114 高普考高考二級 機械工程 機械設計學 考古題詳解

核心觀念

本題考查延性材料在複合應力下的降伏安全係數，分別使用最大剪應力準則（Tresca 準則）與畸變能準則（Von Mises 準則）。材料的拉伸強度為 $540\ \mathrm{MPa}$，但兩項準則判斷降伏時應採用降伏強度 $S_y=450\ \mathrm{MPa}$。

平面應力狀態的主應力為

主應力依大小排列為 $\sigma_1\geq \sigma_2\geq \sigma_3$。

解題方法

先由平面應力公式求主應力，再代入兩種降伏準則。安全係數定義為材料降伏強度除以準則所計算的等效應力。

一、求主應力

代入 $\sigma_x=30\ \mathrm{MPa}$、$\sigma_y=190\ \mathrm{MPa}$、$\tau_{xy}=-60\ \mathrm{MPa}$：

因此，

排序後為 $\sigma_1=210\ \mathrm{MPa}$、$\sigma_2=10\ \mathrm{MPa}$、$\sigma_3=0$。剪應力的正負不影響主應力大小，因公式中使用 $\tau_{xy}^2$。

二、最大剪應力準則（Tresca）

三維最大剪應力為最大與最小主應力之差的一半：

核心觀念

本題考查滾珠軸承的基本額定壽命與基本額定負載。軸承型錄若以 $10^6$ 轉為壽命基準，基本額定壽命 $L_{10}=1$（百萬轉）所對應的負載稱為基本額定負載 $C$。對球軸承，額定壽命公式為

其中 $L_{10}$ 以百萬轉為單位，$C$ 為基本額定負載，$P$ 為等效動負載。本題只有徑向負載，故 $P=2\ \mathrm{kN}$。

解題方法

先將要求的使用壽命由小時換算成轉數，再換算為百萬轉：

因此所需額定壽命為

核心觀念

本題考查滾珠軸承的構造、各零件功能，以及滾珠軸承與滾子軸承在接觸形式、承載能力與適用情況上的差異。作答時先畫出典型單列深溝滾珠軸承的剖面示意圖，再說明主要零件，最後比較兩類軸承。

典型滾珠軸承由內環、外環、滾珠、保持器及潤滑與密封構造組成。滾珠與滾道之間為近似點接觸；滾子軸承則主要為線接觸。接觸形式影響接觸應力與負荷分布，因此同尺寸下，滾子軸承通常有較高的徑向承載能力，滾珠軸承則較適合高速運轉。

解題方法

以下以單列深溝滾珠軸承說明主要構造：

 外環
 ┌───────────────────┐
 │ 外環滾道 │
 │ ○ ○ ○ ○ │ ← 滾珠
 │ ─保持器／球兜─ │
 │ 內環滾道 │
 └────────┬──────────┘
 內環

示意圖呈現軸承的基本層次；實際保持器會分隔並引導滾珠，常位於滾珠間，不一定如圖完整環繞。

主要結構與功能

• 內環：套裝於軸上，內環滾道支承滾珠，並將軸的負荷傳入軸承。
• 外環：裝入軸承座，外環滾道支承滾珠，並將負荷傳至機架或軸承座。
• 滾珠：在內、外環滾道間滾動，將滑動摩擦轉為滾動摩擦，支承並傳遞負荷。
• 保持器：保持滾珠間距，避免滾珠互相碰撞，並引導滾珠運轉；通常不作為主要承載零件。
• 潤滑與密封構造：潤滑劑可降低摩擦與磨耗、協助散熱；密封或防塵蓋可減少污染物進入及潤滑劑流失。並非所有軸承都附有密封件。

負荷傳遞與接觸形式

軸承負荷由內環滾道經滾動體傳至外環滾道。滾珠與滾道的接觸區很小，理想化為點接觸；受力後會形成有限的橢圓接觸區。滾子與滾道則形成較長的線狀接觸區，受力後為帶狀接觸區，因此能在接觸區分散較大的負荷。

滾珠軸承與滾子軸承比較

核心觀念

本題考查變動應力的平均應力與應力振幅、有限壽命疲勞強度，以及 Modified Goodman 與 Gerber 平均應力修正準則。

應力範圍為 $-140\sim420\ \mathrm{MPa}$，因此

其中 $\sigma_m$ 為平均應力，$\sigma_a$ 為應力振幅。拉伸強度 $S_{ut}=560\ \mathrm{MPa}$，降伏強度 $S_y=455\ \mathrm{MPa}$。

以下採用鋼材標準估算法，假設 $10^3$ 次的疲勞強度為 $0.9S_{ut}$，而 $10^6$ 次的耐久極限為 $S_e=0.5S_{ut}$；兩點之間以雙對數座標上的直線近似 S–N 曲線。計算 Gerber 壽命時，將此直線外推至所求強度。

解題方法

先由平均應力準則求出達到疲勞破壞時所需的完全反覆疲勞強度 $S_f(N)$，再以 S–N 曲線反算壽命。

1. 建立 S–N 曲線

採用冪次式 $S_f(N)=aN^b$。由兩個已知點求指數：

因此壽命可由下式反算：

2. Modified Goodman 準則

Modified Goodman 疲勞破壞條件為

代入本題應力，解出所需疲勞強度：