108 高普考高考三級 化學工程 輸送現象與單元操作 考古題詳解

核心觀念

這一小題比較兩種描述流體界面附近質量傳送阻力的模型。兩者都將主要濃度變化視為發生在靠近界面的區域，並以分子擴散描述質傳；差異在於界面附近流體是否視為穩定、以及溶質在接觸期間的擴散深度是否相同。

薄膜質傳理論（film theory）

薄膜理論假設界面兩側各有一層靜止或近似靜止的薄膜，主流區充分混合，濃度均勻。溶質由主流穿過薄膜擴散至界面，或反向傳送；薄膜外的主流濃度梯度可忽略。

以穩態、一維、稀溶液、擴散係數與薄膜厚度固定為例，溶質 $A$ 穿越厚度為 $\delta$ 的薄膜，其通量可寫為

$$N_A = \frac{D_{AB}}{\delta}(C_{A,b}-C_{A,i}) = k_L(C_{A,b}-C_{A,i})$$

其中 $D_{AB}$ 為 $A$ 在流體中的分子擴散係數，$C_{A,b}$ 為主流濃度，$C_{A,i}$ 為界面濃度，$k_L$ 為液相質傳係數。因此薄膜理論給出

$$k_L=\frac{D_{AB}}{\delta}$$

氣液接觸時，若氣液界面達到局部平衡，則可分別以氣相與液相的濃度差表示傳送阻力。以總液相質傳係數表示時，常見形式為

$$N_A=K_L(C_{A,b}-C_A^*)$$

其中 $C_A^*$ 是與主流氣相濃度平衡的液相濃度。總阻力可視為氣膜與液膜阻力串聯，實際表達式需依所用濃度基準及平衡關係換算。

模型特徵：

• 傳送阻力集中在固定厚度的停滯膜內。
• 膜內為穩態擴散，濃度分布呈線性（在擴散係數固定等簡化條件下）。
• 質傳係數與擴散係數成正比，與膜厚成反比。
• 易於建立簡單的工程計算式，但固定膜厚是理想化假設。

滲透理論（penetration theory）

滲透理論又稱 Higbie 滲透模型。它假設流體微元間歇地接觸界面，每個微元接觸時間為 $t_c$；接觸期間，溶質由界面向微元內部作非穩態分子擴散。微元離開界面後，擴散造成的濃度梯度被帶離，並由新的流體微元取代。

若微元初始濃度均勻，接觸期間界面濃度固定，則半無限介質中的非穩態擴散解可積分成平均質傳係數：

$$k_L=2\sqrt{\frac{D_{AB}}{\pi t_c}}$$

相應的平均通量為

$$\overline{N}_A =2(C_{A,i}-C_{A,0}) \sqrt{\frac{D_{AB}}{\pi t_c}}$$

其中 $C_{A,0}$ 為微元接觸界面前的初始濃度。可見接觸時間愈短，平均質傳係數愈大；擴散係數愈大，質傳也愈快。

模型特徵：

• 質傳為非穩態擴散，濃度梯度隨時間發展。
• 流體微元在界面的接觸時間有限，接觸後會被更新。
• 每個微元接觸期間的擴散深度隨時間增加，量級約為 $\sqrt{D_{AB}t_c}$。
• 適用於具有表面更新或間歇接觸特性的系統。

兩理論比較與解題方法

答題時先交代兩模型的共同點，再各自說明流體假設、擴散型態與質傳係數關係，最後比較其物理意義：

比較項目	薄膜理論	滲透理論
界面附近流體	固定厚度的停滯膜	間歇接觸界面的流體微元
擴散型態	穩態擴散	非穩態擴散
重要尺度	薄膜厚度 $\delta$	接觸時間 $t_c$
質傳係數	$k_L=D_{AB}/\delta$	$k_L=2\sqrt{D_{AB}/(\pi t_c)}$
核心假設	膜厚固定	表面微元持續更新

兩者都是將質傳阻力集中於界面附近的模型，但都不是完整描述所有湍流界面傳送現象的普遍定律；實際質傳係數仍須由流動狀況、界面更新與實驗關係決定。

（二）蒸發器容量與蒸發器經濟性

核心觀念

核心觀念

有效淨正吸水頭（available NPSH，記為 $\mathrm{NPSH}_a$）是泵吸入口處的絕對壓力水頭，扣除液體蒸氣壓水頭後的可用水頭。以開口儲槽自由液面為起點，套用伯努力方程至泵吸入口，可得

$$\mathrm{NPSH}_a = \frac{P_{\mathrm{atm}}-P_v}{\rho g} +(z_s-z_p) -h_{L,s}$$

其中 $z_s-z_p$ 是儲槽自由液面相對於泵的高度差，$h_{L,s}$ 是吸入管線的摩擦損失水頭。

本題水槽為開口槽，槽內液面壓力為大氣壓；液位比槽出口高 $2\ \mathrm{ft}$，而槽出口在泵上方 $5\ \mathrm{ft}$，所以液面比泵高 $7\ \mathrm{ft}$。

解題方法

先求大氣壓與蒸氣壓的壓力差水頭，再加上液面高於泵的靜水頭，最後扣除吸入管摩擦損失。

1. 靜水頭與壓力差水頭

採用標準大氣壓 $P_{\mathrm{atm}}=14.7\ \mathrm{psi}$。題目給定 $1\ \mathrm{psi}=27.68\ \mathrm{in}$ 水柱，因此

$$\frac{P_{\mathrm{atm}}-P_v}{\rho g} = (14.7-7.51)\frac{\mathrm{psi}}{}\times \frac{27.68\ \mathrm{in\ water}}{\mathrm{psi}} \times\frac{1\ \mathrm{ft}}{12\ \mathrm{in}} = 16.585\ \mathrm{ft}$$

自由液面高於泵的高度為

$$z_s-z_p=5+2=7\ \mathrm{ft}$$

2. 吸入管摩擦損失

流量及管徑換算為

$$Q=3\ \frac{\mathrm{ft^3}}{\mathrm{min}} =\frac{3}{60}\ \mathrm{ft^3/s} =0.0500\ \mathrm{ft^3/s}$$ $$D=4\ \mathrm{in}=\frac{4}{12}\ \mathrm{ft} =0.3333\ \mathrm{ft}$$

管內平均流速為

核心觀念

此題考逆流式熱交換器的對數平均溫差（LMTD），以及空氣側熱傳係數和質量流率的關係。主要熱阻在空氣側，故總傳熱係數 $U$ 與空氣側熱傳係數 $h$ 成正比；兩次操作中，空氣入口與出口溫度相同，因此所需熱量與空氣質量流率成正比。

空氣側使用的經驗式為：

$Nu=0.023Re^{0.8}Pr^{0.4}$

在相同管徑、空氣性質近似不變時，$Nu\propto h$、$Re\propto\dot m_{\rm air}$，因此：

$h\propto\dot m_{\rm air}^{0.8}$

解題方法

蒸汽在兩種情況下皆為定溫凝結，故熱端溫度維持不變。逆流熱交換器的兩端溫差為：

\Delta T_2=T_h-T_{c,\mathrm{in}}$$ 其中冷流體空氣由 $80^\circ\mathrm{F}$ 加熱至 $180^\circ\mathrm{F}$。 **原操作：蒸汽溫度 $220^\circ\mathrm{F}$** $$\Delta T_{\mathrm{lm},1} =\frac{(220-80)-(220-180)} {\ln\left(\dfrac{220-80}{220-180}\right)} =\frac{100}{\ln(140/40)} =80.2^\circ\mathrm{F}$$ **新操作：蒸汽溫度 $250^\circ\mathrm{F}$** $$\Delta T_{\mathrm{lm},2} =\frac{(250-80)-(250-180)} {\ln\left(\dfrac{250-80}{250-180}\right)} =\frac{100}{\ln(170/70)} =110.0^\circ\mathrm{F}$$ 熱交換器面積不變，依傳熱方程式 $Q=UA\Delta T_{\rm lm}$：

核心觀念

本題考兩項二元蒸餾的極限設計：

• 最少理論塔板數：在全回流時達到，使用 Fenske 式。相對揮發率 $\alpha$ 為常數，且兩組分形成理想溶液，因此可直接使用組成比推算。
• 最小回流比：在進料板附近形成夾點（pinch）時達到。飽和液體進料的熱狀態參數為 $q=1$，$q$ 線是 $x=x_F$ 的垂直線；最小回流時，精餾段操作線通過此線與平衡線的交點。

（一）最少理論塔板數

全回流時，Fenske 式為

$$N_{\min} = \frac{ \ln\left[ \left(\frac{x_D}{1-x_D}\right) \left(\frac{1-x_B}{x_B}\right) \right] }{ \ln\alpha }$$

代入 $x_D=0.90$、$x_B=0.10$、$\alpha=2.0$：

$$N_{\min} = \frac{ \ln\left[ \left(\frac{0.90}{0.10}\right) \left(\frac{0.90}{0.10}\right) \right] }{ \ln 2 } = \frac{\ln 81}{\ln 2} \approx 6.34$$

因此，最少理論塔板數為約 $6.34$ 個平衡級。此計算慣例將再沸器計為一個平衡級，不計全凝器；若實際設備必須採整數級數，至少需配置 $7$ 個理論級。

（二）最小回流比

理想二元系統的氣液平衡關係為

$$y^* = \frac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x}$$

在進料組成 $x_F=0.50$ 時，平衡氣相組成為

核心觀念

本題考二氧化碳在液膜中的穩態擴散與一階不可逆反應。液相反應速率為 $R_A=-k_1C_A$，其中 $k_1$ 的單位為時間的倒數。假設擬二元系統、液膜厚度為 $\delta$、液相擴散係數為 $D_{AB}$，且液膜內無對流，則二氧化碳在液膜中的擴散通量與反應速率由穩態物料衡算連結。

解題方法

令 $x=0$ 為氣液界面，$x=\delta$ 為液膜外緣。穩態下，液相中二氧化碳的濃度分布滿足：

$$D_{AB}\frac{d^2C_A}{dx^2}-k_1C_A=0$$

邊界條件為：

$$C_A(0)=C_{A0},\qquad C_A(\delta)=C_{A\delta}$$

令

$$\lambda=\sqrt{\frac{k_1}{D_{AB}}}$$

則濃度分布可寫成：

$$C_A(x)= C_{A0}\frac{\sinh[\lambda(\delta-x)]}{\sinh(\lambda\delta)} + C_{A\delta}\frac{\sinh(\lambda x)}{\sinh(\lambda\delta)}$$

氣液界面處，二氧化碳進入液相的通量為：

$$N_A=-D_{AB}\left.\frac{dC_A}{dx}\right|_{x=0}$$

對濃度分布微分並代入 $x=0$：