113 高普考高考二級 機械工程 機械設計學 考古題詳解

113 年・高普考・高考二級・機械工程
試題代碼 機械設計學

第 一 題25 分

有一 S310×74S310\times74 型鋼所構成之結構柱（Column），承受如圖所示作用在 yy 軸上的偏心負載 PP。若可忽略因挫曲（buckling）所可能產生之問題（即此柱可視為短柱，short column），且材料之降伏強度（yielding strength）為 250 MPa250\ \mathrm{MPa}、抗拉強度（tensile strength）為 320 MPa320\ \mathrm{MPa}，設計時基於最大剪應力理論（maximum shear stress theory）之安全係數為 2.02.0，試求此柱容許之最大負載 PP。（25 分）

偏心距離：200 mm200\ \mathrm{mm}。

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型鋼 S310×74S310\times74 之截面性質：

  • 面積：9.48×103 mm29.48\times10^3\ \mathrm{mm^2}
  • 深度：305 mm305\ \mathrm{mm}
  • 翼板寬度：139 mm139\ \mathrm{mm}
  • 翼板厚度：16.8 mm16.8\ \mathrm{mm}
  • 腹板厚度：17.4 mm17.4\ \mathrm{mm}
  • xx 軸慣性矩：Ix=127×106 mm4I_x=127\times10^6\ \mathrm{mm^4}
  • xx 軸迴轉半徑：rx=116 mmr_x=116\ \mathrm{mm}
  • xx 軸截面模數：Sx=833×103 mm3S_x=833\times10^3\ \mathrm{mm^3}
  • yy 軸慣性矩：Iy=6.53×106 mm4I_y=6.53\times10^6\ \mathrm{mm^4}
  • yy 軸迴轉半徑：ry=26.2 mmr_y=26.2\ \mathrm{mm}
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核心觀念

本題考查偏心軸向負載造成的「軸向正應力與彎曲正應力疊加」，再以最大剪應力理論（Tresca 準則）判斷容許負載。

由圖可知，截面水平的 yy 方向為型鋼深度方向，因此偏心負載對截面垂直的 zz 軸產生彎矩。對照表中截面軸，zz 軸彎曲採用 Ix=127×106 mm4I_x=127\times10^6\ \mathrm{mm^4}，極端纖維距離為半個截面深度：

c=3052=152.5 mmc=\frac{305}{2}=152.5\ \mathrm{mm}

截面各點的軸向正應力由直接應力與彎曲應力相加或相減：

σ=PA±McIz,M=Pe\sigma=\frac{P}{A}\pm\frac{Mc}{I_z}, \qquad M=Pe

在單軸正應力狀態下，最大剪應力為最大正應力絕對值的一半。安全係數為 n=2n=2 時，依降伏強度 Sy=250 MPaS_y=250\ \mathrm{MPa}，容許最大正應力為：

∣σ∣allow=Syn=125 MPa|\sigma|_{\mathrm{allow}}=\frac{S_y}{n}=125\ \mathrm{MPa}

解題方法

偏心距 e=200 mme=200\ \mathrm{mm}。受壓最外側的軸向應力與彎曲應力同方向，為控制位置，其應力大小為：

σmax⁡=PA+(Pe)cIz=P(1A+ecIz)\sigma_{\max} =\frac{P}{A}+\frac{(Pe)c}{I_z} =P\left(\frac{1}{A}+\frac{ec}{I_z}\right)
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第 二 題25 分

有一薄壁（thin-walled）之圓柱形壓力容器，其桶身之平均直徑 d=1.5 md=1.5\ \mathrm{m}、壁厚 t=15 mmt=15\ \mathrm{mm}。在其使用過程中，內壓力 pp 在 pmin⁡=0.8 MPap_{\min}=0.8\ \mathrm{MPa}、pmax⁡=4.0 MPap_{\max}=4.0\ \mathrm{MPa} 間週期性變動，無外部壓力，且材料之降伏強度（yielding strength）Sy=300 MPaS_y=300\ \mathrm{MPa}、抗拉強度（tensile strength）Su=400 MPaS_u=400\ \mathrm{MPa}、修正後之疲勞限 Se=150 MPaS_e=150\ \mathrm{MPa}。試求根據靜態降伏失效與疲勞失效（Soderberg’s theory）分別之設計安全係數。（25 分）

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核心觀念

薄壁圓柱壓力容器受內壓時，主要承受環向應力與縱向應力。題目給定平均直徑與壁厚，且 d/t=100d/t=100，符合薄壁容器近似；採封閉端圓筒，並忽略徑向應力：

σh=pd2t,σl=pd4t,σr≈0\sigma_h=\frac{pd}{2t},\qquad \sigma_l=\frac{pd}{4t},\qquad \sigma_r\approx 0

材料為延性鋼材，靜態降伏以 von Mises（畸變能）等效應力判定：

σVM=σh2+σl2−σhσl\sigma_{\mathrm{VM}} =\sqrt{\sigma_h^2+\sigma_l^2-\sigma_h\sigma_l}

疲勞部分將循環應力分成平均應力與應力振幅，再以 von Mises 等效應力代入 Soderberg 準則：

1n=σa,VMSe+σm,VMSy\frac{1}{n} =\frac{\sigma_{a,\mathrm{VM}}}{S_e} +\frac{\sigma_{m,\mathrm{VM}}}{S_y}

解題方法

一、靜態降伏安全係數

靜態最大應力發生於最大內壓 pmax⁡=4.0 MPap_{\max}=4.0\ \mathrm{MPa}。先求環向與縱向應力：

σh,max⁡=(4.0)(1.5)2(0.015)=200 MPa\sigma_{h,\max} =\frac{(4.0)(1.5)}{2(0.015)} =200\ \mathrm{MPa} σl,max⁡=(4.0)(1.5)4(0.015)=100 MPa\sigma_{l,\max} =\frac{(4.0)(1.5)}{4(0.015)} =100\ \mathrm{MPa}

因此最大 von Mises 等效應力為：

σVM,max⁡=2002+1002−(200)(100)=173.2 MPa\sigma_{\mathrm{VM},\max} =\sqrt{200^2+100^2-(200)(100)} =173.2\ \mathrm{MPa}

靜態降伏安全係數：

ny=SyσVM,max⁡=300173.2=1.73n_y=\frac{S_y}{\sigma_{\mathrm{VM},\max}} =\frac{300}{173.2} =\boxed{1.73}

二、Soderberg 疲勞安全係數

內壓在 0.80.8 至 4.0 MPa4.0\ \mathrm{MPa} 間變動，故平均壓力與壓力振幅為：

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第 三 題25 分

如圖所示，同材質之鋼軸與轉盤係以緊迫配合（press fit）進行組裝，其中尺寸 a=25 mma=25\ \mathrm{mm}、b=50 mmb=50\ \mathrm{mm}、c=125 mmc=125\ \mathrm{mm}、l=100 mml=100\ \mathrm{mm}。配合公差設計為 100H7s6100H7s6，即：

  • 軸直徑：100+0.071+0.093 mm100^{+0.093}_{+0.071}\ \mathrm{mm}
  • 孔直徑：100−0.000+0.035 mm100^{+0.035}_{-0.000}\ \mathrm{mm}

材料性質為 E=210 GPaE=210\ \mathrm{GPa}、ν=0.3\nu=0.3，接觸面摩擦係數 f=0.15f=0.15。試求：

（一）組裝時可能之最大與最小半徑干涉量 δmax⁡\delta_{\max}、δmin⁡\delta_{\min}。（10 分）

（二）組裝時，若以軸向力推動，則選用機台至少所需之軸向推力規格大小。（10 分）

（三）組裝完成後，不產生接頭打滑下至少所能承受之軸向轉動扭矩。（5 分）

可參考公式：

p=Eδb(b2−a2)(c2−b2)2b2(c2−a2)p=\frac{E\delta}{b}\frac{(b^2-a^2)(c^2-b^2)}{2b^2(c^2-a^2)}

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核心觀念

本題考查軸與輪轂的緊迫配合。直徑公差先決定直徑干涉量，再除以 22 換算成半徑干涉量 δ\delta，代入題目提供的公式求接觸壓力 pp。組裝推力由接觸面的摩擦力決定；完成後的抗滑扭矩則由摩擦力乘上接觸半徑求得。

解題方法

（一）最大與最小半徑干涉量

軸直徑範圍為 100.071∼100.093 mm100.071\sim100.093\ \mathrm{mm}，孔直徑範圍為 100.000∼100.035 mm100.000\sim100.035\ \mathrm{mm}。

最大直徑干涉量出現在最大軸徑配最小孔徑：

Δdmax⁡=100.093−100.000=0.093 mm\Delta d_{\max}=100.093-100.000=0.093\ \mathrm{mm}

最小直徑干涉量出現在最小軸徑配最大孔徑：

Δdmin⁡=100.071−100.035=0.036 mm\Delta d_{\min}=100.071-100.035=0.036\ \mathrm{mm}

題目所需為半徑干涉量，因此：

δmax⁡=0.0932=0.0465 mm\delta_{\max}=\frac{0.093}{2}=0.0465\ \mathrm{mm} δmin⁡=0.0362=0.0180 mm\delta_{\min}=\frac{0.036}{2}=0.0180\ \mathrm{mm}

（二）軸向推力

組裝時採最大干涉量，接觸壓力與摩擦推力最大，因此用 δmax⁡\delta_{\max} 計算所需推力。

題目公式中的幾何項為：

(b2−a2)(c2−b2)2b2(c2−a2)=(502−252)(1252−502)2(502)(1252−252)=0.328125\frac{(b^2-a^2)(c^2-b^2)}{2b^2(c^2-a^2)} = \frac{(50^2-25^2)(125^2-50^2)} {2(50^2)(125^2-25^2)} =0.328125

使用 E=210000 MPaE=210000\ \mathrm{MPa}，得最大接觸壓力：

pmax⁡=210000(0.0465)50(0.328125)=64.083 MPap_{\max} = \frac{210000(0.0465)}{50}(0.328125) =64.083\ \mathrm{MPa}
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第 四 題25 分

有一液體潤滑之頸軸承（journal bearing），如圖所示，其中 rr 為軸頸半徑、LL 為軸承長度。假設軸承上之徑向負載 WW 不大，油膜厚度 cc 可維持均勻（即軸與軸承間同心、無中心偏置），軸之轉速為 n (rps)n\ (\mathrm{rps})，潤滑油之絕對黏度（absolute viscosity）為 η\eta，試推導軸承運轉之流體黏滯扭矩及其等效摩擦係數 ff（即 Petroff’s 方程式）。（25 分）

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核心觀念

本題考液體潤滑頸軸承的黏滯剪力與摩擦扭矩。依題意，軸與軸承同心，油膜厚度均勻為 cc；軸表面以速度 UU 運動，軸承表面固定，因此油膜可視為兩平行表面間的穩態庫埃特流（Couette flow）。

牛頓流體的剪應力為

τ=ηdudy\tau=\eta\frac{du}{dy}

其中 η\eta 為潤滑油的絕對黏度。軸承的等效摩擦係數定義為

f=FWf=\frac{F}{W}

FF 是油膜黏滯阻力，WW 是軸承承受的徑向負載。

解題方法與推導

軸以 nn rps 旋轉，其角速度與軸表面速度分別為

ω=2πn,U=rω=2πrn\omega=2\pi n,\qquad U=r\omega=2\pi rn

油膜厚度均勻為 cc，故油膜內速度梯度可取為

dudy=Uc\frac{du}{dy}=\frac{U}{c}

因此油膜剪應力為

τ=ηUc=2πηnrc\tau=\eta\frac{U}{c} =\frac{2\pi\eta n r}{c}

軸頸的潤滑面積為圓柱側面積

A=2πrLA=2\pi rL

油膜對軸頸產生的黏滯阻力為

F=τA=(2πηnrc)(2πrL)=4π2ηnr2LcF=\tau A =\left(\frac{2\pi\eta n r}{c}\right)(2\pi rL) =\frac{4\pi^2\eta n r^2L}{c}
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