107 高普考高考三級 汽車工程 汽車動力學（包括應用力學及機動學） 考古題詳解

核心觀念

本題探討剛體車輛在未傾斜（無超高）之水平路面上進行等速穩態轉向時的極限穩定性，主要考察兩種臨界失效模式：

1. 側滑極限（Skidding Limit）： 由輪胎與地面的最大靜摩擦力提供轉向所需之向心力。當所需之向心加速度超過路面摩擦係數所能提供之極限時，車輛即產生側滑： $F_{\text{lateral}} = m \frac{v^2}{R} \le \mu_s N = \mu_s m g \implies a_{\text{slip}} = \mu_s g$
2. 側傾／翻覆極限（Rollover Limit）： 由向心力對車輪接地點所產生之傾覆力矩，與車重對接地點產生之抗傾力矩達成平衡。當轉彎離心效應達到臨界值，使內側車輪之垂直正向力降為零（$N_{\text{in}} = 0$）時，車輛即達側傾（翻覆）臨界： $\sum M_{\text{out}} = 0 \implies m \frac{v^2}{R} h = m g \left(\frac{t}{2}\right) \implies a_{\text{roll}} = \left(\frac{t}{2h}\right) g$ 其中 $t$ 為輪距（Track width），$h$ 為重心高度。
3. 失效模式之優先判斷準則： 比較側滑臨界加速度係數 $\mu_s$ 與靜態穩定係數（Static Stability Factor, $\text{SSF} = \frac{t}{2h}$）：

• 若 $\mu_s < \frac{t}{2h}$，則加速度提升時率先達到側滑門檻，車輛率先側滑。
• 若 $\mu_s > \frac{t}{2h}$，則加速度提升時率先達到側傾門檻，車輛率先側傾（翻覆）。

解題方法

步驟一：參數整理與單位換算

• 車輛質量：$m = 2{,}000\ \mathrm{kg}$
• 行駛車速：$v = 90\ \mathrm{km/h} = \frac{90 \times 1{,}000}{3{,}600}\ \mathrm{m/s} = 25\ \mathrm{m/s}$
• 迴轉半徑：$R = 100\ \mathrm{m}$
• 地面靜摩擦係數：$\mu_s = 0.6$
• 重心高度：$h = 50\ \mathrm{cm} = 0.5\ \mathrm{m}$
• 左右輪距：$t = 150\ \mathrm{cm} = 1.5\ \mathrm{m}$，半輪距 $\frac{t}{2} = 0.75\ \mathrm{m}$
• 重力加速度：取 $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$（或以符號 $g$ 比較）

步驟二：計算車輛當前行駛之向心加速度

汽車以 $v = 25\ \mathrm{m/s}$ 行經 $R = 100\ \mathrm{m}$ 之彎道，所需之側向向心加速度為： $a_n = \frac{v^2}{R} = \frac{25^2}{100} = \frac{625}{100} = 6.25\ \mathrm{m/s^2}$ 換算為重力加速度倍數： $\frac{a_n}{g} = \frac{6.25}{9.8} \approx 0.638$

步驟三：計算「側滑」臨界條件

設側向總摩擦力為 $f$，垂直總正向力為 $N = mg$。 不發生側滑的最大向心加速度條件為： $f_{\max} = \mu_s N = \mu_s mg \ge m a_n$ 臨界側滑加速度： $a_{\text{slip}} = \mu_s g = 0.6 g = 0.6 \times 9.8 = 5.88\ \mathrm{m/s^2}$ 對應之臨界側滑速度： $v_{\text{slip}} = \sqrt{\mu_s g R} = \sqrt{0.6 \times 9.8 \times 100} \approx 24.25\ \mathrm{m/s} \approx 87.3\ \mathrm{km/h}$

步驟四：計算「側傾（翻覆）」臨界條件

取外側車輪接地點進行力矩平衡分析。當內側輪正向力 $N_{\text{in}} = 0$ 時達到臨界翻覆點：

核心觀念

本題評量車輛在極限加速狀態下的**縱向動力學（Longitudinal Vehicle Dynamics）**分析，核心概念涵蓋：

1. 動態載重轉移（Dynamic Weight Transfer / Load Transfer）：車輛加速時，慣性力（D'Alembert 慣性力 $m a$）通過重心向後作用，造成前軸正向力減小（卸載）、後軸正向力增大（增載）。
2. 輪胎地面附著極限（Adhesion Limit / Maximum Tractive Effort）：驅動軸所能產生的最大驅動力受限於輪胎與路面間的摩擦極限： $F_{t,\max} = \mu N_d$ 其中 $\mu$ 為路面摩擦係數，$N_d$ 為該驅動軸的即時動態正向載重。
3. 車輛縱向運動方程式（Equation of Motion）：在不計空氣阻力且水平路面行駛下，車輛加速度由淨推力決定： $m a = \sum F_t - R_r$ 其中 $R_r = f_r W$ 為整車滾動阻力（$f_r$ 為滾動阻力係數，$W = m g$ 為總車重）。

解題方法

1. 符號定義與已知參數整理

• 車輛總質量：$m = 1{,}750\ \mathrm{kg}$，總重 $W = m g$
• 軸距：$L = 2.75\ \mathrm{m}$
• 重心高度：$h = 0.52\ \mathrm{m}$
• 路面摩擦係數：$\mu = 0.85$
• 滾動阻力係數：$f_r = 0.03$
• 靜止時前軸重：$W_{f0} = 945\ \mathrm{kgf}$，佔總重比率 $\dfrac{W_{f0}}{W} = \dfrac{945}{1{,}750} = 0.54$
• 靜止時後軸重：$W_{r0} = 805\ \mathrm{kgf}$，佔總重比率 $\dfrac{W_{r0}}{W} = \dfrac{805}{1{,}750} = 0.46$
• 重心至前軸距離 $l_1$ 與至後軸距離 $l_2$： $l_1 = L \times \frac{W_{r0}}{W} = 2.75 \times 0.46 = 1.265\ \mathrm{m}$ $l_2 = L \times \frac{W_{f0}}{W} = 2.75 \times 0.54 = 1.485\ \mathrm{m}$

2. 動態正向載重推導

車輛以加速度 $a$ 前進時，於重心處建立達朗貝爾慣性力 $m a$（方向向後）。對後輪與前輪接觸點分別取力矩平衡（$\sum M = 0$）：

• 前軸動態正向載重： $N_f = W \frac{l_2}{L} - \frac{m a h}{L} = W_{f0} - m a \frac{h}{L} = W \left( 0.54 - \frac{a}{g} \frac{h}{L} \right)$
• 後軸動態正向載重： $N_r = W \frac{l_1}{L} + \frac{m a h}{L} = W_{r0} + m a \frac{h}{L} = W \left( 0.46 + \frac{a}{g} \frac{h}{L} \right)$

其中 $\dfrac{h}{L} = \dfrac{0.52}{2.75} \approx 0.1891$。整車滾動阻力為： $R_r = f_r (N_f + N_r) = f_r W = 0.03 W$

(一) 前輪驅動（FWD）之最大加速度

在前輪驅動下，僅前輪提供驅動力，驅動力極限為前輪最大附著力： $F_{tf,\max} = \mu N_f = \mu \left( W_{f0} - m a \frac{h}{L} \right)$

將驅動力極限代入縱向運動方程式： $m a = F_{tf,\max} - R_r = \mu \left( W_{f0} - m a \frac{h}{L} \right) - f_r W$

移項整理： $m a \left( 1 + \mu \frac{h}{L} \right) = \mu W_{f0} - f_r W$

同除以 $W = m g$，得無因次加速度 $\dfrac{a}{g}$： $\frac{a}{g} = \frac{\mu \dfrac{W_{f0}}{W} - f_r}{1 + \mu \dfrac{h}{L}} = \frac{0.85 \times 0.54 - 0.03}{1 + 0.85 \times \left( \dfrac{0.52}{2.75} \right)} = \frac{0.459 - 0.03}{1 + 0.1607} = \frac{0.429}{1.1607} \approx 0.3696$

• 取 $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$： $a_{\max} = 0.3696 \times 9.8 \approx 3.62\ \mathrm{m/s^2}$
• （若取 $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$，則 $a_{\max} \approx 3.63\ \mathrm{m/s^2}$）

(二) 後輪驅動（RWD）之最大加速度

在後輪驅動下，僅後輪提供驅動力，驅動力極限為後輪最大附著力： $F_{tr,\max} = \mu N_r = \mu \left( W_{r0} + m a \frac{h}{L} \right)$

核心觀念

1. 偏位曲柄滑塊機構之幾何構形與極限位置（死點）：

• 設曲柄長為 $r = 200\ \mathrm{mm}$、連桿長為 $L = 600\ \mathrm{mm}$、偏位量為 $e = 50\ \mathrm{mm}$。
• 滑塊的運動極限位置（兩端死點）發生於曲柄與連桿共線的瞬間：
• 外死點（伸展極限位置）：曲柄與連桿拉成同一直線，長度為 $L + r$。
• 內死點（重疊極限位置）：曲柄與連桿反向重疊成同一直線，長度為 $L - r$。
• 行程 $S$（Stroke）為滑塊在兩極限位置間移動的直線距離： $S = x_{\max} - x_{\min} = \sqrt{(L+r)^2 - e^2} - \sqrt{(L-r)^2 - e^2}$

2. 傳遞角（Transmission Angle, $\mu$）與壓力角（Pressure Angle, $\phi$）之定義：

• 在連桿機構中，連桿（浮動桿）為二力構件，作用力沿連桿軸線方向傳遞。
• 壓力角 $\phi$：連桿作用力方向與從動件（滑塊）移動方向之間的夾角。沿運動方向之有效驅動力為 $F\cos\phi$，垂直導路之側向擠壓力為 $F\sin\phi$。
• 傳遞角 $\mu$：依機構學標準定義（將滑塊視為無窮長之從動搖桿，其桿向垂直於導路），傳遞角為連桿與從動件（即導路之法線）間的夾角，與壓力角互為餘角： $\mu + \phi = 90^\circ \quad \Longleftrightarrow \quad \mu = 90^\circ - \phi$
• 當連桿與滑塊導路之法線夾角隨曲柄旋轉連續變化時，傳遞角極值出現在曲柄垂直於滑塊導路的兩個位置。

解題方法

(一) 計算滑塊的行程（8 分）

建立直角坐標系：設曲柄旋轉中心為原點 $O(0, 0)$，滑塊導路平行於 $x$ 軸，其中心線方程式為 $y = e = 50\ \mathrm{mm}$。

1. 外死點位置（伸展極限 $B_1$）： 此時曲柄與連桿伸展共線，線段 $OB_1$ 長度為： $R_1 = L + r = 600 + 200 = 800\ \mathrm{mm}$ 依畢氏定理，滑塊外極限位置之水平坐標為： $x_1 = \sqrt{R_1^2 - e^2} = \sqrt{800^2 - 50^2} = \sqrt{640000 - 2500} = \sqrt{637500} = 50\sqrt{255} \approx 798.44\ \mathrm{mm}$

2. 內死點位置（重疊極限 $B_2$）： 此時曲柄與連桿摺疊共線，線段 $OB_2$ 長度為： $R_2 = L - r = 600 - 200 = 400\ \mathrm{mm}$ 依畢氏定理，滑塊內極限位置之水平坐標為： $x_2 = \sqrt{R_2^2 - e^2} = \sqrt{400^2 - 50^2} = \sqrt{160000 - 2500} = \sqrt{157500} = 150\sqrt{7} \approx 396.86\ \mathrm{mm}$

3. 滑塊行程 $S$： $S = x_1 - x_2 = 50\sqrt{255} - 150\sqrt{7} \approx 798.44 - 396.86 = 401.58\ \mathrm{mm}$

(二) 計算最大與最小傳遞角（16 分）

設曲柄銷位置為 $A(r\cos\theta, r\sin\theta)$，滑塊位置為 $B(x, e)$。 連桿與導路水平方向之夾角為壓力角 $\phi$，其正弦值由兩端垂直高度差決定： $\sin\phi = \frac{|y_A - e|}{L} = \frac{|200\sin\theta - 50|}{600}$

傳遞角極值發生在曲柄垂直於滑塊導路之位置（$\theta = 90^\circ$ 與 $\theta = 270^\circ$）：

1. 位置一：曲柄向下垂直於導路（$\theta = 270^\circ$，即 $\sin\theta = -1$）：

• 曲柄銷垂直高度：$y_{A1} = -200\ \mathrm{mm}$。
• 連桿垂直落差達到最大值： $|\Delta y_1| = |y_{A1} - e| = |-200 - 50| = 250\ \mathrm{mm}$
• 此時連桿對導路之傾角（最大壓力角 $\phi_{\max}$）為：

核心觀念

本題考查機械工程與汽車動力學（機動學）中之滾齒機（Gear Hobbing Machine）齒輪系運動學分析，核心觀念包含：

1. 創成法（Generating Method）之滾齒運動學原理：滾刀（Hob）本質為開有容屑槽之蝸桿（Worm）。當滾刀旋轉時，其螺旋齒形等效於一線性移動之齒條（Rack）。欲將齒輪坯（Gear Blank）切削成齒數為 $N_{\text{blank}}$ 之正齒輪，齒輪坯每轉一轉（$1\text{ rev}$），滾刀必須旋轉之轉數為： $\frac{\omega_{\text{hob}}}{\omega_{\text{blank}}} = \frac{N_{\text{blank}}}{N_{\text{hob}}}$ 式中 $N_{\text{hob}}$ 為滾刀之線數（頭數）；一般切齒滾刀均為單線蝸桿，即 $N_{\text{hob}} = 1$。
2. 定軸齒輪系（Ordinary Gear Train）傳動比計算：

• 外嚙合圓柱齒輪之轉向相反，速比為齒數之反比：$\omega_A / \omega_B = -N_B / N_A$。
• 惰輪（Idler Gear）僅改變傳動旋向，不改變輪系之總速比大小。
• 蝸桿－蝸輪傳動之速比：蝸桿為單線（$N_w = 1$）時，蝸輪每轉一齒，蝸桿需轉一整圈，速比為 $\omega_w / \omega_g = N_g / N_w$。

3. 分度掛輪（Indexing Change Gears）設計：透過更換一組掛輪（齒輪 3 與齒輪 5），調整滾刀軸與工作台分度蝸輪軸之速比，以配合不同齒數工件之加工需求。

解題方法

資訊確認與合理假設

依考卷原題圖形與題意，系統傳動鏈之配置關係如下：

1. 動力輸入與滾刀：馬達驅動主軸，主軸帶動滾刀（齒輪 8，為單線右旋蝸桿，$N_8 = 1$）及齒輪 3，即 $\omega_8 = \omega_3$。
2. 分度掛輪傳動：齒輪 3 經惰輪（齒輪 4）驅動齒輪 5。
3. 分度機構傳動：齒輪 5 驅動一單線右旋蝸桿（$N_w = 1$），該蝸桿嚙合並帶動齒輪 9（蝸輪）。齒輪 9 與齒輪 1（$180T$ 分度齒輪）同軸固結於工作台軸上並帶動齒輪坯旋轉，即 $\omega_{\text{blank}} = \omega_1 = \omega_9$。

(一) 滾刀（齒輪 8）旋向判定與機構簡圖

1. 旋向判定原理：

• 齒輪坯由工作台垂直軸帶動，題設齒輪坯為**順時針方向（CW，俯視）**旋轉。
• 齒輪 1（$180T$）與蝸輪（齒輪 9）同軸，亦為**順時針方向（CW，俯視）**旋轉。
• 帶動蝸輪 9 之蝸桿為右旋蝸桿。依右手定則（握住軸線，拇指指向軸向移動推力方向），為使蝸輪順時針旋轉，水平配置之分度蝸桿軸（自軸端視之）應呈特定旋向，連帶驅動齒輪 5。
• 傳動鏈中，齒輪 5 與齒輪 3 之間夾有單一惰輪 4：齒輪 5 經惰輪 4 換向兩次，因此齒輪 3 之轉向與齒輪 5 相同。
• 滾刀（齒輪 8）與齒輪坯在切削點進行創成嚙合：滾刀為右旋蝸桿，其切削刃在旋轉時產生的虛擬齒條移動方向，必須與齒輪坯在嚙合點之切線速度方向一致（切削運動方向向下推動齒面）。當齒輪坯為順時針旋轉時，滾刀（齒輪 8）自驅動軸端視之，旋轉方向為逆時針方向（CCW）（或自對向視之為順時針，工程上以滾刀旋轉推動螺旋向前為準）。

2. 機構運動學簡圖與旋向標示：

 【馬達 Motor】
 │
 ▼
 ┌───〔齒輪 3〕(CW/CCW 依驅動軸視角)
 │ │
 │ 〔惰輪 4〕(反向)
 │ │
 │ 〔齒輪 5〕(同齒輪 3 轉向)
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 │ ▼
 │ 〔右旋蝸桿〕(單線)
 │ │ (蝸桿嚙合)
 │ ▼
〔滾刀 齒輪 8〕 〔蝸輪 齒輪 9〕──同軸固結──〔齒輪 1 (180T)〕
(右旋單線蝸桿) │
 │ (創成切削) ▼
 └───► 嚙合切削 ◄────────────〔齒輪坯 Blank〕
 (旋向：順時針 CW)

各齒輪轉向關係標示：

• 齒輪坯（Blank）：順時針（CW，由上往下俯視）
• 齒輪 1（$180T$）與齒輪 9（蝸輪）：順時針（CW，由上往下俯視）
• 驅動齒輪 9 之右旋蝸桿：旋向帶動蝸輪順時針推進
• 齒輪 5：與分度蝸桿同向旋轉
• 齒輪 4（惰輪）：與齒輪 5 反向旋轉
• 齒輪 3：與齒輪 4 反向旋轉（與齒輪 5 同向旋轉）
• 滾刀（齒輪 8）：與齒輪 3 同軸連動，旋向使滾刀右旋螺旋齒與順時針轉動之齒輪坯於切削點協同運動

(二) 決定速比 $\omega_3/\omega_5$

1. 滾刀與齒輪坯之創成速比： 欲切削之齒輪坯齒數 $N_{\text{blank}} = 75$ 齒，滾刀為單線蝸桿（$N_8 = 1$），則：