109 高普考高考三級 建築工程 建築結構系統 考古題詳解

核心觀念

梁的剪力圖由各截面剪力 $V$ 表示，集中力會使剪力圖跳躍，均佈載重會使剪力隨距離線性變化。彎矩圖由各截面彎矩 $M$ 表示，且滿足

因此，剪力圖的面積等於彎矩變化量；沒有分布載重的區段，剪力為常數，彎矩圖為直線。

解題方法與計算

取 $x$ 軸由 A 向 D，令 A、B、C、D 分別位於 $x=0、1、4、5\text{ m}$。BC 段均佈載重合力為 $3\times3=9\text{ kN}$，作用於 B 右方 $1.5\text{ m}$ 處。

由整體平衡：

以 B 點取力矩：

（一）剪力圖

各段剪力如下：

• AB 段，$0<x<1$： $V=-5\text{ kN}$

• B 點：​受向上反力 $R_B=47/6\text{ kN}$，剪力由 $-5$ 跳至 $V_{B^+}=-5+\frac{47}{6}=\frac{17}{6}\text{ kN}$

• BC 段，$1<x<4$： $V=\frac{17}{6}-3(x-1)\text{ kN}$ 剪力由 B 右側的 $17/6$ 線性下降，到 C 左側為 $V_{C^-}=\frac{17}{6}-9=-\frac{37}{6}\text{ kN}$ 此段剪力於 $x-1=17/18\text{ m}$ 處通過零。

• C 點：​受向上反力 $R_C=97/6\text{ kN}$，剪力由 $-37/6$ 跳至 $V_{C^+}=-\frac{37}{6}+\frac{97}{6}=10\text{ kN}$

• CD 段，$4<x<5$： $V=10\text{ kN}$

• D 點：​向下集中力 $10\text{ kN}$ 使剪力由 $10$ 降至 $0$。

剪力圖關鍵數值依序為：A 右側 $-5$、B 右側 $17/6$、C 左側 $-37/6$、C 右側 $10$、D 右側 $0$，單位均為 kN。

彎矩圖

由自由端 A 的彎矩為零，逐段積分剪力：

核心觀念

平面桁架的靜定判斷式為：

$m+r=2j$

其中 $m$ 為桿件數、$r$ 為支承反力分量數、$j$ 為節點數。若 $m+r>2j$，且結構穩定，則為靜不定；靜不定桁架的桿件力不能只靠平衡方程求得，還須使用變形相容條件。

（一）靜定或靜不定

依圖計數：節點 $j=13$，桿件 $m=25$。A 為鉸支承，提供兩個反力分量；B、C 各為滾支承，各提供一個反力分量，因此 $r=4$。

$m+r-2j=25+4-2(13)=3$

此桁架為三度靜不定。圖中兩個交叉斜桿區各增加一個內部冗餘；另外，A、B、C 的支承反力分量較平面桁架平衡方程多一個外部冗餘。

（二）構件 $a$、$b$、$c$ 的受力

題目資訊不足，不能唯一算出 $a$、$b$、$c$ 的數值。​除平衡方程外，尚須有桿件軸向剛度（如 $EA$）及變形相容條件，才能確定冗餘反力與桿件力。

核心觀念

本題考查長跨天橋的結構系統選擇，以及天橋與兩棟高度、剛度不同的建築物之間，如何處理支承、地震相對位移與荷重傳遞。

兩棟建築間淨距為 20 公尺，天橋下方不得設支柱，且要求結構輕量化。適合採用鋼桁架天橋：利用上、下弦材與腹材形成桁架，以桁架高度換取跨越能力，並將橋面荷重轉化為桁架杆件的軸力。天橋宜作為獨立的跨接結構，避免未經設計就把 A、B 兩棟建築剛性連成一體。

解題方法與結構規劃

1. 天橋系統

採用單跨鋼桁架，兩端分別支承於 A、B 建築第 4 層高度的主梁或專設轉換梁上。橋面設於下弦附近，並設置橫梁、縱向次梁及水平斜撐，使橋面荷重能均勻傳至桁架，並提高側向穩定與抗扭能力。

桁架形式可採用平面桁架配合橋面水平斜撐；若橋面較寬或偏心荷重明顯，則採用雙片桁架及完整的空間橫向支撐系統。橋面可採輕型鋼承板或其他輕質鋪面，以減少自重；另須檢核人行荷載、風力、地震力、振動舒適度及構件挫屈。

以簡支均布荷重作初步概念分析，若跨距為 $L$、線荷重為 $q$，則每端垂直反力約為

最大彎矩為

若桁架高度為 $h$，弦材軸力可用下式作初步估算：

這說明增加適當桁架高度可降低弦材軸力；實際尺寸仍須依荷重、撓度、振動及構件穩定檢核決定。

2. 支承與接合

天橋兩端應設計為可承受垂直反力的支承，不宜僅將橋端固定於樓板邊緣。支承位置應落在建築主梁、柱梁接合區或專設轉換構件，並檢核局部承壓、錨定、梁剪力及柱軸力。

沿橋跨方向宜採一端定位、一端可滑動的支承配置，使天橋能因溫度變化、收縮及徐變產生伸縮；另一端提供足夠滑移量及支承長度。側向導引與防落橋裝置則應依天橋及兩棟建築的相對位移需求設計。支承與接頭須能在設計地震位移下維持承載，不得因滑移或相對位移造成脫座。

與建築 A、B 的結構互制關係

1. 垂直荷重與局部結構影響

核心觀念與法規基準

本題考查非預力鋼筋混凝土構材在軸力與彎矩、剪力共同作用下，軸壓力如何改變混凝土所分擔的剪力、構材的彎矩承載能力，以及撓曲破壞時的變形能力。

以下以命題當年（民國 109 年）適用的《混凝土結構設計規範》為準。規範後續已修正，現行規範自民國 113 年 1 月 1 日起施行；本題依命題當年的規定說明。

令 $N_u$ 為因數化軸力，受壓取正、受拉取負；$A_g$ 為構材全斷面積。設計強度一般以名目強度乘強度折減因數表示，例如彎矩設計強度為 $\phi M_n$。

（一）軸壓力大小對剪力計算強度之影響

以混凝土提供的剪力計算強度 $V_c$ 為例，軸力會影響斜裂縫形成與剪力傳遞：

• 軸壓力增加：斷面受到壓緊，斜裂縫較不易張開，混凝土可提供的剪力強度 $V_c$ 增加。
• 軸拉力增加：斷面受到拉開，斜裂縫較易形成，$V_c$ 降低；拉力大時，剪力筋須承擔大部分甚至全部剪力。

按當年規範，簡化計算時，僅受剪力及撓曲的構材可用：

有軸壓力時：

其中 $f'_c$ 為混凝土規定抗壓強度，$b_w$ 為腹板寬度，$d$ 為有效深度。因 $N_u$ 受壓取正，公式中的軸力項會隨軸壓力增加而提高 $V_c$；軸拉力取負則會降低 $V_c$。有較大軸拉力時，不得因此採用負的混凝土剪力強度；依規範規定，除詳細計算外，剪力鋼筋須按承受全部剪力設計。

較詳細計算時，有軸壓力構材可依下式計算 $V_c$：

並受上限控制：

其中 $\rho_w$ 為縱向鋼筋比；$M_u$、$V_u$ 為同一斷面同時作用的因數化彎矩與剪力；$h$ 為構材全深度。若 $M_m<0$，則依規範改按上限式計算。這一組公式除了直接反映軸壓力的增益，也透過 $M_m$ 考慮軸力改變斷面內力狀態的效果。

整體剪力計算強度為：

其中 $V_s$ 為剪力鋼筋提供的強度；設計時仍須考慮剪力強度折減因數 $\phi$，並檢核 $\phi V_n\geq V_u$。

（二）軸壓力大小對彎矩計算強度及設計強度之影響

1. 彎矩計算強度：看軸力—彎矩互制

受軸力與彎矩共同作用時，不能只把無軸力梁的彎矩強度公式直接套用。應依斷面應變相容與內力平衡，求得軸力—彎矩互制關係；在指定軸力 $N_u$ 下，讀取或計算相對應的名目彎矩強度 $M_n$。