity force）主導，故水工物理模型試驗必須遵循福祿動力相似律（Froude Similarity Law）。
2. 福祿數定義： $Fr = \frac{V}{\sqrt{gL}}$ 其中 $V$ 為流速、$g$ 為重力加速度、$L$ 為特徵長度。
3. 縮尺比定義與推導（下標 $m$ 代表模型 Model、$p$ 代表原型 Prototype、$r$ 代表縮尺比）：

• 長度縮尺：$L_r = \frac{L_m}{L_p}$
• 在相同重力場環境下，重力加速度縮尺 $g_r = \frac{g_m}{g_p} = 1$。
• 速度縮尺： $Fr_m = Fr_p \implies \frac{V_m}{\sqrt{g_m L_m}} = \frac{V_p}{\sqrt{g_p L_p}} \implies V_r = \frac{V_m}{V_p} = \sqrt{L_r} = L_r^{1/2}$
• 面積縮尺： $A_r = \frac{A_m}{A_p} = L_r^2$
• 流量縮尺： $Q_r = \frac{Q_m}{Q_p} = A_r V_r = L_r^2 \cdot L_r^{1/2} = L_r^{5/2}$

解題方法

（一）求最大的模型長度縮尺

1. 流量限制條件：

• 原型流量 $Q_p = 6000\ \mathrm{m^3/s}$
• 模型設備可供之最大流量 $Q_{m,\max} = 2\ \mathrm{m^3/s}$
• 試驗室之流量上限要求：$Q_m \le Q_{m,\max} = 2\ \mathrm{m^3/s}$

2. 建立流量縮尺不等式： 依題目設定，模型長度縮尺型式為 $L_r = \frac{1}{n^2}$（$n$ 為正整數）。 將 $L_r$ 代入流量縮尺公式： $Q_r = \frac{Q_m}{Q_p} = L_r^{5/2} = \left(\frac{1}{n^2}\right)^{5/2} = \frac{1}{n^5}$

因此模型流量可表示為： $Q_m = Q_p \cdot Q_r = \frac{6000}{n^5}$

配合設備容量限制： $\frac{6000}{n^5} \le 2 \implies n^5 \ge \frac{6000}{2} = 3000$

核心觀念

本題考查黏性流體在重力驅動下的斜面薄層流動（Gravity-driven thin film flow / 斜面落膜流），核心涉及以下觀念：

1. Navier-Stokes 方程式之簡化：在二維、定常（steady）、充分發展（fully developed）的層流條件下，慣性力與沿流向的壓力梯度均為零，流動僅由沿斜坡向下的重力分量與流體內部剪應力抗力達成動量平衡，簡化為題目所給的一階剪應力平衡式： $\rho g\sin\theta + \mu\frac{d^2u}{dy^2} = 0$
2. 邊界條件（Boundary Conditions）之設定：

• 斜面底端（$y = 0$）：固體表面滿足無滑動條件（No-slip condition），流速為零，即 $u(0) = 0$。
• 自由液面（$y = h$）：與空氣接觸之自由表面忽視氣體剪阻力，滿足自由剪應力條件（Zero-shear-stress condition），即 $\tau_{yx}\big|_{y=h} = \left.\mu\frac{du}{dy}\right|_{y=h} = 0$。

3. 連續方程式與流量積分：流場在垂直 $(x,y)$ 平面為均勻，單位寬度 $b = 1\ \mathrm{m}$ 的體積流量 $Q$ 即為流速剖面沿水深之定積分： $Q = b \int_{0}^{h} u(y)\, dy$

解題方法

步驟一：對控制方程式進行第一次積分（求解速度梯度與剪應力）

將原微分方程移項： $\frac{d^2u}{dy^2} = -\frac{\rho g\sin\theta}{\mu}$

對 $y$ 積分一次： $\frac{du}{dy} = -\frac{\rho g\sin\theta}{\mu} y + C_1$

代入自由液面之邊界條件：在 $y = h$ 處，$\frac{du}{dy} = 0$： $0 = -\frac{\rho g\sin\theta}{\mu} h + C_1 \implies C_1 = \frac{\rho g\sin\theta}{\mu} h$

因此，流場中的速度梯度（剪應力分布）為： $\frac{du}{dy} = \frac{\rho g\sin\theta}{\mu} (h - y)$

步驟二：對控制方程式進行第二次積分（求解流速剖面 $u(y)$）

將 $\frac{du}{dy}$ 對 $y$ 再次積分： $u(y) = \frac{\rho g\sin\theta}{\mu} \left( hy - \frac{y^2}{2} \right) + C_2$

代入斜坡底面之邊界條件：在 $y = 0$ 處，流體無滑動 $u(0) = 0$： $u(0) = C_2 = 0$

故沿斜坡方向的流速分布方程式為： $u(y) = \frac{\rho g\sin\theta}{\mu} \left( hy - \frac{y^2}{2} \right) = \frac{\rho g\sin\theta}{2\mu} y(2h - y)$

步驟三：推導單位寬度流量 $Q$ 的一般解析解

對流速剖面在水深區間 $[0, h]$ 進行積分： $Q = b \int_{0}^{h} u(y)\, dy = b \cdot \frac{\rho g\sin\theta}{\mu} \int_{0}^{h} \left( hy - \frac{y^2}{2} \right) dy$

核心觀念

本題屬於文氏管（Venturi tube）效應與虹吸吸液（Aspirator / Ejector）的典型工程應用，主要考核以下流體力學核心原理：

1. 連續方程式（Continuity Equation）： 對於不可壓縮流體之穩定流，通過管段各截面的體積流量守恆： $A_1 V_1 = A_2 V_2 \implies V_2 = V_1 \left(\frac{D}{d}\right)^2$
2. 白努利方程式（Bernoulli Equation）： 忽略水頭損失與黏滯性效應，沿流線之總水頭守恆： $\frac{p_1}{\gamma} + \frac{V_1^2}{2g} + z_1 = \frac{p_2}{\gamma} + \frac{V_2^2}{2g} + z_2$ 束縮處因流速增大，壓力隨之降低形成局部負壓（真空間隙），提供吸升容器內染液之推動力。
3. 靜水壓原理與壓力水頭（Pressure Head）： 靜止液體中之壓力隨深度增加，容器內細管底端浸沒處之表壓力為 $p = \gamma_{\text{dye}} y_{\text{sub}}$。
4. 虹吸成立條件： 束縮處之真空度（負壓水頭）必須大於染液面至管中心線之幾何高程差 $h$，方能將染液吸起。

解題方法

步驟一：由連續方程式計算束縮處流速 $V_2$

設主幹管截面為 1，直徑 $D = 2\ \mathrm{cm} = 0.02\ \mathrm{m}$，流速 $V_1 = U = 1\ \mathrm{m/s}$； 束縮處截面為 2，直徑 $d = 1\ \mathrm{cm} = 0.01\ \mathrm{m}$，流速為 $V_2$。 由連續方程式： $A_1 V_1 = A_2 V_2$ $V_2 = V_1 \left(\frac{D}{d}\right)^2 = 1 \times \left(\frac{2}{1}\right)^2 = 4\ \mathrm{m/s}$

步驟二：由白努利方程式求束縮處壓力水頭 $\frac{p_2}{\gamma}$

水流經束縮處後至右端排出大氣，右端出口截面（設為截面 3）回歸主幹管直徑 $D$，直接排入大氣中：

• 出口表壓力：$p_3 = 0\ \mathrm{Pa}$（取大氣壓為基準之表壓力）
• 出口流速：$V_3 = V_1 = 1\ \mathrm{m/s}$
• 管軸為水平管線：$z_2 = z_3$

在截面 2（束縮處）與截面 3（出口端）之間建立白努利方程式： $\frac{p_2}{\gamma} + \frac{V_2^2}{2g} + z_2 = \frac{p_3}{\gamma} + \frac{V_3^2}{2g} + z_3$

代入已知數據（重力加速度取 $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$）： $\frac{p_2}{\gamma} = \frac{p_3}{\gamma} + \frac{V_3^2 - V_2^2}{2g} = 0 + \frac{1^2 - 4^2}{2 \times 9.8} = -\frac{15}{19.6} \approx -0.7653\ \mathrm{m}$

步驟三：求細管兩端之壓力水頭差 $\Delta h$

依題目定義，$\Delta h$ 為細管兩端（下端與上端）之壓力水頭差：

1. 細管下端（浸沒於染液端，點 A）：

核心觀念

1. 理想流體勢流理論（Potential Flow Theory）： 在二維不可壓縮、無黏性且無旋（$\nabla \times \vec{V} = 0$）的流場中，速度向量 $\vec{V}$ 可由流速勢 $\phi$ 描述。依本題提示定義，速度向量與勢函數的關係為： $\vec{V} = v_r\vec e_r + v_\theta\vec e_\theta = -\frac{\partial\phi}{\partial r}\vec e_r - \frac{1}{r}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec e_\theta$

2. 固體壁面無穿透邊界條件（Kinematic Boundary Condition）： 在不透水的圓柱表面（$r = a$），流體無法穿透固體邊界，其徑向速度必等於零： $v_r(a, \theta) = 0$ 由此物理邊界條件可解出偶流強度 $K$ 與均勻流速 $U$ 及圓柱半徑 $a$ 的關係。

3. 白努利方程式（Bernoulli's Equation）： 對於定常、不可壓縮且無旋的流場，全流場適用同一白努利常數（忽略重力高程差）： $P_0 + \frac{1}{2}\rho U^2 = P(\theta) + \frac{1}{2}\rho V_s^2$ 藉由遠處無窮遠流場與圓柱表面之能量守恆，求得圓柱表面的壓力分布 $P(\theta)$。

解題方法

步驟一：由流速勢求速度分量

題目給定之流速勢為： $\phi = -Ur\cos\theta - \frac{K\cos\theta}{r}$

依據提示之微分關係式，展開求得徑向速度分量 $v_r$ 及切向速度分量 $v_\theta$： $v_r = -\frac{\partial\phi}{\partial r} = -\left(-U\cos\theta + \frac{K\cos\theta}{r^2}\right) = \left(U - \frac{K}{r^2}\right)\cos\theta$

$v_\theta = -\frac{1}{r}\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\frac{1}{r}\left(Ur\sin\theta + \frac{K\sin\theta}{r}\right) = -\left(U + \frac{K}{r^2}\right)\sin\theta$

步驟二：利用邊界條件求解偶流強度 $K$

在圓柱表面 $r = a$ 處，流體法向（徑向）速度為零： $v_r(a, \theta) = \left(U - \frac{K}{a^2}\right)\cos\theta = 0$

由於此式對所有角度 $\theta$ 皆須成立，故括號內之係數必為零： $U - \frac{K}{a^2} = 0 \implies K = Ua^2$

步驟三：求圓柱表面之切向流速與總流速

將 $K = Ua^2$ 代回切向速度公式，在圓柱表面 $r = a$ 處： $v_\theta(a, \theta) = -\left(U + \frac{Ua^2}{a^2}\right)\sin\theta = -2U\sin\theta$