113 高普考高考二級 機械工程 自動控制學 考古題詳解

核心觀念

本題考查線性定常系統的脈衝響應與階躍響應穩態值。傳遞函數 $H(s)$ 定義為零初始條件下輸出與輸入的拉氏轉換比值：

$Y(s)=H(s)R(s)$

單位脈衝輸入的拉氏轉換為 $R(s)=1$；單位階躍輸入的拉氏轉換為 $R(s)=1/s$。若輸出具有穩態值，終值定理為：

$y(\infty)=\lim_{s\to 0}sY(s)$

本題兩個系統的極點均位於左半平面，因此響應穩定，終值定理可用。

解題方法

先將分母因式分解：

$s^2+4s+3=(s+1)(s+3)$

（一）脈衝輸入

脈衝輸入下 $R(s)=1$，因此 $Y(s)=H(s)$。

對 $H_1(s)$：

$$y_1(\infty)=\lim_{s\to 0}sH_1(s) =\lim_{s\to 0}\frac{3s}{(s+1)(s+3)}=0$$

對 $H_2(s)$：

核心觀念

根軌跡描述增益 $k\geq 0$ 改變時，閉迴路特徵方程式的根在 $s$ 平面上的移動軌跡。先將特徵方程式寫成 $1+kG_0(s)=0$，即可由 $G_0(s)$ 的開迴路極點、零點與根軌跡規則判斷起點、終點、實軸區段及漸近線。

本題兩種特徵方程式分別為：

$$1+k_1\frac{1}{s(s+4)(s+6)}=0$$ $$1+k_2\frac{s+10}{s(s+4)(s+6)}=0$$

根軌跡漸近線角度與中心點公式為：

$$\theta_q=\frac{(2q+1)180^\circ}{n-m},\qquad \sigma_a=\frac{\sum p_i-\sum z_i}{n-m}$$

其中 $n$、$m$ 分別是開迴路極點及零點數。實軸上的點若其右側開迴路實極點與零點總數為奇數，則該點屬於根軌跡。

（一）$s(s+4)(s+6)+k_1=0$

起點、終點與漸近線

開迴路極點為 $0,-4,-6$，沒有有限零點，因此三條根軌跡由這三個極點出發，並全部趨向無窮遠。$n-m=3$，故漸近線角度為：

$$\theta_q=60^\circ,\ 180^\circ,\ 300^\circ$$

中心點為：

$$\sigma_a=\frac{0-4-6}{3}=-\frac{10}{3}$$

實軸根軌跡與分離點

依奇數規則，實軸根軌跡區段為：

$$(-\infty,-6),\qquad (-4,0)$$

令增益表示為：

$$k_1=-s(s+4)(s+6)$$

分離點滿足 $\dfrac{dk_1}{ds}=0$：

$$3s^2+20s+24=0$$ $$s=\frac{-10\pm2\sqrt7}{3}$$

其中只有

$$s_b=\frac{-10+2\sqrt7}{3}\approx-1.57$$

位於根軌跡實軸區段 $(-4,0)$，是有效分離點；另一解不在根軌跡上。對應增益約為 $k_1\approx 17.1$。因此，從 $0$ 與 $-4$ 出發的兩根在此處相遇，隨後離開實軸成為共軛複數根；從 $-6$ 出發的一根沿負實軸往 $-\infty$ 移動。

臨界穩定點

展開特徵方程式：

$$s^3+10s^2+24s+k_1=0$$

三階 Routh 表第一欄為 $1,10,\dfrac{240-k_1}{10},k_1$。當 $k_1=240$ 時，系統到達臨界穩定：

$$10s^2+240=0 \quad\Rightarrow\quad s=\pm j\sqrt{24}\approx\pm j4.90$$

因此 $k_1=240$ 是臨界增益，根軌跡在此穿越虛軸。

圖形配置

示意圖中，實軸上兩個向左的箭頭分別表示由 $-6$ 出發的分支與 $(-4,0)$ 分支分離後的方向；共軛分支在 $k_1=240$ 時穿越虛軸。

 Im{s}
 ↑ ／
+j√24 ──────────────×──────────→
 │ ／
←──●───────●──────●────────●────→ Re{s}
 -∞ -6 -4 -1.57 0
 │ ＼
-j√24 ──────────────×──────────→
 ↓ ＼

 漸近線中心點：-10/3
 漸近線角度：60°、180°、300°

核心觀念

波德圖由幅值圖與相位圖組成。先將轉移函數寫成標準形式，再找出各極點的轉折頻率，將各因子的幅值與相位相加。

本題轉移函數為

$$G(s)=\frac{100}{(1+0.005s)(1+0.05s)(1+0.5s)}$$

令 $s=j\omega$，其幅值與相位分別為

$$|G(j\omega)| =\frac{100}{\sqrt{1+(0.005\omega)^2}\sqrt{1+(0.05\omega)^2}\sqrt{1+(0.5\omega)^2}}$$ $$\angle G(j\omega) =-\tan^{-1}(0.005\omega) -\tan^{-1}(0.05\omega) -\tan^{-1}(0.5\omega)$$

幅值以分貝表示：

$$L(\omega)=20\log_{10}|G(j\omega)|$$

解題方法

1. 找出轉折頻率

一階因子 $1+\tau s$ 的轉折頻率為 $\omega_b=1/\tau$。因此三個極點的轉折頻率為

因子	轉折頻率
$1+0.5s$	$\omega_1=2\ \text{rad/s}$
$1+0.05s$	$\omega_2=20\ \text{rad/s}$
$1+0.005s$	$\omega_3=200\ \text{rad/s}$

低頻增益為 $100$，故低頻幅值為

$$20\log_{10}(100)=40\ \text{dB}$$

2. 畫幅值漸近線

每遇到一個一階極點，轉折頻率之後的斜率減少 $20\ \text{dB/dec}$：

• $\omega<2$：斜率 $0\ \text{dB/dec}$，幅值維持 $40\ \text{dB}$。
• $2<\omega<20$：斜率 $-20\ \text{dB/dec}$。
• $20<\omega<200$：斜率 $-40\ \text{dB/dec}$。
• $\omega>200$：斜率 $-60\ \text{dB/dec}$。

各轉折點的漸近線幅值為

$$L_a(2)=40\ \text{dB}$$ $$L_a(20)=40-20\log_{10}\left(\frac{20}{2}\right)=20\ \text{dB}$$ $$L_a(200)=20-40\log_{10}\left(\frac{200}{20}\right)=-20\ \text{dB}$$

因此可用下式表示幅值漸近線：

核心觀念

將三階微分方程式寫成現代控制的狀態空間形式，需先選取狀態變數，再依序建立狀態方程。採用可控制標準型時，微分方程式的係數放在系統矩陣 $A$ 的最後一列，輸入矩陣 $B$ 則只有最後一個元素為 $1$。

狀態回授 $u=-KX$ 下，閉迴路矩陣為 $A-BK$，其特徵方程式由 $\det(sI-A+BK)=0$ 求得。

（一）求 $A$、$B$、$C$

令相位變數為

$$x_1=y,\qquad x_2=\dot y,\qquad x_3=\ddot y$$

則

$$\dot x_1=x_2,\qquad \dot x_2=x_3$$

原方程式可改寫為

$$\dot x_3=\dddot y=-240y-48\dot y-12\ddot y+u =-240x_1-48x_2-12x_3+u$$

因此

$$\dot X= \begin{bmatrix} 0&1&0\\ 0&0&1\\ -240&-48&-12 \end{bmatrix}X+ \begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix}u, \qquad Y= \begin{bmatrix} 1&0&0 \end{bmatrix}X$$

其中 $X=[x_1\ x_2\ x_3]^T$，且輸出 $Y=y=x_1$。故

$$A= \begin{bmatrix} 0&1&0\\ 0&0&1\\ -240&-48&-12 \end{bmatrix}, \quad B= \begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix}, \quad C= \begin{bmatrix} 1&0&0 \end{bmatrix}$$

（二）求閉迴路特徵方程式

一個極點配置於 $-20$，另一個二階系統的極點實部為 $-2$、阻尼比為 $\zeta=0.5$。二階系統的標準特徵多項式為

$$s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2$$

二階極點的實部為 $-\zeta\omega_n=-2$，因此

$$\omega_n=\frac{2}{0.5}=4$$

故二階特徵多項式為

$$s^2+2(0.5)(4)s+4^2=s^2+4s+16$$

再乘上極點 $-20$ 對應的因子 $s+20$，得到閉迴路特徵方程式