114 年高普考高考二級機械工程考古題與詳解

Question 1

考慮風力發電系統之發電效率定義為 $$Cp=\frac{P}{P{wind}}$$ 其中，$P$ 是風力發電機所發出之電力，$P{wind}$ 是風力中所蘊含的能量： $$P{wind}=\frac{1}{2}ho A v^3$$ $ho$ 是空氣密度，$A$ 是轉子葉片掃描面積（rotor swept area；若葉片的半徑是 $R$，此面積即為 $A=\pi R^2$），而 $v$ 則為瞬時風速（假設吹過整個掃描面積的風速是均勻的）。 在中風速區的控制目的就是要最佳化發電的電力效率 $Cp$。一般水平軸風力發電機的電力效率是機組的翼尖速度比 $\lambda$（tip-speed ratio）的函數， $$\lambda=\frac{\omega R}{v}$$ 此處的 $\omega$ 是轉子轉速。我們知道電力（發電功率）是轉子扭力與速度的乘積： $$P=	au{aero}\omega$$ 考慮 $	au{aero}$ 為風力克服了所有的阻力（含傳動摩擦）所剩餘可以轉動風機的扭力。考慮此風機在正常操作風速範圍內所可達成的最佳發電效率為 $C{pmax}$，而為了達成此最佳發電效率，風機的控制器會輸入一個控制扭力 $	auc$，來維持風機在最佳發電效率狀態下操作。此系統為一高度非線性系統，部分廠商會使用 $$	auc=K\omega^2$$ 作為 $	auc$ 的控制邏輯，其中 $$K=\frac{1}{2}ho\pi R^5\frac{C{pmax}}{\lambda^3}$$ 其中，$C{pmax}$ 是風機可達成的最大發電效率，$\lambda$ 是最大發電效率時的翼尖速度比。由於控制扭力的介入，風機的控制閉迴路系統動態模型成為 $$\dot{\omega}=\frac{1}{J}\left(	au{aero}-	aucight)$$…

Accepted Answer

核心觀念

本題考查風力發電機在中風速區的最大功率追蹤（Maximum Power Point Tracking, MPPT）。控制器以轉子轉速 $\omega$ 決定控制扭力 $\tau_c$ ，使轉子維持在最佳翼尖速度比 $\lambda_*$ ，進而讓功率係數 $C_p$ 達到 $C_{pmax}$ 。

關鍵關係為：

C_p=\frac{P}{P_{wind}},\qquad P_{wind}=\frac{1}{2}\rho\pi R^2v^3,\qquad \lambda=\frac{\omega R}{v},\qquad P=\tau_{aero}\omega

解題方法

由翼尖速度比定義，在最佳操作點 $\lambda=\lambda_*$ 時，

v=\frac{\omega R}{\lambda_*}

此時風機可擷取的最佳功率為

P_*=C_{pmax}P_{wind} =\frac{1}{2}\rho\pi R^2 \left(\frac{\omega R}{\lambda_*}\right)^3 C_{pmax}

整理得

P_*= \frac{1}{2}\rho\pi R^5 \frac{C_{pmax}}{\lambda_*^3}\omega^3

由 $P=\tau_{aero}\omega$ ，最佳操作點所需的氣動扭力為

\tau_{aero,*}=\frac{P_*}{\omega} =\frac{1}{2}\rho\pi R^5 \frac{C_{pmax}}{\lambda_*^3}\omega^2 =K\omega^2

Question 2

請推導以下方塊圖的系統轉移函數。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考查方塊圖的訊號關係與負回授化簡。先依各分支的取樣位置定義訊號，再依加總點的正負號列式，可以避免把兩條回授路徑誤認為串聯。 解題方法 令主加總點輸出為 $e(s)$，第一個方塊 $1/(s+1)$ 的輸出為 $x(s)$，系統輸出為 $y(s)$。由圖可知，$x(s)$ 分別經過 $1/(s+2)$ 直接到輸出，以及經過 $1/(s+3)$ 送入下方加總點；下方加總點將這兩個訊號相加，再回到主加總點的負端。因此： $$ x(s)=\frac{1}{s+1}e(s) $$ $$ y(s)=\frac{1}{s+2}x(s) $$ 下方加總點的輸出為： $$ v(s)=y(s)+\frac{1}{s+3}x(s) $$ 主加總點為輸入減去回授訊號： $$ e(s)=r(s)-v(s) $$ 代入 $y(s)=x(s)/(s+2)$，得到： $$ e(s)=r(s)-\left(\frac{1}{s+2}+\frac{1}{s+3}\right)x(s) $$ 又 $x(s)=e(s)/(s+1)$，故 $$ x(s)=\frac{1}{s+1}\left[ r(s)-\left(\frac{1}{s+2}+\frac{1}{s+3}\right)x(s) \right] $$ 整理後：

Question 3

一系統的波德圖如下圖所示。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

我們知道此系統之動態在 $120\ \mathrm{Hz}$ 附近有共振，請評估系統還有什麼動態特性造成此波德圖？

Accepted Answer

核心觀念 本題要由波德圖的幅值斜率與相位變化，判斷系統中除了共振模態以外，還有哪些極點、零點或積分器。 常用判讀規則如下： - 每個原點極點（積分器）使幅值斜率減少 $20\ \mathrm{dB/dec}$，相位減少約 $90^\circ$。 - 每個左半平面零點使幅值斜率增加 $20\ \mathrm{dB/dec}$，相位增加約 $90^\circ$。 - 一對共軛複數極點使幅值斜率減少 $40\ \mathrm{dB/dec}$，相位再減少約 $180^\circ$；阻尼較小時，幅值會在自然頻率附近出現共振峰。 解題方法 先讀取低頻段的斜率與相位：圖中低頻幅值約以 $-40\ \mathrm{dB/dec}$ 下降，相位約為 $-180^\circ$。這兩項特徵都表示系統有兩個原點極點，也就是雙積分器： $$ G(s)\propto \frac{1}{s^2} $$ 接著觀察中頻相位：相位從約 $-180^\circ$ 上升至約 $-110^\circ$，呈現約 $70^\circ$ 的相位超前；幅值斜率也有變得較不負的趨勢。這表示系統還有一個提供相位超前的左半平面零點。單一零點的相位超前上限約為 $90^\circ$，圖上的相位變化與此相符。

Question 4

（一）請畫出純慣量系統 $G(s)=\frac{1}{s^2}$ 的根軌跡圖。（此系統經常會以一組「零點與極點的組合」來做穩定補償）（10 分）

（二）承上題，請以根軌跡圖說明此「零－極點組」如何使系統穩定。（10 分）

（三）如果「零－極點組（相位落後補償器）」的極點較靠近原點，會使根軌跡更向不穩定方向傾斜，使系統更趨不穩定，那麼請說明相位落後補償器的應用方式為何？（5 分）

Accepted Answer

核心觀念 根軌跡描述閉迴路特徵根隨開迴路增益 $K$ 變化的軌跡。假設採用單位負回授，開迴路傳遞函數為 $$ L(s)=\frac{K}{s^2},\qquad K\geq 0 $$ 閉迴路特徵方程為 $1+L(s)=0$。根軌跡的分支從開迴路極點出發，終止於開迴路零點；若零點少於極點，剩餘分支沿漸近線趨向無限遠。 補償器的相位特性會改變根軌跡。相位超前補償可增加相位超前，使根軌跡進入左半平面；相位落後補償主要用來改善穩態誤差，不能把它當成使本題純慣量系統穩定的主要手段。 （一）純慣量系統的根軌跡 特徵方程為 $$ 1+\frac{K}{s^2}=0 \quad\Longrightarrow\quad s^2+K=0 $$ 因此閉迴路根為 $$ s=\pm j\sqrt{K} $$ 當 $K=0$ 時，兩個閉迴路根重合於原點；當 $K$ 增加時，一個根沿正虛軸向上移動，另一個根沿負虛軸向下移動。根軌跡如下： 圖中的 ● 表示原點的二重極點；根軌跡為整條虛軸。根軌跡沒有進入左半平面，因此閉迴路系統不具漸近穩定性。對 $K0$，根落在虛軸上，系統為臨界穩定。 （二）零－極點組如何使系統穩定 要使根軌跡進入左半平面，採用相位超前補償器。令補償後的開迴路傳遞函數為 $$ L(s)=\frac{K(s+z)}{s^2(s+p)},\qquad 0<p<z $$ 補償器的零點在 $s=-z$，極點在 $s=-p$。由於 $zp$，零點比極點更靠左；這是相位超前補償器的排列方式。 閉迴路特徵方程為 $$ s^2(s+p)+K(s+z)=0 $$

114 高普考高考二級機械工程自動控制學考古題詳解

第一題25 分

核心觀念

解題方法

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第三題25 分

核心觀念

解題方法

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