111 高普考高考二級 機械工程 自動控制學 考古題詳解

核心觀念

本題考查車輪「純滾動、無滑動」時的平移與轉動耦合。令車輪半徑為 $r$，車體與車輪向右的加速度為 $a=\dot v$。純滾動條件為

其中 $\alpha$ 是車輪角加速度。以下取向右為平移正方向，並以馬達使車輪向前滾動的方向為轉動正方向。

解題方法與推導

分別對車體與車輪列出牛頓運動方程。圖中的 $F_t$ 是車輪對車體的牽引力；地面對車輪的摩擦力為 $F_G$。

對車體質量 $m_c$：

對車輪質心作平移方向的受力分析：

因此

再對車輪中心取轉矩。馬達扭力 $\tau_m$ 驅動車輪向前轉動，地面摩擦力產生反向轉矩，故

代入 $F_G=(m_c+m_w)a$ 及 $\alpha=a/r$：

整理得

因為 $a=\dot v$，系統微分方程為

核心觀念

本題考查方塊圖的訊號關係式法：依各加總點的正負號寫出訊號方程式，再消去中間變數，求 $Y(s)/U(s)$。加總點的符號決定訊號相加或相減；分支點則表示同一訊號送往多個方塊。

解題方法

依圖定義：

• $E(s)$：第一個加總點的輸出。
• $X(s)$：$G_1(s)$ 的輸出。
• $R(s)$：$G_2(s)$ 的輸出，也是回授訊號。
• $Z(s)$：第二個加總點的輸出。

依圖中的加減號與分支關係，可列出：

第二個加總點將 $X(s)$ 與 $R(s)$ 相加，因此：

輸出端將 $G_3(s)$ 與 $G_4(s)$ 的輸出相加，其中 $G_3(s)$ 的輸入為 $Z(s)$，$G_4(s)$ 的輸入為 $R(s)$：

先由回授關係求 $X(s)$：

移項得：

所以：

核心觀念

本題探討以標準 PID 控制器穩定「雙重積分器（純慣量系統）」的控制理論，涉及以下核心觀念與工具：

1. 單位負回授閉迴路系統：開迴路轉移函數為 $L(s) = G_c(s)G(s)$，其閉迴路特徵方程式（Characteristic Equation）為： $1 + L(s) = 0$
2. 勞斯—赫維茲穩定準則（Routh-Hurwitz Stability Criterion）： 對於三階特徵多項式 $q(s) = s^3 + a_2 s^2 + a_1 s + a_0 = 0$，系統漸近穩定（Asymptotically Stable）之充要條件為：

• 所有多項式係數皆大於零：$a_2 > 0,\; a_1 > 0,\; a_0 > 0$
• 滿足勞斯陣列第一行大於零的條件：$a_2 a_1 > a_0$

3. PID 控制器的零極點分布： 控制器在原點具備一個極點（積分項），並引入兩個零點 $-z_1$ 與 $-z_2$。純慣量系統在原點已有二重極點，兩者串聯後原點共有三重極點，必須藉由適當配置控制器之零點與增益，將根軌跡拉入左半平面（LHP）。

解題方法

考慮標準單位負回授控制系統，受控體為純慣量系統： $G(s) = \frac{1}{s^2}$ 串聯 PID 控制器： $G_c(s) = \frac{K(s+z_1)(s+z_2)}{s}$

步驟一：推導閉迴路特徵方程式

開迴路轉移函數為： $L(s) = G_c(s)G(s) = \frac{K(s+z_1)(s+z_2)}{s^3} = \frac{K\left[s^2 + (z_1 + z_2)s + z_1 z_2\right]}{s^3}$

閉迴路系統之特徵方程式為 $1 + L(s) = 0$： $1 + \frac{K\left[s^2 + (z_1 + z_2)s + z_1 z_2\right]}{s^3} = 0$ 通分展開整理為標準多項式型態： $s^3 + K s^2 + K(z_1 + z_2)s + K z_1 z_2 = 0$

將其對照三階標準式 $s^3 + a_2 s^2 + a_1 s + a_0 = 0$，得各項係數： $a_2 = K$ $a_1 = K(z_1 + z_2)$ $a_0 = K z_1 z_2$

步驟二：建立勞斯陣列（Routh Array）

建立三階特徵方程式之勞斯表：

其中第一行之各項元素計算如下： $b_1 = \frac{K \cdot [K(z_1 + z_2)] - 1 \cdot (K z_1 z_2)}{K} = K(z_1 + z_2) - z_1 z_2$ $c_1 = K z_1 z_2$

步驟三：求解穩定條件

閉迴路系統漸近穩定之充要條件為勞斯陣列第一行所有元素皆為嚴格正值：

1. $s^2$ 列： $K > 0$
2. $s^0$ 列： $c_1 = K z_1 z_2 > 0 \implies z_1 z_2 > 0$
3. $s^1$ 列： $b_1 = K(z_1 + z_2) - z_1 z_2 > 0 \implies K(z_1 + z_2) > z_1 z_2$

核心觀念

1. 勞斯-赫維茲穩定準則（Routh-Hurwitz Stability Criterion）： 對於線性非時變（LTI）系統，其封閉迴路特性方程式為： $P(s) = a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \dots + a_1 s + a_0 = 0$ 系統為漸近穩定（BIBO 穩定）的充要條件為：特徵多項式之所有根皆落在左半複數平面（Left-Half Plane, LHP），即所有根的實部皆為負值。
2. 勞斯表符號判定法則： 勞斯表第一行（First column）元素之正負符號改變次數，等於該特性方程式落在右半複數平面（Right-Half Plane, RHP）的正實部根個數。若符號改變次數大於零，系統即為不穩定。
3. 特殊情況一（某列第一項為零，但該列非全零）： 建立勞斯表時，若某一列的第一項為 $0$，但同列之後仍有其他非零項，會導致下一列計算產生除以零的未定義狀況。處理此類特殊情況的標準方法為小量法（$\epsilon$-method）：以極小正數 $\epsilon > 0$（$\epsilon \to 0^+$）取代該零元素，繼續完成勞斯表，最後取極限判定第一行元素之正負符號變化。

解題方法

步驟一：檢驗穩定的必要條件

給定特性方程式： $P(s) = s^5 + 3s^4 + s^3 + 3s^2 + 2s + 1 = 0$ 各階項係數分別為： $a_5 = 1, \; a_4 = 3, \; a_3 = 1, \; a_2 = 3, \; a_1 = 2, \; a_0 = 1$ 所有係數皆存在且同號（全為正數），滿足穩定的必要條件，須進一步排定勞斯表檢驗充分條件。

步驟二：排列勞斯表前兩列

由多項式係數填入前兩列：

• $s^5$ 列：$1 \quad 1 \quad 2$
• $s^4$ 列：$3 \quad 3 \quad 1$

步驟三：計算 $s^3$ 列與引入微小量 $\epsilon$

計算 $s^3$ 列元素：

• 第一項： $\frac{3 \times 1 - 1 \times 3}{3} = \frac{0}{3} = 0$
• 第二項： $\frac{3 \times 2 - 1 \times 1}{3} = \frac{5}{3}$

此時 $s^3$ 列第一項為 $0$，但第二項為 $\frac{5}{3} \neq 0$（非全零列）。 依小量法規則，以微小正數 $\epsilon$（令 $\epsilon > 0, \; \epsilon \to 0^+$）取代首項之 $0$。 此時 $s^3$ 列表示為：

• $s^3$ 列：$\epsilon \quad \frac{5}{3}$

步驟四：依序計算其餘各列元素

1. $s^2$ 列：

• 第一項： $\frac{\epsilon \times 3 - 3 \times \frac{5}{3}}{\epsilon} = \frac{3\epsilon - 5}{\epsilon} = 3 - \frac{5}{\epsilon}$
• 第二項： $\frac{\epsilon \times 1 - 3 \times 0}{\epsilon} = 1$

2. $s^1$ 列：

• 第一項： $\frac{\left(\frac{3\epsilon - 5}{\epsilon}\right) \times \frac{5}{3} - \epsilon \times 1}{\frac{3\epsilon - 5}{\epsilon}} = \frac{5}{3} - \frac{\epsilon^2}{\frac{3\epsilon - 5}{\epsilon}} = \frac{5}{3} - \frac{\epsilon^2}{3\epsilon - 5}$

3. $s^0$ 列：

• 第一項： $\frac{\left(s^1 \text{ 列首項}\right) \times 1 - \left(s^2 \text{ 列首項}\right) \times 0}{\left(s^1 \text{ 列首項}\right)} = 1$

步驟五：彙整勞斯表並判定符號

核心觀念

相位提前補償器為

令 $s=j\omega$，其相位角為

最大相位提前量及其對應頻率分別為

解題方法

題目指定最大相位提前量為 $45^\circ$，先由最大相位公式求 $a$：

再令最大相位發生於 $\omega_m=1.21\ \mathrm{rad/s}$：