108 高普考高考二級 水產資源 生物統計學研究 考古題詳解

核心觀念

本題評量高等生物統計學中推論統計（Inferential Statistics）之四大核心基礎概念，涵蓋假說檢定的架構原理、統計量的強韌性行為、以及無母數統計（Non-parametric Statistics）在群體比較與變數關聯性分析中的具體應用：

1. Significance test（顯著性檢定）：源自 Fisher 顯著性檢定與 Neyman-Pearson 假說檢定體系之結合，探討如何利用樣本統計量在虛無假說（$H_0$）成立的抽樣分佈下，計算極端事件發生的機率（$p$ 值），據以判定樣本結果與假說預期的差異是否具備「統計顯著性」。
2. Robustness of test（檢定的穩健性／強韌性）：評估當母體資料違反統計檢定的基本理論假設（如常態性、變異數同質性、獨立性）時，該檢定方法維持實質型 I 錯誤率（Type I error rate, $\alpha$）與檢定力（Statistical power, $1-\beta$）不受嚴重扭曲的能力。
3. Mann-Whitney U Test（曼－惠特尼 U 檢定）：獨立雙樣本 $t$ 檢定之無母數對應方法，利用兩組樣本合併排序後的等級總和（Rank sum），檢定兩獨立群體的中位數或分佈位置是否存在顯著平移差異。
4. Spearman’s rank correlation coefficient（斯皮爾曼等級相關係數）：Pearson 積差相關係數之無母數對應指標，衡量兩組序位變數或非線性單調（Monotonic）連續變數之間的相關程度。

解題方法

針對名詞解釋型申論題，評分標準著重於「定義精確性」、「數理統計機制／計算架構」、「適用前提與限制條件」以及「水產與生物統計實務應用」。各小題切入層面如下：

1. (一) Significance test：由「虛無假說（$H_0$）與對立假說（$H_1$）」的建立切入，說明檢定統計量（Test statistic）的計算、型 I 錯誤率（$\alpha$）的控制，以及 $p$ 值（$p$-value）判定規則（若 $p \le \alpha$ 則拒絕 $H_0$）。
2. (二) Robustness of test：定義何謂違背母體分佈假設（Assumption violation），並從「實際 $\alpha$ 值是否貼近設定的顯著水準」與「檢定力是否劇降」兩個維度定義穩健性；舉出水產試驗中雙樣本 $t$ 檢定對非常態分佈與變異數不同質的承受極限。
3. (三) Mann-Whitney U Test：列出虛無假說、資料合併排序與指派等級（Rank assignment）的流程，寫出 $U$ 統計量公式： $U_1 = n_1 n_2 + \frac{n_1(n_1 + 1)}{2} - R_1, \quad U_2 = n_1 n_2 + \frac{n_2(n_2 + 1)}{2} - R_2$ 並說明其在大樣本下如何透過標準常態分佈近似進行統計推論。
4. (四) Spearman’s rank correlation coefficient：說明其核心為「等級差的平方和」，列出無平手（No ties）條件下的標準閉合公式： $r_s = 1 - \frac{6 \sum_{i=1}^n d_i^2}{n(n^2 - 1)}$ 說明數值介於 $[-1, 1]$ 的統計意涵與單調函數關係的特性。

選項分析

本題非選擇題，各小題之申論核心要素、得分關鍵與觀念對比如下：

• (一) Significance test 之評析： 考生常混淆 Fisher 的顯著性檢定（單純計算 $p$ 值作為反對 $H_0$ 的證據強度，無設定明確的 $H_1$ 與 $\beta$）與 Neyman-Pearson 的假說檢定（決策導向，事前固定 $\alpha$ 與控制 $\beta$）。答題時應融合現代統計實務之「虛無假說顯著性檢定」（NHST）框架，明確定義 $p$ 值的正確統計意涵——「在虛無假說為真的前提下，獲得至少與現有樣本一樣極端或更極端結果的條件機率」，不可寫成「$H_0$ 為真的機率」。
• (二) Robustness of test 之評析： 不可僅單純回答「不易受極端值影響」或「結果很穩定」。必須指明是針對「統計模型之理論假設被違背（Violation of assumptions）」時的穩健表現。例如中央極限定理（CLT）保證大樣本下 $t$ 檢定對常態性偏差具穩健性，但在兩組樣本數不相等且變異數不均齊時，$t$ 檢定對第一型錯誤率即缺乏穩健性（此時應採用 Welch's $t$-test）。
• (三) Mann-Whitney U Test 之評析： 必須釐清其等價於 Wilcoxon rank-sum test。其檢定對象本質上是「兩分佈的隨機佔優性（Stochastic dominance）」，唯有在「兩母體分佈形狀相同」之假設下，方能明確解讀為「兩群體中位數相等」之檢定。公式推導不可缺漏等級總和校正項 $\frac{n_i(n_i+1)}{2}$。
• (四) Spearman’s rank correlation coefficient 之評析： 與 Pearson 相關係數的關鍵區別在於：Pearson 衡量「線性關係（Linearity）」，強烈依賴雙變數常態分佈假設且對極端值極為敏感；Spearman 衡量「單調關係（Monotonicity）」，依賴等級排序，能抵抗偏態與異常值。若存在大量同分（Ties），不可直接套用差額平方和簡化公式，必須以等級進行標準 Pearson 相關公式運算。

解題技巧

1. 結構化答題策略：公職高考二級閱卷評分重視學術規範與條理性，每個名詞均採取「基本定義 $\rightarrow$ 數學統計機制／公式 $\rightarrow$ 前提與性質 $\rightarrow$ 生物水產實例」四層次架構鋪陳。
2. 符號定義嚴謹性：列出數學公式時，必須明確定義每一個變數（如 $n_1, n_2$ 為樣本數；$R_1, R_2$ 為等級和；$d_i$ 為等級差）。
3. 無母數檢定之精準論述：說明無母數檢定時，務必強調其優點為「不依賴母體分佈形式、抗離群值」，但也須說明其缺點為「當母體符合常態分佈時，檢定力（Power）略低於母數檢定（漸近相對效率 ARE 約為 $3/\pi \approx 95.5\%$）」。

【答案】

(一) Significance test（顯著性檢定）

1. 定義： 顯著性檢定是一種利用樣本數據檢驗特定統計假說是否成立的推論統計程序。其目的在於評估觀測到的樣本特徵與理論母體特徵之間的差異，究係純粹源於隨機抽樣誤差（Sampling error），或是反映出具備實質意義的真實母體差異。
2. 運作機制：

核心觀念

本題考查簡單線性迴歸、決定係數與迴歸 ANOVA。令 $x$ 為 SST、$y$ 為 CPUE，迴歸線為

決定係數 $r^2$ 表示迴歸模型解釋的 CPUE 變異比例；ANOVA 的 $F$ 值則以 $MS_{\text{迴歸}}/MS_{\text{殘差}}$ 計算，用來檢定迴歸斜率是否為零。

（一）SST 預測 CPUE 的直線迴歸方程式

由表中資料可得：

因此：

迴歸方程式為：

（二）變異解釋程度的係數

要表示 SST 對 CPUE 預測值變異的解釋程度，應使用決定係數 $r^2$。相關係數 $r$ 表示線性關聯的方向與強度；$r^2$ 則表示模型解釋的變異比例。

CPUE 總平方和約為 $127.59$，因此：

核心觀念

本題考查兩種卡方檢定的用途：

1. 表中的各列分別列出不同體長組的性別數量、百分比與 $\chi^2$ 值。性別百分比以該體長組總數為分母，例如體長 $\leq 30$ cm 組的雄魚比例為 $215/259\times 100\%=83.01\%$。
2. 要判斷兩個體長組的性比是否一致，應以「體長組別」為列、「性別類別」為欄，對數量資料進行列聯表同質性卡方檢定。虛無假設為兩組性別比例相同，對立假設為至少一種性別的比例不同。

解題方法

先從表中判讀各組的性別比例：

• 體長 $\leq 30$ cm：雄魚 $83.01\%$、雌魚 $11.97\%$、雌雄同體 $5.02\%$，以雄魚為主。
• 體長 $>30$ cm：雄魚 $23.20\%$、雌魚 $73.60\%$、雌雄同體 $3.20\%$，以雌魚為主。

兩組比例差距明顯。進一步以原始數量作同質性檢定：

在虛無假設下，各格期望次數為

核心觀念

本題考單因子變異數分析（one-way ANOVA），比較 I 至 IV 四處沿海的四絲馬鮫平均體長是否相同。

設四處平均體長分別為 $\mu_I,\mu_{II},\mu_{III},\mu_{IV}$，檢定假設為：

ANOVA 以組間變異與組內變異的比值作為檢定統計量：

在各組觀測值相互獨立、母體近似常態且各組母體變異數相等的假設下，虛無假設成立時，$F$ 服從自由度為 $(k-1,N-k)$ 的 $F$ 分布。

解題方法與檢定

共有 $k=4$ 組，每組 $n_i=5$，總樣本數 $N=20$。各組平均數為 $42,74,60,88$，總平均數為：

組間平方和為：

各組的 $s^2$ 為樣本變異數，因此誤差平方和可由各組組內平方和相加求得：

自由度為：

所以：

核心觀念

本題用兩個獨立樣本比較 I、IV 兩處沿海的四絲馬鮫體長：

• 比較變異數：使用 $F$ 檢定，檢定 $H_0:\sigma_I^2=\sigma_{IV}^2$。
• 比較平均數：使用兩獨立樣本平均數檢定。由於變異數檢定拒絕等變異假設，採用不等變異數的 Welch $t$ 檢定。

題目假設體長分布為常態，且每處樣本數均為 $n=5$。

（一）I 與 IV 處體長變異是否有差異？

設檢定假設為：

將較大的樣本變異數放在分子：

自由度為：

這是雙尾檢定，$\alpha=0.05$ 時，上尾臨界值取 $F_{0.025,4,4}\approx9.605$。由於

故拒絕 $H_0$。I 與 IV 處沿海捕獲的四絲馬鮫體長變異有顯著差異，且 IV 處樣本變異數較大。

（二）IV 處體長是否高於 I 處？

設單尾檢定假設為：

由於第（一）題顯示兩組變異數不相等，採 Welch $t$ 檢定：