107 高普考高考三級 建築工程 建築結構系統 考古題詳解

核心觀念

本題為靜定外伸梁（Overhanging Beam）之靜力平衡與內力分析，評量重點包含：

1. 靜態平衡方程式：利用平面力系之三獨立平衡方程式 $\sum F_x = 0$、$\sum F_y = 0$、$\sum M = 0$ 求解支承反力。
2. 微分關係式與內力圖：

• 剪力與載重關係：$\frac{dV}{dx} = -w(x)$（載重向下為正，剪力圖斜率等於負載重強度）。
• 彎矩與剪力關係：$\frac{dM}{dx} = V(x)$（剪力值等於彎矩圖之斜率，剪力圖面積等於彎矩變化量 $\Delta M$）。

3. 集中外力偶之影響：外加順時針集中彎矩作用點處，剪力圖無變化（維持連續），彎矩圖則產生數值突變（跳躍量等於外力偶大小）。
4. 梁之彈性變形曲線（Elastic Curve）：

• 由曲率公式 $\frac{d^2 v}{dx^2} = \frac{M(x)}{EI}$ 判斷梁的變形凹凸性。
• $M(x) < 0$ 代表梁頂受拉、梁底受壓（下凹凸起，呈哭臉狀）；結合支承點之位移邊界條件（$v_B = 0$、$v_C = 0$），定出梁全段之真實位移曲線。

解題方法

(一) 計算支承反力

設坐標原點於自由端 $A$ 點，向右為 $x$ 軸正向：

• $A$ 點位於 $x = 0\ \mathrm{m}$
• $B$ 點（鉸支承）位於 $x = 5\ \mathrm{m}$
• $D$ 點（$BC$ 中點，集中彎矩作用處）位於 $x = 10\ \mathrm{m}$
• $C$ 點（滾支承）位於 $x = 15\ \mathrm{m}$

設支承反力為：

• $B$ 點垂直反力 $R_{By}$（假設向上 $\uparrow$）、水平反力 $R_{Bx}$（假設向右 $\rightarrow$）
• $C$ 點垂直反力 $R_{Cy}$（假設向上 $\uparrow$）

依題圖所示，外伸段 $AB$ 受均佈載重 $q = 2.0\ \mathrm{kN/m}$（垂直向下），集中力偶 $M = 15.0\ \mathrm{kN\cdot m}$（順時針方向）。

1. 水平平衡： $\sum F_x = 0 \implies R_{Bx} = 0$

2. 對 $B$ 點取力矩平衡（逆時針為正）：

• $AB$ 段均佈載重合力 $W_{AB} = q \times b = 2.0 \times 5 = 10.0\ \mathrm{kN}$，作用於 $AB$ 中點（距 $B$ 點左側 $2.5\ \mathrm{m}$），對 $B$ 點產生逆時針彎矩： $M_{q/B} = + (10.0\ \mathrm{kN}) \times (2.5\ \mathrm{m}) = +25.0\ \mathrm{kN\cdot m}$
• $D$ 點集中彎矩為順時針： $M_D = -15.0\ \mathrm{kN\cdot m}$
• $C$ 點反力 $R_{Cy}$ 距 $B$ 點 $10\ \mathrm{m}$，對 $B$ 點產生逆時針彎矩： $M_{C/B} = + R_{Cy} \times 10.0$
• 建立平衡方程式： $\sum M_B = 25.0 - 15.0 + 10.0 R_{Cy} = 0$ $10.0 + 10.0 R_{Cy} = 0 \implies R_{Cy} = -1.0\ \mathrm{kN}$ 負號表示實際方向向下，即 $R_{Cy} = 1.0\ \mathrm{kN}\ (\downarrow)$。

3. 垂直平衡： $\sum F_y = 0 \implies R_{By} + R_{Cy} - (2.0 \times 5) = 0$ $R_{By} + (-1.0) - 10.0 = 0 \implies R_{By} = 11.0\ \mathrm{kN}\ (\uparrow)$

(二) 剪力圖（$V$ 圖）、彎矩圖（$M$ 圖）及變形曲線

採用正負符號慣例：

• 剪力 $V$：左上右下為正。
• 彎矩 $M$：梁底受拉（下凸笑臉）為正，梁頂受拉（上凸哭臉）為負。

1. 各區段內力方程式與控制點數值

• $AB$ 段（$0 \le x < 5\ \mathrm{m}$）： $V(x) = -qx = -2.0x$ $M(x) = -\frac{1}{2}qx^2 = -1.0x^2$

• $x = 0$（$A$ 點）：$V(0) = 0$，$M(0) = 0$

• $x = 5^-$（$B$ 點左側）：$V(5^-) = -10.0\ \mathrm{kN}$，$M(5^-) = -25.0\ \mathrm{kN\cdot m}$

• 圖形特性：剪力圖為負斜率直線；彎矩圖為開口向下的二次拋物線。

• $B$ 點（$x = 5\ \mathrm{m}$）： 受向上集中反力 $R_{By} = 11.0\ \mathrm{kN}$ 作用，剪力產生向上突變： $V(5^+) = V(5^-) + R_{By} = -10.0 + 11.0 = +1.0\ \mathrm{kN}$ 彎矩無集中外力偶，數值連續：$M(5) = -25.0\ \mathrm{kN\cdot m}$。

• $BD$ 段（$5\ \mathrm{m} < x < 10\ \mathrm{m}$）： 梁上無分佈載重，剪力為定值： $V(x) = +1.0\ \mathrm{kN}$ 彎矩為一次遞增斜直線： $M(x) = M(5) + \int_5^x V\,dx = -25.0 + 1.0(x - 5)$

• $x = 10^-$（$D$ 點左側）： $M(10^-) = -25.0 + 1.0(5) = -20.0\ \mathrm{kN\cdot m}$

• $D$ 點（$x = 10\ \mathrm{m}$）： 承受順時針外加集中彎矩 $M = 15.0\ \mathrm{kN\cdot m}$。

• 剪力維持不變：$V(10) = +1.0\ \mathrm{kN}$。

• 取微小隔離體平衡可得，順時針集中力偶使彎矩圖產生由負向正跳躍（向上突變 $+15.0\ \mathrm{kN\cdot m}$）： $M(10^+) = M(10^-) + 15.0 = -20.0 + 15.0 = -5.0\ \mathrm{kN\cdot m}$

• $DC$ 段（$10\ \mathrm{m} < x \le 15\ \mathrm{m}$）： 無分佈載重，剪力維持定值： $V(x) = +1.0\ \mathrm{kN}$ 彎矩維持相同斜率繼續線性遞增： $M(x) = -5.0 + 1.0(x - 10)$

核心觀念

1. 法規依據：本題以命題當年（民國 107 年）法規為準，依據內政部營建署頒布之《混凝土結構設計規範》（民國 100 年修正版）第 5.14 節（機械式續接器通則）與第 15 章（耐震設計專章，特別是第 15.2.4 節、第 15.3 節梁構材及第 15.4 節柱構材）。（現行法已修正發布，但耐震分類與強度要求精神一致，解題仍以命題當年為準）。
2. 設計背景與受震行為：大地震中鋼筋混凝土（RC）柱多因塑鉸區過早降伏、反覆拉壓循環導致混凝土保護層剝落，若搭接長度不足或續接處產生應力集中破壞，將喪失圍束能力進而脆性潰散。機械式續接器（Mechanical Splice）藉由金屬套筒直接咬合傳力，不仰賴混凝土握裹力，能避免柱主筋過度擁擠並改善混凝土澆置蜂窩問題。
3. 力學核心指標：

• 第一型續接器（Type 1）：抗拉與抗壓強度須達鋼筋規定降伏強度 $f_y$ 的 1.25 倍（即 $\ge 1.25 f_y$）。
• 第二型續接器（Type 2）：除滿足第一型之 $1.25 f_y$ 外，且接合抗拉強度必須達到續接鋼筋規定的標稱抗拉強度（極限抗拉強度 $f_{ut}$），具備非彈性變形與應變硬化能量。

解題方法

1. 第 (一) 小題切入點：

• 先精確給出規範中「機械式續接器」的工程力學定義，強調其與傳統搭接（靠混凝土黏結握裹傳力）的本質差異。
• 舉出台灣工程實務中最具代表性的三種機械式續接器類型（螺紋式、灌漿套筒式、冷壓套筒式），說明其構造與傳力機制。

2. 第 (二) 小題切入點：

• 依耐震專章標準，將續接器區分為「第一型（Type 1）」與「第二型（Type 2）」，清楚列出兩者之強度門檻公式。
• 依「梁構件」、「柱構件」區分塑鉸區（非彈性降伏區）與非塑鉸區，明確界定其允許配置與禁止配置之空間幾何範圍。

選項分析

本題為申論題，非選擇題，無選項分析。各子題評分重點與規範對應條文落點詳見下方【答案】。

解題技巧

1. 關鍵強度數據速記：

• 第一型（Type 1）：強度門檻 $\ge 1.25 f_y$。
• 第二型（Type 2）：強度門檻 $\ge 1.25 f_y$ 且 $\ge f_{ut}$（全抗拉強度）。

2. 位置判斷口訣：

• 「塑鉸降伏區，Type 1 禁入、Type 2 通行」。
• 柱塑鉸危險區長度 $l_o$ 取「構件斷面最大尺寸、淨高 $1/6$、45 cm」三者之最大值。
• 梁端塑鉸危險區取「距支承面 $2h$（$h$ 為梁深）」範圍。

3. 常見陷阱提醒：

• 切勿將第一型強度誤記為 $1.0 f_y$；規範要求 $1.25 f_y$ 是為確保鋼筋在達到名義降伏時，續接器本體不致先行破壞。
• 第二型雖被規範允許用於塑鉸區，但答題時應補充「相鄰鋼筋之續接器仍宜錯開（如至少 60 cm）」，方能展現結構設計實務深度，奪取滿分。

【答案】

(一) 機械式續接器之定義與實務舉例

1. 機械式續接器之定義：

• 依內政部營建署《混凝土結構設計規範》，機械式續接器係指利用金屬套筒、螺紋、冷擠壓或無收縮灌漿等機械裝置，使兩根對接鋼筋端部緊密結合成一體，並藉由機械咬合或剪力作用，在不完全依賴周圍混凝土握裹力之條件下，有效傳遞鋼筋拉力

核心觀念

本題旨在測驗考生對於「低矮型鋼筋混凝土（RC）校舍結構震害特性」與「結構耐震補強工程（Retrofit Engineering）」之實務整合能力。 相關技術標準與法意核心依據：

1. 法規與技術手冊依據：以命題當年（民國 107 年）教育部與國家地震工程研究中心（NCREE）推行之《校舍結構耐震評估與補強技術手冊》及內政部《建築物耐震設計規範與解說》為依據（現行相關技術手冊歷經修訂，其評估與補強基本原理仍一致）。
2. 震害弱點成因：

• 縱向（走廊向）：配置單側走廊，柱間多設有窗台或矮牆，形成短柱效應（Short Column Effect），使柱淨高 $h_o$ 縮短，剪跨比減小，引發脆性剪力破壞；且橫向箍筋間距過大（常達 $20 \sim 30\text{ cm}$）且多為 $90^\circ$ 彎鉤，圍束嚴重不足。
• 橫向（教室隔間向）：多數設有 $1/2\text{B}$ 或 $1\text{B}$ 紅磚隔間牆，橫向強度與勁度相對充裕，但縱向側向強度與韌性嚴重匱乏。

3. 耐震補強核心力學指標：

• 強度（Strength, $V_n$）：提升結構底層極限剪力承載力。
• 勁度（Stiffness, $K$）：減小側向變位與層間位移角（Inter-story Drift Ratio），保護非結構元件。
• 韌性（Ductility, $\mu$）：將剪力脆性破壞模式轉化為梁柱撓曲塑鉸降伏之韌性機制，增加塑性耗能容量。

解題方法

本題為標準的觀念與實務整合題，解答切入點應採「診斷 $\to$ 對策 $\to$ 效益」之工程邏輯鋪陳：

1. 破題說明：簡述低矮型 RC 校舍（多為 1 至 4 樓）之結構先天缺陷（縱向弱、強梁弱柱、短柱剪力破壞）。
2. 工法分類：依校舍補強實務，精選最常見且具代表性的四大主流工法（擴柱、翼牆、剪力牆、鋼斜撐），並輔以纖維複合材料（CFRP）包覆工法。
3. 效益結構化論述：各工法必須兼顧「力學效益（強度、勁度、韌性、破壞模式改變）」與「建築使用及施工效益（採光通風、使用空間干擾、施工難易度、工期成本）」。

選項分析

本題為申論題，無選擇題選項；但考生在構思工程方案決策時，需對各補強工法之適用情境進行「設計方案比選分析」：

• 方案 A（RC 剪力牆工法）：強度與勁度提升最大，但完全阻隔光線與動線，適用於無開窗之山牆或教室後側實牆處。
• 方案 B（RC 擴柱工法）：對開窗影響最小、韌性大幅提升，施工成熟，為校舍走廊向補強之首選方案。
• 方案 C（RC 翼牆工法）：兼具強度與勁度提升，且兩側保留窗戶開口，為平衡「耐震性能」與「採光通風」之折衷方案。
• 方案 D（鋼構斜撐工法 / BRB）：自重輕、施工快速乾式作業，但節點與原 RC 框架接合處（化學錨栓組件）施工品質要求極高。

解題技巧

1. 口訣記憶法：校舍五大補強工法速記為​「柱、翼、牆、撐、包」（擴柱、翼牆、剪力牆、鋼斜撐、複合材包覆）。
2. 圖解輔助答題：考場作答時若時間充裕，可於立面繪製簡圖標示補強元件與「植筋（Chemical Anchors）」位置，能大幅提升卷面專業度。
3. 避免失分陷阱：

• 切忌只寫「增加耐震能力」等空泛形容詞，必須寫出力學關鍵字（如：消除短柱效應、提升位移韌性比 $\mu$、減小層間變位、增強剪力容量 $V_n$、剪力破壞轉為撓曲機制）。
• 需點出植筋（錨定深度與拉拔強度）為新舊混凝土界面受力傳遞的成敗關鍵。

【答案】

一、低矮型 RC 校舍結構弱點與補強目標

台灣低矮型鋼筋混凝土（RC）校舍普遍具有「縱向（走廊向）耐震能力嚴重不足」之特徵：

1. 懸臂走廊或單邊走廊設計，縱向缺乏抗震剪力牆。
2. 窗台、矮牆等非結構磚牆拘束柱身，引發短柱效應，剪跨比縮小致柱底或柱頂產生脆性剪力破壞。
3. 柱內橫向圍束箍筋間距過大（常達 $20 \sim 30\text{ cm}$）且僅具 $90^\circ$ 彎鉤，缺乏塑性變形能力。

耐震補強之核心目標，即透過提升側向強度、增大側向勁度、提高構件韌性容量，使原先之脆性破壞機制轉化為韌性撓曲降伏機制。

二、常見補強工法及其效益說明

（一）RC 擴柱補強工法（RC Column Jacketing）

1. 施作原理： 於既有 RC 柱外圍增配縱向主筋與密集耐震閉合箍筋（具 $135^\circ$ 耐震彎鉤），並藉由植筋工法將補強主筋錨定於上下樓層梁或基礎內，最後澆置無收縮或自密實混凝土（SCC），擴大柱斷面。
2. 結構與工程效益：

• 力學效益：顯著提升柱之軸向承載力、剪力強度與撓曲強度；緊密箍筋大幅增強對內部核心混凝土之圍束效應，顯著提升柱之位移韌性容量 $\mu$。

核心觀念

1. 理想桁架（Ideal Truss）與二力桿假定：

• 結構力學定義中，桁架桿件假設兩端皆為無摩擦之鉸接（Pin/Hinge），且載重僅施加於節點上。
• 桿件內部僅承受軸向拉力或軸向壓力（軸力 $N \neq 0$），剪力與彎矩均為零（$V = 0$、$M = 0$），此類構件稱為二力桿（Two-force member）。

2. 實務接合之轉動自由度與擬鉸機制：

• 真正的工程實務中，除了少數特殊「銷柱接合（Pinned Joint）」具備完全自由轉動的實體軸心外，多數桁架節點（如節點板以高強度螺栓或銲接接合）在細部上均具有一定的旋轉束制剛度。
• 工程實務上能將其合理視為「鉸接」的力學依據為：各桿件斷面相對於其長度極為細長（細長比 $\lambda = \frac{KL}{r}$ 較大），其抗彎剛度遠小於軸向剛度。即便端部微幅拘束產生次要彎矩（Secondary Moment），誘發之二次應力通常在彈性設計容許範圍內，故力學分析仍以鉸接模式計。

3. 軸線匯交原則（Concurrence of Working Lines）：

• 依據《鋼構造建築物鋼結構設計規範》（以命題當年民國 107 年規範為準），為避免在節點處引發破壞性的局部偏心彎矩，所有匯交於同一節點之各桿件斷面形心軸（Gravity Axes / Working Lines）必須交會於單一工作點（Working Point）。

解題方法

本題為申論繪圖題。答題策略採「圖文並茂」方式，挑選當前工程實務最常見且具代表性的三大桁架節點接合系統進行繪圖與說明：

1. 平面鋼結構節點板接合（Gusset Plate Connection）：最普及之傳統廠房與屋架工法。
2. 實體銷接樞軸接合（Pin / Fork Connection）：最符合純力學樞接定義之張力桿件與吊橋結構工法。
3. 空間桁架螺栓球節點接合（MERO-type Space Truss Ball Node）：大跨距體育館與薄殼網架之模組化接合工法。

一、 鋼結構節點板接合（Gusset Plate Connection）

• 構造說明：

• 於各桿件交會處設置一塊具足夠厚度與剛度之鋼板（節點板）。
• 上下弦桿及斜腹桿、垂直腹桿以高強度螺栓（摩擦型）或角銲連接於節點板上。
• 核心細部要求：弦桿與腹桿之形心軸線必須在節點板內交於同一工作點 $O$。

• 節點示意圖：

 【斜腹桿 (Web Diagonal)】
 // //
 // // [形心軸]
 // [高強螺栓] /
 // (o) (o) /
 // (o) (o) /
 =======//=============//=========== <-- 上弦桿 (Top Chord, 如雙角鋼或H型鋼)
 | // // |
 | +-----------------+ |
 | | | |
 | | 節點板 | [工作點 O]
 | | (Gusset Plate) | * <--- (各桿形心軸交會於此，避免偏心彎矩)
 | +-----------------+ |
 | | | |
 ===============|==|================
 | |
 | | [形心軸]
 | |
 (o) [高強螺栓]
 (o)
 | |
 【垂直腹桿 (Vertical Web)】

二、 實體銷接／樞接節點（Pinned Joint / Clevis Connection）

• 構造說明：

• 由單孔板（Eye-bar / Tongue Plate）、雙耳夾板（Fork / Clevis）及一根貫穿之中碳鋼銷柱（Pin）組合而成，端部以螺帽或開尾銷固定。
• 力學行為：界面接觸為圓柱曲面滑動接觸，無抵抗彎矩能力（$M=0$），可自由產生微小相對角位移 $\theta$，完全傳遞軸力與剪力，為標準實體鉸接。