107 高普考高考二級 水產資源 生物統計學研究 考古題詳解

核心觀念

本題評量抽樣調查理論（Sampling Survey Theory）中兩種經典機率抽樣法（Probability Sampling）的學理定義、統計性質與設計原理。其核心觀念涵蓋：

1. 抽樣架構與抽樣單位：劃分次母體（Subpopulation）之依據為個體特徵（分層）抑或地理／行政／自然聚集單位（群集）。
2. 變異數分解與統計效率：

• 總平方和分解：$SST = SS_{\text{between}} + SS_{\text{within}}$。
• 分層抽樣旨在藉由控制「層間變異（Between-strata variance）」，僅保留「層內變異（Within-strata variance）」，以提高估計精度（降低估計式變異數）。
• 群集抽樣之精確度則高度受「群內相關係數（Intraclass correlation coefficient, $\rho$）」影響；當群內個體同質性高時，抽樣誤差顯著放大。

3. 成本效益權衡（Cost-Precision Trade-off）：分層抽樣以「提高精準度」為導向；群集抽樣以「降低調查成本與行政執行難度」為導向。

解題方法

本題為高考二級水產資源類科之專業申論題，作答切入點應採取「嚴謹定義 $\to$ 核心統計特性 $\to$ 兩者關鍵比較表 $\to$ 水產資源實務應用範例」之架構。說明分層抽樣時，必須點出「層內均質、層間異質」與「每一層皆獨立隨機抽樣」；說明群集抽樣時，必須點出「群內異質、群間均質」與「以群為單位抽樣，未抽中者完全不調查」。

選項分析

本題為申論問答題，無選擇題選項。針對應考時評閱核心與論述向度，逐項剖析兩者關鍵構面如下：

• 抽樣單位之差異：分層抽樣之抽樣單位仍為母體之「基本元素（Element）」，各層僅為母體之劃分範圍；群集抽樣之第一階段抽樣單位為「群集（Primary Sampling Unit, PSU）」，由多個基本元素集結而成。
• 組內與組間變異要求：
• 分層抽樣：要求層內同質（Within-strata Homogeneity）、層間異質（Between-strata Heterogeneity）。若層間差異越大，控制層間變異所帶來的增益（Gain in precision）越高。
• 群集抽樣：要求群內異質（Within-cluster Heterogeneity）、群間同質（Between-cluster Homogeneity）。若每個群集都能縮小重現母體縮影，則少數抽出的群集即具高度代表性。
• 涵蓋範圍與執行代表性：分層抽樣每一層皆有樣本被抽出，母體覆蓋率達 $100\%$；群集抽樣僅有被隨機抽中的群集會被調查，未中選群集內所有個體皆不予納入。
• 估計精度與成本對比：在相同樣本數 $n$ 條件下，估計式變異數通常滿足 $V(\bar{y}_{st}) \le V(\bar{y}_{srs}) \le V(\bar{y}_{cl})$。群集抽樣之統計效率通常低於簡單隨機抽樣（SRS），但每一樣本點的平均蒐集成本大幅降低。

解題技巧

1. 記憶口訣：

• 「分層求精準」：層內同、層間異；層層都抽、個個獨立。
• 「群集求省事」：群內異、群間同；抽群不抽人、整群一起查。

2. 常見陷阱：

• 混淆「層（Strata）」與「群（Cluster）」的劃分原則。考生常誤寫為「群集抽樣要求群內相同」，此為嚴重觀念錯誤；若群內同質，抽出整群會導致資訊高度重複，大幅浪費樣本數並推升抽樣誤差。
• 忽略群集抽樣的設計效應（Design Effect, $Deff$）： $Deff = 1 + (M - 1)\rho$ 其中 $M$ 為各群大小，$\rho$ 為群內相關係數。實務上 $\rho$ 常大於 $0$，故 $Deff > 1$，代表群集抽樣之變異數高於簡單隨機抽樣。

【答案】

一、分層抽樣（Stratified Sampling）

1. 定義

分層抽樣係將大小為 $N$ 之母體，依據與調查目標高度相關的輔助變數（如水深、魚種、漁法、船噸級等），劃分為 $L$ 個彼此互斥（Mutually Exclusive）且互補周延（Collectively Exhaustive）的次母體，稱為「層（Strata）」，各層大小分別為 $N_1, N_2, \dots, N_L$（滿足 $\sum_{h=1}^L N_h = N$）。隨後自每一層獨立依機率抽樣法（通常為簡單隨機抽樣）抽出樣本大小為 $n_h$ 的子樣本，最終組合成總大小為 $n = \sum_{h=1}^L n_h$ 之樣本。

核心觀念

本題評量雙變數資料分析（Bivariate Analysis）中兩個最基礎且核心的統計工具——相關分析（Correlation Analysis）​與迴歸分析（Regression Analysis）​之理論本質、適用情境，以及其代表性指標之數值意涵：

1. 相關分析之本質：衡量兩連續隨機變數間「線性關聯之方向與強度」，兩變數地位對等，不涉及因果關係或變數角色（自變數／應變數）之區分。
2. 迴歸分析之本質：探討自變數（$X$）對應變數（$Y$）之「函數相依關係」，藉由建立數學模型（如最小平方法）來解釋變異並進行預測，具有明確的因果或單向推論假定。
3. 皮爾森積差相關係數（Pearson Correlation Coefficient, $r$）： $r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \bar{Y})^2}} = \frac{SS_{XY}}{\sqrt{SS_X \cdot SS_Y}}$ 衡量兩變數間線性關聯的標準化指標，其值介於 $-1$ 與 $+1$ 之間。
4. 判定係數（Coefficient of Determination, $R^2$）： 基於總變異平方和分解（$SST = SSR + SSE$）： $R^2 = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST}$ 衡量應變數 $Y$ 的總變異中，可被迴歸模型所解釋的比例，在簡單線性迴歸中剛好等於相關係數的平方（$R^2 = r^2$），其值介於 $0$ 與 $1$ 之間。

解題方法

本題為標準的觀念型申論題，作答時宜採「並列對比、層次分明」之架構，依序處理題目所列的四個子題：

1. 分析目的之闡述：由「變數角色（對稱 vs. 不對稱）」與「分析用途（描述關聯 vs. 函數預測）」切入對比。
2. 數值意義之闡述：

• 相關係數：依「正負號（方向）」、「絕對值大小（強度）」與「數值範圍（$-1 \le r \le 1$）」三維度說明。
• 判定係數：依「變異分解公式（$SSR/SST$）」、「模型配適度（Goodness-of-Fit）」與「數值範圍（$0 \le R^2 \le 1$）」說明。

3. 兩者關係之整合：簡述簡單線性迴歸中 $R^2 = r^2$ 之數理連結，展現答題的完整度。

選項分析

本題為高等考試申論題型（非選擇題），無選項需辨析。答題重點在於條列清楚、定義精準，各子要點皆須涵蓋無遺漏。

解題技巧

1. 對稱性 vs. 單向性：相關分析具對稱性（$r_{XY} = r_{YX}$）；迴歸分析具方向性（$Y$ 對 $X$ 迴歸之方程式與 $X$ 對 $Y$ 迴歸不同，斜率不相等）。
2. 相關不代表因果（Correlation does not imply causation）：高相關可能是潛在第三變數（共變或混淆變數）所致；迴歸分析雖有自變數與應變數之分，但數學關係亦不等同於直接因果，需仰賴生物學與試驗設計支持。
3. 線性限制：$r = 0$ 僅表示「無線性相關」，並不代表「獨立」或「無關係」（兩者可能有強烈的拋物線等非線性關係）。

核心觀念

本題的核心考點為中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）​與樣本平均數（Sample Mean）的抽樣分布（Sampling Distribution）。

在統計學與生物統計研究中，欲描述樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分布特性，必須由以下三個基本維度切入：

1. 中心位置（期望值）：評估估計量的無偏性（Unbiasedness）。
2. 散布程度（變異數與標準誤）：衡量估計量的精確度（Precision）。
3. 分布形貌（極限分布型態）：當樣本數趨近於無窮大時的機率分布收斂行為。

相關核心公式如下：

• 樣本平均數定義：$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$
• 樣本平均數之期望值：$E(\bar{X}) = \mu$
• 樣本平均數之變異數與標準誤：$Var(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$，標準誤 $SE(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
• 中央極限定理之標準化極限式： $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \xrightarrow{d} N(0, 1) \quad (\text{當 } n \to \infty)$

解題方法

本題要求「以樣本平均數之抽樣分布特性」試述中央極限定理。作答架構應先明確給定隨機抽樣的基本數學條件，接著依序推導抽樣分布的三大特性，最後歸納出定理的嚴謹定義與實務應用意涵。

一、基本模型假設

設自一未知或任意機率分布之母體中，隨機抽取一組大小為 $n$ 的獨立且同分布（independent and identically distributed, i.i.d.）隨機樣本 $X_1, X_2, \dots, X_n$。該母體滿足以下條件：

• 母體平均數為有限值：$E(X_i) = \mu < \infty$
• 母體變異數為大於零之有限值：$Var(X_i) = \sigma^2 < \infty$（$\sigma^2 > 0$）

二、樣本平均數之抽樣分布三大特性

1. 期望值（中心位置）： 根據期望值的線性性質，不論母體機率分布為何、亦不論樣本數 $n$ 之大小，樣本平均數的期望值恆等於母體平均數 $\mu$： $E(\bar{X}) = E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} E(X_i) = \frac{1}{n}(n\mu) = \mu$ 此特性表明 $\bar{X}$ 是母體平均數 $\mu$ 的不偏估計量（unbiased estimator）。

2. 變異數與標準誤（離散程度）： 因各觀測值 $X_i$ 彼此獨立，樣本平均數的變異數為母體變異數除以樣本數 $n$： $Var(\bar{X}) = Var\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n} Var(X_i) = \frac{1}{n^2}(n\sigma^2) = \frac{\sigma^2}{n}$ 其抽樣分布的標準差稱為標準誤（Standard Error, $SE$）： $SE(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 此特性說明隨著樣本數 $n$ 增加，樣本平均數的變異性隨之縮小，估計的精準度提高。

3. 分布形態（漸近常態性，Asymptotic Normality）： 此即中央極限定理的核心精髓。當樣本數 $n$ 充分大時（$n \to \infty$），不論母體原來的分布形態為何（無論是連續或離散、對稱或偏態），樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分布將逐漸逼近於以 $\mu$ 為中心、以 $\frac{\sigma^2}{n}$ 為變異數的常態分布（Normal Distribution）： $\bar{X} \xrightarrow{d} N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$

核心觀念

本題考查獨立雙樣本平均數差異檢定（Independent Two-Sample $t$-test），主要涉及以下統計學觀念與公式：

1. 基本假說建立：

• 虛無假說（$H_0$）：$\mu_1 = \mu_2$ 或 $\mu_1 - \mu_2 = 0$（雌雄魚體之平均體長無顯著差異）。
• 對立假說（$H_1$）：$\mu_1 \neq \mu_2$ 或 $\mu_1 - \mu_2 \neq 0$（雌雄魚體之平均體長具有顯著差異，為雙尾檢定）。

2. 常態性與獨立性假設：

• 隨機抽樣保證樣本獨立性；兩母體體長假定服從常態分配：$X_1 \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$、$X_2 \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$。

3. 變異數同質性（齊一性）檢定（$F$-test）： $F = \frac{s_1^2}{s_2^2} \sim F(n_1-1, n_2-1)$ 用以確認兩母體變異數是否相等（$\sigma_1^2 = \sigma_2^2$）。
4. 合併變異數（Pooled Variance）與雙樣本 $t$ 檢定統計量：

• 若母體變異數未知但相等（$\sigma_1^2 = \sigma_2^2$），合併樣本變異數為： $s_p^2 = \frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}$
• 檢定統計量： $t = \frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{s_p^2 \left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)}} \sim t(n_1 + n_2 - 2)$

解題方法

步驟一：整理已知樣本數據

• 雌魚樣本（組 1）：$n_1 = 17$，平均數 $\bar{X}_1 = 32\text{ cm}$，標準差 $s_1 = 12\text{ cm} \implies s_1^2 = 144$
• 雄魚樣本（組 2）：$n_2 = 17$，平均數 $\bar{X}_2 = 29\text{ cm}$，標準差 $s_2 = 8\text{ cm} \implies s_2^2 = 64$
• 顯著水準：$\alpha = 0.05$

步驟二：建立統計假說

$H_0: \mu_1 = \mu_2 \quad (\text{兩性別平均體長無差異})$ $H_1: \mu_1 \neq \mu_2 \quad (\text{兩性別平均體長有差異})$

步驟三：檢驗變異數同質性（$F$ 檢定）

欲使用標準雙樣本 $t$ 檢定，需先檢定兩母體變異數是否具齊一性： $H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2 \quad \text{vs.} \quad H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$ $F = \frac{s_1^2}{s_2^2} = \frac{144}{64} = 2.25$ 自由度為 $\nu_1 = n_1 - 1 = 16$，$\nu_2 = n_2 - 1 = 16$。 查 $F$ 分配表在雙尾 $\alpha = 0.05$（單尾 $\alpha/2 = 0.025$）之臨界值：$F_{0.025}(16, 16) \approx 2.76$。 因 $F = 2.25 < 2.76$，未達顯著水準，不拒絕變異數同質之虛無假說，故可合理採用等變異數假設之合併雙樣本 $t$ 檢定。

步驟四：計算合併變異數與標準誤

因兩組樣本數相等（$n_1 = n_2 = 17$），合併變異數即為兩樣本變異數的簡單平均：

核心觀念

本題評量複線性迴歸（Multiple Linear Regression）／共變異數分析（ANCOVA）之變異數分析表（ANOVA table）計算與統計推論，涉及以下核心觀念：

1. 自變數之自由度（Degrees of Freedom, $df$）設定：

• 類別變數（Categorical variable）：若有 $k$ 個水準（類別），引入虛擬變數（Dummy variables）後，其自由度為 $k - 1$。
• 連續變數（Continuous variable）：單一線性斜率參數對應的自由度為 $1$。
• 總迴歸自由度為所有納入模式之自變數自由度總和：$df_{\text{regression}} = df_{\text{month}} + df_{\text{temp}}$。

2. 平方和之加成性（Additivity of Sum of Squares, $SS$）：

• 總迴歸平方和（Regression Sum of Squares, $SSR$）可分解為各因子之平方和： $SSR = SS_{\text{month}} + SS_{\text{temp}}$
• 表（1）與表（2）來自同一全模式（Full model），故其殘差平方和（$SSE$）與殘差自由度（$df_E$）完全相同。

3. 均方（Mean Square, $MS$）與 $F$ 檢定統計量：

• 均方定義為平方和除以對應之自由度： $MS = \frac{SS}{df}$
• $F$ 統計量為各因子（或整體迴歸）均方與殘差均方（$MSE$）之比值： $F = \frac{MS}{MSE}$

4. 假設檢定決策法則：

• 當計算之 $F \ge F_{\alpha}(df_1, df_2)$ 時，拒絕虛無假設 $H_0$，代表該變異來源達到統計顯著（$p < 0.05$）。
• 當計算之 $F < F_{\alpha}(df_1, df_2)$ 時，無法拒絕虛無假設 $H_0$，代表未達統計顯著（$p \ge 0.05$）。

解題方法

一、（A）至（N）之推導與數值計算

1. 自由度計算：

• （G）月別因子自由度：月份為類別變數，共有 $12$ 個月別，故： $df_{\text{month}} = 12 - 1 = 11 \implies \text{（G）} = 11$
• （H）水溫因子自由度：水溫為單一連續變數，線性迴歸參數為 $1$ 個，故： $df_{\text{temp}} = 1 \implies \text{（H）} = 1$
• （B）迴歸自由度：為兩因子自由度之和： $df_{\text{regression}} = 11 + 1 = 12 \implies \text{（B）} = 12$
• （I）表（2）殘差自由度：與表（1）全模式殘差一致： $df_E = 100 \implies \text{（I）} = 100$

2. 平方和計算：

• （A）表（1）迴歸平方和：等於月別因子平方和與水溫因子平方和之和： $SSR = SS_{\text{month}} + SS_{\text{temp}} = 220 + 8 = 228 \implies \text{（A）} = 228$
• （F）表（2）殘差平方和：與表（1）相同全模式之殘差平方和一致： $SSE = 500 \implies \text{（F）} = 500$

3. 均方計算：

• （D）與（L）殘差均方： $MSE = \frac{SSE}{df_E} = \frac{500}{100} = 5 \implies \text{（D）} = 5\text{，（L）} = 5$
• （C）迴歸均方： $MSR = \frac{SSR}{df_{\text{regression}}} = \frac{228}{12} = 19 \implies \text{（C）} = 19$
• （J）月別因子均方： $MS_{\text{month}} = \frac{SS_{\text{month}}}{df_{\text{month}}} = \frac{220}{11} = 20 \implies \text{（J）} = 20$
• （K）水溫因子均方： $MS_{\text{temp}} = \frac{SS_{\text{temp}}}{df_{\text{temp}}} = \frac{8}{1} = 8 \implies \text{（K）} = 8$

4. $F$ 檢定值計算：

• （E）整體迴歸 $F$ 值： $F = \frac{MSR}{MSE} = \frac{19}{5} = 3.8 \implies \text{（E）} = 3.8$
• （M）月別因子 $F$ 值： $F_{\text{month}} = \frac{MS_{\text{month}}}{MSE} = \frac{20}{5} = 4 \implies \text{（M）} = 4$
• （N）水溫因子 $F$ 值： $F_{\text{temp}} = \frac{MS_{\text{temp}}}{MSE} = \frac{8}{5} = 1.6 \implies \text{（N）} = 1.6$

二、完成後之變異數分析表

表（1）整體迴歸模式變異數分析表