112 高普考高考二級 機械工程 自動控制學 考古題詳解

112 年・高普考・高考二級・機械工程
試題代碼 自動控制學

第 一 題25 分

如下圖所示之質量為 mm、長度為 2l2l 的倒單擺（Inverted Pendulum）系統，以無質量水平塊的水平移動量 xx 為輸入，旋轉角度 θ\theta 為輸出。其中，θ\theta 的初始角度為 θ0\theta_0，且初始角速度為零。假設旋轉角度 θ\theta 與 θ0\theta_0 皆小於 5∘5^\circ，試：

(一) 推導該系統於旋轉軸的扭力平衡方程式。（10 分）

(二) 繪製以旋轉角度 θ\theta 為輸出，且以初始角度量 θ0\theta_0 與水平移動量 xx 同為輸入之拉式（Laplace Transform）方塊圖（Block Diagram）。（15 分）

（原卷圖示未隨文字層擷取，請參考原卷。）

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核心觀念

本題考查倒單擺的轉動力矩平衡、均勻細桿的轉動慣量、小角度線性化，以及含非零初始角度的拉氏轉換。倒單擺的重力力矩會使偏角增大，因此線性化後會出現不穩定項。

以下取水平向右為 xx 正方向，取擺桿向右偏離鉛直向上方向為 θ\theta 正方向；假設長度 2l2l 的擺桿為均勻細桿，且水平塊初始位移、初始速度為零。

解題方法與推導

擺桿質心距旋轉軸 ll。均勻細桿對質心的轉動慣量為

IG=112m(2l)2=13ml2.I_G=\frac{1}{12}m(2l)^2=\frac{1}{3}ml^2.

由平行軸定理，擺桿對旋轉軸的轉動慣量為

IO=IG+ml2=43ml2.I_O=I_G+ml^2=\frac{4}{3}ml^2.

取旋轉軸為力矩中心。重力對旋轉軸產生的力矩為 mglsin⁡θmgl\sin\theta。水平塊加速度為 x¨\ddot{x}，在隨塊移動的參考系中，擺桿質心受到水平慣性力 −mx¨-m\ddot{x}，其對旋轉軸的力矩為 −mlx¨cos⁡θ-ml\ddot{x}\cos\theta。因此，旋轉軸的扭力平衡方程式為

IOθ¨=mglsin⁡θ−mlx¨cos⁡θ.I_O\ddot{\theta} =mgl\sin\theta-ml\ddot{x}\cos\theta.

由題意，θ\theta 很小，可用 sin⁡θ≈θ\sin\theta\approx\theta、cos⁡θ≈1\cos\theta\approx1，得到線性化方程式

43ml2θ¨=mglθ−mlx¨.\frac{4}{3}ml^2\ddot{\theta} =mgl\theta-ml\ddot{x}.

令 J=IO=43ml2J=I_O=\frac{4}{3}ml^2，則亦可寫成

Jθ¨−mglθ=−mlx¨.J\ddot{\theta}-mgl\theta=-ml\ddot{x}.

拉氏轉換與方塊圖

使用 θ(0)=θ0\theta(0)=\theta_0、θ˙(0)=0\dot{\theta}(0)=0，並假設 x(0)=x˙(0)=0x(0)=\dot{x}(0)=0，對線性化方程式作拉氏轉換：

J[s2Θ(s)−sθ0]−mglΘ(s)=−mls2X(s).J\left[s^2\Theta(s)-s\theta_0\right]-mgl\Theta(s) =-mls^2X(s).

整理得

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第 二 題25 分

一單位負回授系統（unity negative feedback control system），其開路轉移函數為

G(s)=2s2+K(s−1)−10−s2+2s+10,G(s)=\frac{2s^2+K(s-1)-10}{-s^2+2s+10},

其中 KK 為增益（gain）。試：

(一) 利用羅斯穩定準則（Routh stability criterion）推導該系統為穩定所需增益 KK 之範圍為何。（10 分）

(二) 繪製該閉迴路系統之根軌跡圖（Root Locus），且推導其分離角（Departure Angle）。（15 分）

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核心觀念

本題分成兩部分：先以閉迴路特徵方程及 Routh 穩定準則求穩定增益範圍；再將特徵方程整理成標準根軌跡形式，依增益正負判定根軌跡分支。

單位負回授系統的閉迴路特徵方程為 1+G(s)=01+G(s)=0。根軌跡的角度條件則取決於增益的正負：正增益使用 (2k+1)180∘(2k+1)180^\circ，負增益使用 2k⋅180∘2k\cdot180^\circ。

（一）Routh 穩定準則

由 1+G(s)=01+G(s)=0 得閉迴路特徵方程：

(−s2+2s+10)+(2s2+Ks−K−10)=0(-s^2+2s+10)+(2s^2+Ks-K-10)=0

整理為

s2+(K+2)s−K=0s^2+(K+2)s-K=0

二階多項式的 Routh 表為

s21−Ks1K+20s0−K\begin{array}{c|cc} s^2 & 1 & -K\\ s^1 & K+2 & 0\\ s^0 & -K & \end{array}

閉迴路穩定要求第一欄各項皆為正，因此

K+2>0,−K>0K+2>0,\qquad -K>0

合併可得

−2<K<0\boxed{-2<K<0}

在 K=−2K=-2 時，特徵方程含純虛根；在 K=0K=0 時，則有原點根，兩者均不符合漸近穩定條件。

（二）根軌跡與分離角

根軌跡標準形式

將閉迴路特徵方程寫成

s(s+2)+K(s−1)=0s(s+2)+K(s-1)=0

因此可表示為

1+Ks−1s(s+2)=01+K\frac{s-1}{s(s+2)}=0

根軌跡的開迴路極點為 s=0,−2s=0,-2，開迴路零點為 s=1s=1。共有兩條分支：由兩個極點出發，一條終止於有限零點 s=1s=1，另一條趨向無限遠。

穩定範圍在 K<0K<0，此時根軌跡使用負增益角度條件：

∠s−1s(s+2)=2k⋅180∘\angle\frac{s-1}{s(s+2)}=2k\cdot180^\circ

在實軸上，符合此條件的區段為 (−2,0)(-2,0) 與 (1,∞)(1,\infty)。因此兩支根先由 00、−2-2 沿實軸彼此靠近，在 (−2,0)(-2,0) 相遇後離開實軸成為共軛複根；之後再於 (1,∞)(1,\infty) 回到實軸，其中一支趨近零點 11，另一支趨向無限遠。

分離位置與分離角

由特徵方程解出增益：

K=−s(s+2)s−1K=-\frac{s(s+2)}{s-1}

分離或匯入實軸的位置滿足 dKds=0\dfrac{dK}{ds}=0：

dKds=0⟹s2−2s−2=0\frac{dK}{ds}=0 \quad\Longrightarrow\quad s^2-2s-2=0
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第 三 題25 分

如下圖之二階系統單位負回授系統，由特定之小振幅方波脈波鏈（square wave pulse train）輸入下，得到很大的正弦波輸出，試：

(一) 繪製閉迴路系統之波德圖，且標示頻率與增益及相位的關係。（15 分）

(二) 說明可以得到正弦波輸出時，該方波脈波鏈的輸入頻率（Hz）應該為何，增益 KK 與常數 aa 的限制條件，輸入與輸出之相位差為何。（10 分）

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核心觀念

此題考二階單位負回授系統的閉迴路頻率響應，以及共振時的波德圖增益與相位。方波脈波鏈含有基頻及諧波；當其中一個頻率分量落在閉迴路共振頻率附近，且共振峰夠高時，該分量會主導輸出，使輸出近似大振幅正弦波。

由方塊圖，前向傳遞函數為

G(s)=Ks(s+a)G(s)=\frac{K}{s(s+a)}

因此閉迴路傳遞函數為

T(s)=C(s)R(s)=G(s)1+G(s)=Ks2+as+KT(s)=\frac{C(s)}{R(s)} =\frac{G(s)}{1+G(s)} =\frac{K}{s^2+as+K}

以下以 K>0, a>0K>0,\ a>0 為穩定條件。

解題方法

令 s=jωs=j\omega，則

T(jω)=KK−ω2+jaωT(j\omega)=\frac{K}{K-\omega^2+ja\omega}

故增益與相位分別為

∣T(jω)∣=K(K−ω2)2+a2ω2|T(j\omega)| =\frac{K}{\sqrt{(K-\omega^2)^2+a^2\omega^2}} ∠T(jω)=−tan⁡−1 ⁣(aωK−ω2)\angle T(j\omega) =-\tan^{-1}\!\left(\frac{a\omega}{K-\omega^2}\right)

相位須依分母實部、虛部所在象限判讀；在 ω=K\omega=\sqrt K 時，分母實部為零，因此相位為 −90∘-90^\circ。

（一）閉迴路波德圖

增益圖

  • ω→0\omega\to0 時，∣T(jω)∣→1|T(j\omega)|\to1，即 00 dB。
  • ω→∞\omega\to\infty 時，∣T(jω)∣≈K/ω2|T(j\omega)|\approx K/\omega^2，斜率為 −40-40 dB/dec。
  • 當 K>a2/2K>a^2/2 時，增益在共振頻率處出現峰值：
ωr=K−a22\omega_r=\sqrt{K-\frac{a^2}{2}} ∣T(jωr)∣=KaK−a2/4|T(j\omega_r)| =\frac{K}{a\sqrt{K-a^2/4}}
  • 當 K≤a2/2K\le a^2/2 時，沒有非零頻率的共振峰。

相位圖

相位由低頻的 0∘0^\circ 逐漸下降至高頻的 −180∘-180^\circ，並在

ωn=K\omega_n=\sqrt K

時通過 −90∘-90^\circ。需區分：增益峰值在 ωr\omega_r，而非一般情況下的 ωn\omega_n。

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第 四 題25 分

在一台 3D 列印機的閉迴路控制之微處理機程式中，有一個陣列 C[1000]C[1000] 用於儲存類比數位轉換（Analog-to-Digital Converter, ADC）的輸入 c(t)c(t) 資料，另一個陣列 R[1000]R[1000] 用於儲存使用者輸入的數位資料，另一個陣列 U[1000]U[1000] 用於儲存數位類比轉換（Digital-to-Analog Converter, DAC）的輸出 u(t)u(t) 資料。該微處理機中有一個頻率為 1 MHz1\,\mathrm{MHz} 的時脈產生器（Clock），以同步化該 ADC 輸入與 DAC 輸出。試舉例說明（每小題 5 分，共 25 分）：

(一) 時間 tt 與第 kk 個記憶體的關係。

(二) c(t)c(t) 為何物理量。

(三) u(t)u(t) 為何物理量。

(四) R[k]R[k] 為何數值量。

(五) 當一個陣列 E[1000]E[1000] 用於儲存誤差 E[k]=R[k]−C[k]E[k]=R[k]-C[k] 時，如何由 E[k]E[k] 產生對輸出 U[k]U[k] 之控制。

（原卷控制系統方塊圖包含時脈信號、微處理機（控制器）、ADC、DAC 及 3D 列印機台，請參考原卷。）

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核心觀念

本題考查取樣控制系統中連續時間訊號與離散記憶體資料的對應，以及 ADC、DAC 和數位控制器的訊號關係。時脈頻率決定取樣週期；ADC 將感測器的類比回授轉成數位資料，微處理機依參考值與回授值的誤差計算控制量，再由 DAC 輸出類比訊號驅動機台。

解題方法與各小題

時脈頻率為 fs=1 MHz=106 Hzf_s=1\,\mathrm{MHz}=10^6\,\mathrm{Hz}，因此取樣週期為

Ts=1fs=10−6 s=1 μs.T_s=\frac{1}{f_s}=10^{-6}\,\mathrm{s}=1\,\mu\mathrm{s}.

（一）時間 tt 與第 kk 個記憶體的關係

若陣列索引從 k=0k=0 開始，則第 kk 筆資料對應的取樣時間為

tk=kTs=k×10−6 s.t_k=kT_s=k\times 10^{-6}\,\mathrm{s}.

例如，C[0]C[0] 對應 t=0t=0，C[1]C[1] 對應 t=1 μst=1\,\mu\mathrm{s}，C[999]C[999] 對應 t=999 μst=999\,\mu\mathrm{s}。若以「第 1 個記憶體」作為第一筆，則其時間是 00，第 kk 筆對應 tk=(k−1)Tst_k=(k-1)T_s。

（二）c(t)c(t) 為何物理量

c(t)c(t) 是機台輸出端的連續時間回授量，通常由感測器量測。以 3D 列印機為例，可令 c(t)c(t) 表示列印頭或工作平台的實際位置，單位例如 mm\mathrm{mm}。ADC 將感測器輸出的類比訊號取樣並轉成 C[k]C[k]。

（三）u(t)u(t) 為何物理量

u(t)u(t) 是控制器送往機台的連續時間控制訊號。以位置控制為例，可令 u(t)u(t) 表示驅動馬達的電壓，單位為 V\mathrm{V}；也可由機台設計選用其他致動器控制量。DAC 將微處理機的數位控制值 U[k]U[k] 轉換成此類比訊號。

（四）R[k]R[k] 為何數值量

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