111 高普考高考二級 機械工程 機械設計學 考古題詳解

111 年・高普考・高考二級・機械工程
試題代碼 機械設計學

第 一 題25 分

有一直徑 2 mm2\ \mathrm{mm} 之鋼絲（楊氏係數 E=210 GPaE=210\ \mathrm{GPa}）成型為如圖所示之半圓（平均半徑為 40 mm40\ \mathrm{mm}），且 AA、BB 兩端皆為銷接（pinned）固定。

試以卡氏定理（Castigliano’s theorem）求在對稱中點 CC 施加如圖之 30 N30\ \mathrm{N} 集中力時，AA、BB 端點之水平反力分量。（25 分）

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核心觀念

以左右對稱性，兩端垂直反力各為 15 N15\ \mathrm{N} 向下；兩端水平反力大小相等、方向相反。取 HH 為水平反力大小，假設 AA 端向左、BB 端向右。

鋼絲細長，依一般梁彎曲模型以彎曲應變能為主，忽略軸向與剪切變形。彎曲應變能為

U=∫M22EI dsU=\int \frac{M^2}{2EI}\,ds

由於支承點的水平位移為零，卡氏定理給出 ∂U/∂H=0\partial U/\partial H=0。

解題方法

取左半圓，由 AA 沿圓弧至 CC 以 θ\theta 表示位置，0≤θ≤π/20\leq\theta\leq\pi/2，弧長微分為 ds=R dθds=R\,d\theta，其中 R=40 mmR=40\ \mathrm{mm}。

左半圓截面的彎矩為

M(θ)=HRsin⁡θ−15R(1−cos⁡θ)M(\theta)=HR\sin\theta-15R(1-\cos\theta)

左右兩半對稱，因此

U=2∫0π/2M22EIR dθ=REI∫0π/2M2 dθU=2\int_0^{\pi/2}\frac{M^2}{2EI}R\,d\theta =\frac{R}{EI}\int_0^{\pi/2}M^2\,d\theta

依卡氏定理：

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第 二 題25 分

如圖所示由一直徑 10 mm10\ \mathrm{mm} 的彈簧鋼線所成形之懸臂梁彈簧，其接近自由端承受週期性之疲勞變動負載（Fmax⁡=120 NF_{\max}=120\ \mathrm{N}，Fmin⁡=60 NF_{\min}=60\ \mathrm{N}）。

鋼線材料之抗拉強度為 1360 MPa1360\ \mathrm{MPa}，其表面接近熱軋加工，其考量尺寸、負載應力型式、表面加工狀況等修正後之耐久限（endurance limit）為 220 MPa220\ \mathrm{MPa}，且彈簧固定端之疲勞應力集中係數為 1.31.3。

試以古德曼理論（Goodman’s criterion）估算此彈簧之疲勞壽命次數。（25 分）

供參考之公式： Ki=4C2−C−14C(C−1)K_i=\frac{4C^2-C-1}{4C(C-1)}

Ko=4C2+C−14C(C+1)K_o=\frac{4C^2+C-1}{4C(C+1)}

k=d4E10.8DN（unit: torque per turn）k=\frac{d^4E}{10.8DN}\quad\text{（unit: torque per turn）}

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核心觀念

本題是懸臂梁在脈動彎曲負載下的疲勞壽命估算。先由最大、最小負載求出彎曲應力的平均應力與應力振幅，再以 Goodman 關係修正平均應力的影響，最後利用有限壽命 S–N 線估算循環次數。

題目未指定材料的完整 S–N 曲線，因此採用常見估算假設：在 10310^3 次循環時，疲勞強度為 0.9Sut0.9S_{ut}；在 10610^6 次循環時，疲勞強度為題目提供的修正耐久限 SeS_e，兩點間以 log⁡S\log S–log⁡N\log N 直線內插。

解題方法

圖示固定端應力集中處至負載作用線距離為 L=400 mmL=400\ \mathrm{mm}，鋼線直徑為 d=10 mmd=10\ \mathrm{mm}。固定端的彎曲應力乘上疲勞應力集中係數 Kf=1.3K_f=1.3。

圓形截面的彎曲應力為

σ=32Mπd3=32FLπd3\sigma=\frac{32M}{\pi d^3} =\frac{32FL}{\pi d^3}

最大、最小負載對應的名義彎曲應力分別為

σmax⁡,nom=32(120)(400)π(10)3=489.3 MPa\sigma_{\max,\mathrm{nom}} =\frac{32(120)(400)}{\pi(10)^3} =489.3\ \mathrm{MPa} σmin⁡,nom=32(60)(400)π(10)3=244.7 MPa\sigma_{\min,\mathrm{nom}} =\frac{32(60)(400)}{\pi(10)^3} =244.7\ \mathrm{MPa}

考慮固定端疲勞應力集中係數：

σmax⁡=1.3(489.3)=636.1 MPa\sigma_{\max}=1.3(489.3)=636.1\ \mathrm{MPa} σmin⁡=1.3(244.7)=318.1 MPa\sigma_{\min}=1.3(244.7)=318.1\ \mathrm{MPa}

因此平均應力與應力振幅為

σm=σmax⁡+σmin⁡2=636.1+318.12=477.1 MPa\sigma_m=\frac{\sigma_{\max}+\sigma_{\min}}{2} =\frac{636.1+318.1}{2} =477.1\ \mathrm{MPa}
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第 三 題25 分

有一均勻鋼軸直徑為 25 mm25\ \mathrm{mm}、長度為 600 mm600\ \mathrm{mm}，可視為簡支撐（simply-supported）於兩端之軸承間。

材料楊氏係數為 207 GPa207\ \mathrm{GPa}、質量密度為 7650 kg/m37650\ \mathrm{kg/m^3}。

試求此軸之最低臨界轉速（critical speed，單位為 rpm），以及直徑、長度皆縮小一半之另一軸的臨界轉速，並說明軸臨界轉速之意涵。（25 分）

供參考之公式： ω=π2EIρAL4（rad/s）\omega=\pi^2\sqrt{\frac{EI}{\rho AL^4}}\quad\text{（rad/s）}

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核心觀念

本題考均勻簡支軸的最低臨界轉速，也就是軸的第一階橫向振動固有頻率換算成每分鐘轉數。題目提供的公式為

ω1=π2EIρAL4\omega_1=\pi^2\sqrt{\frac{EI}{\rho A L^4}}

其中 ω1\omega_1 為角頻率（rad/s），EE 為楊氏係數，II 為截面二次慣性矩，ρ\rho 為質量密度，AA 為截面積，LL 為軸長。實心圓軸的截面性質為

I=πd464,A=πd24I=\frac{\pi d^4}{64},\qquad A=\frac{\pi d^2}{4}

解題方法

先將材料與幾何尺寸換成 SI 單位：

E=207×109 Pa,ρ=7650 kg/m3,d=0.025 m,L=0.600 mE=207\times10^9\ \mathrm{Pa},\quad \rho=7650\ \mathrm{kg/m^3},\quad d=0.025\ \mathrm{m},\quad L=0.600\ \mathrm{m}

將 II 與 AA 代入公式，利用

IA=πd4/64πd2/4=d216\frac{I}{A} =\frac{\pi d^4/64}{\pi d^2/4} =\frac{d^2}{16}

可得

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第 四 題25 分

有一如圖所示之捕鼠夾係由兩個對稱配置的扭轉彈簧所驅動，彈簧由直徑 2 mm2\ \mathrm{mm} 鋼線繞成外徑 12 mm12\ \mathrm{mm}、有效圈數 1111 圈之螺旋（材料楊氏係數為 200 GPa200\ \mathrm{GPa}）。

使用施力器量測設定捕鼠器所需於夾桿 AA 點施加之力量大小為 36 N36\ \mathrm{N}，試求此設定時所需旋轉夾桿之彈簧扭轉變形角度以及彈簧內鋼絲之最大應力。（25 分）

供參考之公式： Ki=4C2−C−14C(C−1)K_i=\frac{4C^2-C-1}{4C(C-1)}

Ko=4C2+C−14C(C+1)K_o=\frac{4C^2+C-1}{4C(C+1)}

k=d4E10.8DN（unit: torque per turn）k=\frac{d^4E}{10.8DN}\quad\text{（unit: torque per turn）}

圖示尺寸：84 mm84\ \mathrm{mm}、38 mm38\ \mathrm{mm}。

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核心觀念

本題考兩個相同扭轉彈簧並聯承受總扭矩，以及扭轉彈簧的扭轉剛性與鋼絲彎曲應力。兩彈簧對稱配置，因此各承受總扭矩的一半。線圈平均直徑為外徑減鋼絲直徑：

D=Do−d=12−2=10 mmD=D_o-d=12-2=10\ \mathrm{mm}

彈簧指數為：

C=Dd=102=5C=\frac{D}{d}=\frac{10}{2}=5

解題方法

圖中夾桿 AA 至彈簧軸線的力臂為 84 mm84\ \mathrm{mm}，因此 36 N36\ \mathrm{N} 的施力對兩彈簧合計產生的扭矩為：

T總=F(84)=36(84)=3024 N⋅mmT_{\text{總}}=F(84)=36(84)=3024\ \mathrm{N\cdot mm}

由於兩個彈簧對稱分擔扭矩，每個彈簧所承受的扭矩為：

T=T總2=1512 N⋅mmT=\frac{T_{\text{總}}}{2}=1512\ \mathrm{N\cdot mm}

每個彈簧的剛性由題目所給公式計算：

k=d4E10.8DN=(2)4(200000)10.8(10)(11)=2693.6 N⋅mm/turnk=\frac{d^4E}{10.8DN} =\frac{(2)^4(200000)}{10.8(10)(11)} =2693.6\ \mathrm{N\cdot mm/turn}

其中 E=200 GPa=200000 N/mm2E=200\ \mathrm{GPa}=200000\ \mathrm{N/mm^2}。彈簧變形圈數為：

n=Tk=15122693.6=0.561 turnn=\frac{T}{k} =\frac{1512}{2693.6} =0.561\ \mathrm{turn}
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