110 高普考高考三級 化學工程 輸送現象與單元操作 考古題詳解

110 年・高普考・高考三級・化學工程
試題代碼 輸送現象與單元操作

第 一 題20 分

(一) 一分子 AA 要擴散到一幾乎只含有 BB 分子的多孔體物質中，有效擴散係數（effective diffusivity）為 DA,eD_{A,e}。已知 AA 在多孔體物質中之克努森擴散係數（Knudsen diffusivity）為 DA,KD_{A,K}，且 AA 在 BB 之體擴散係數（bulk diffusion coeff.）為 DABD_{AB}，請問三者之間的關係？（5 分）

(二) 何謂濾媒？試述其作用功能。（5 分）

(三) 使用皮托管（Pitot Tube）測量圓管內流體流速時，皮托管之外徑不可大於管徑之幾分之幾？（5 分）

(四) 使用銳孔流量計時，大約要離銳孔盤約多少倍管徑距離之後，才不再受銳孔盤影響？（5 分）

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核心觀念：氣體在多孔體內擴散時，分子與孔壁碰撞造成克努森擴散，分子彼此碰撞造成體擴散。題目所稱「幾乎只含有 BB 分子」表示 BB 可視為停滯氣體，AA 的傳輸阻力需同時考慮這兩種擴散阻力。

解題方法：依串聯阻力的 Bosanquet 關係式，有效擴散係數為

1DA,e=τε(1DA,K+1DAB)\frac{1}{D_{A,e}} = \frac{\tau}{\varepsilon} \left( \frac{1}{D_{A,K}}+\frac{1}{D_{AB}} \right)

其中 ε\varepsilon 為孔隙率，τ\tau 為曲折度因子。若將孔隙結構效應併入有效克努森與體擴散係數，則常寫成

1DA,e=1DA,K,e+1DAB,e.\frac{1}{D_{A,e}} = \frac{1}{D_{A,K,e}}+\frac{1}{D_{AB,e}}.

忽略孔隙率與曲折度修正時，孔內合成擴散係數為

DA,pore=(1DA,K+1DAB)−1=DA,KDABDA,K+DAB.D_{A,\mathrm{pore}} = \left( \frac{1}{D_{A,K}}+\frac{1}{D_{AB}} \right)^{-1} = \frac{D_{A,K}D_{AB}}{D_{A,K}+D_{AB}}.

解題技巧：兩種擴散機制的阻力相加，所以倒數相加；合成係數必小於 DA,KD_{A,K} 與 DABD_{AB} 中較小者。若題目將 DA,eD_{A,e} 定義為已包含孔隙率、曲折度的有效值，則應使用第一式，不能漏掉結構修正。

(二) 濾媒及其功能

核心觀念：濾媒是過濾操作中讓流體通過、並截留懸浮固體的多孔介質或隔離材料，常見形式包括濾布、濾紙、金屬網及多孔陶瓷。

解題方法：濾媒的主要功能為：

  1. 使液體或氣體通過，形成濾液或潔淨流體。
  2. 截留懸浮固體，讓固體留在濾媒表面或孔隙中形成濾餅。
  3. 支撐濾餅並維持過濾層的形狀，避免固體穿透或濾媒變形。
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第 二 題20 分

有一泵欲將井水從高於地面 2 m2\ \mathrm{m} 抽到離地 8 m8\ \mathrm{m} 高的水塔中，抽水速率為 2 L/s2\ \mathrm{L/s}，水管直徑為 2 cm2\ \mathrm{cm}。若各項摩擦損失可忽略，泵效率為 70%70\%，請算出所需要的泵功率。

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核心觀念

這題考泵浦的能量方程與效率。水由一個水面流至另一個水面，且兩水面皆受大氣壓、摩擦損失可忽略，因此泵浦須提供的水頭等於兩水面的高程差：

Hp=z2−z1H_p=z_2-z_1

水力功率為 ρgQHp\rho gQH_p；泵浦效率 η\eta 定義為水力輸出功率除以泵浦輸入功率，所以所需輸入功率為：

Pin=ρgQHpηP_{\mathrm{in}}=\frac{\rho gQH_p}{\eta}

解題方法

由圖可讀出井水水面高於地面 2 m2\ \mathrm{m}，水塔水面離地 8 m8\ \mathrm{m}，故高程差為：

Hp=8−2=6 mH_p=8-2=6\ \mathrm{m}

將抽水速率換算為 SI 單位：

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第 三 題20 分

一工程師欲使用兩層不同絕緣物質去隔絕一蒸汽管（直徑 2.5 inch2.5\ \mathrm{inch}、長度 LL）。AA 絕緣物之熱傳導度為另一絕緣物 BB 的 44 倍，每一層絕緣物的厚度皆為 1 inch1\ \mathrm{inch}，其排列有下圖（1）與（2）兩種。

假若絕緣物質層之內外表溫度（T1T_1 和 T3T_3）固定，請分別計算出圖（1）與（2）的熱傳量（heat transfer rate）q1q_1 與 q2q_2，並計算：

q2−q1q2×100%\frac{q_2-q_1}{q_2}\times 100\%

（20 分）

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核心觀念

本題考的是圓筒壁的穩態徑向熱傳。圓筒絕緣層的熱傳阻力為

Rth=ln⁡(ro/ri)2πkL,R_{\mathrm{th}}=\frac{\ln(r_{\mathrm{o}}/r_{\mathrm{i}})}{2\pi kL},

因此熱傳率為各層熱阻串聯後的溫差除以總熱阻：

q=T1−T3∑Rth.q=\frac{T_1-T_3}{\sum R_{\mathrm{th}}}.

因為熱阻含有 ln⁡(ro/ri)\ln(r_{\mathrm{o}}/r_{\mathrm{i}})，兩種材料交換位置後，即使厚度相同，總熱阻也會不同。

解題方法

由蒸汽管直徑 2.5 inch2.5\ \mathrm{inch}，得管外半徑

r1=1.25 inch.r_1=1.25\ \mathrm{inch}.

兩層絕緣物各厚 1 inch1\ \mathrm{inch}，所以

r2=2.25 inch,r3=3.25 inch.r_2=2.25\ \mathrm{inch},\qquad r_3=3.25\ \mathrm{inch}.

令 kB=kk_B=k，則 kA=4kk_A=4k。設 ΔT=T1−T3\Delta T=T_1-T_3，並假設熱由內向外傳遞。

圖（1）由內至外為 BB、AA，故

R1=12πL[ln⁡(r2/r1)k+ln⁡(r3/r2)4k].R_1 =\frac{1}{2\pi L} \left[ \frac{\ln(r_2/r_1)}{k} +\frac{\ln(r_3/r_2)}{4k} \right].

代入半徑比：

q1=2πkLΔTln⁡(2.25/1.25)+14ln⁡(3.25/2.25)=2πkLΔTln⁡(9/5)+14ln⁡(13/9).q_1 =\frac{2\pi kL\Delta T} {\ln(2.25/1.25)+\frac14\ln(3.25/2.25)} =\frac{2\pi kL\Delta T} {\ln(9/5)+\frac14\ln(13/9)}.

圖（2）由內至外為 AA、BB，故

R2=12πL[ln⁡(r2/r1)4k+ln⁡(r3/r2)k],R_2 =\frac{1}{2\pi L} \left[ \frac{\ln(r_2/r_1)}{4k} +\frac{\ln(r_3/r_2)}{k} \right],
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第 四 題20 分

一開口水池的液體被泵至高度 12 ft12\ \mathrm{ft} 的地方（如下圖所示），液體流量為 60 gal/min60\ \mathrm{gal/min}（比重 =0.90=0.90，蒸氣壓 =4.1 lbf/in2=4.1\ \mathrm{lbf/in^2}）。在進口與出口之摩擦壓力損失分別為 0.8 lbf/in20.8\ \mathrm{lbf/in^2} 與 7.5 lbf/in27.5\ \mathrm{lbf/in^2}，在點②之液體為 45 lbf/in245\ \mathrm{lbf/in^2}（計示壓力，gauge pressure）。若泵之效率為 ηp=0.65\eta_p=0.65，請決定：

(一) 泵產生之壓力。（10 分）

(二) 驅動泵所需之馬力。（5 分）

(三) 靜壓力吸頭（NPSH）。（5 分）

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核心觀念

本題用機械能衡算求泵所需提供的能量，並用泵效率換算軸功率；靜壓力吸頭則由泵入口的絕對壓力扣除液體蒸氣壓計算。

取水池自由液面為點①、管線出口為點②。水池開口，因此點①表壓為零；圖示點②高於自由液面 12 ft12\ \mathrm{ft}，泵中心高於自由液面 4 ft4\ \mathrm{ft}。管徑依圖取 2 in2\ \mathrm{in}，並假設為計算用的實際內徑。

液體比重為 0.900.90，故比重力為

γ=0.90(62.4)=56.16 lbf/ft3\gamma=0.90(62.4)=56.16\ \mathrm{lbf/ft^3}

解題方法

先將流量換成體積流率，並計算管內流速：

Q=60galmin(1 ft37.481 gal)(1 min60 s)=0.13367 ft3/sQ=60\frac{\mathrm{gal}}{\mathrm{min}} \left(\frac{1\ \mathrm{ft^3}}{7.481\ \mathrm{gal}}\right) \left(\frac{1\ \mathrm{min}}{60\ \mathrm{s}}\right) =0.13367\ \mathrm{ft^3/s} D=2 in=212 ft,A=πD24=0.02182 ft2D=2\ \mathrm{in}=\frac{2}{12}\ \mathrm{ft},\qquad A=\frac{\pi D^2}{4}=0.02182\ \mathrm{ft^2} v2=QA=6.13 ft/s,v222g=0.583 ftv_2=\frac{Q}{A}=6.13\ \mathrm{ft/s},\qquad \frac{v_2^2}{2g}=0.583\ \mathrm{ft}

壓力換算成液柱高度時：

1 psi=14456.16=2.564 ft of liquid1\ \mathrm{psi}=\frac{144}{56.16}=2.564\ \mathrm{ft\ of\ liquid}

（一）泵產生之壓力

由點①至點②作機械能衡算。點①速度可忽略，泵須提供的揚程為出口壓力頭、出口速度頭、高程差及進出口摩擦損失頭的總和：

Hp=P2γ+v222g+(z2−z1)+hL,in+hL,outH_p= \frac{P_2}{\gamma} +\frac{v_2^2}{2g} +(z_2-z_1) +h_{L,\mathrm{in}}+h_{L,\mathrm{out}}

已知點②表壓 P2=45 psiP_2=45\ \mathrm{psi}，進出口壓力損失合計為 0.8+7.5=8.3 psi0.8+7.5=8.3\ \mathrm{psi}，所以

Hp=(45+8.3)(2.564)+0.583+12=149.25 ftH_p=(45+8.3)(2.564)+0.583+12 =149.25\ \mathrm{ft}
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第 五 題20 分

非洲豬瘟病毒是一種高度傳染性之惡性豬隻疫病。若非洲豬瘟肉品進入國內，沒吃完變成廚餘拿去養豬，就可能成為國內感染途徑。由於病毒只有透過高溫蒸煮約 90∘C90^\circ\mathrm{C} 以上、持續一小時，才能殺死病毒。

為了解烹調豬肉時其內部溫度隨時間變化情形，將此問題簡化為一熱傳問題：在非穩態下，將一個 0.5 kg0.5\ \mathrm{kg} 的正方體豬肉塊，溫度為 20∘C20^\circ\mathrm{C}，放置於四周都是 200∘C200^\circ\mathrm{C} 的熱油水中加熱。其熱傳係數為 15 W/m2⋅K15\ \mathrm{W/m^2\cdot K}，豬肉的密度 ρ=991 kg/m3\rho=991\ \mathrm{kg/m^3}，熱傳導係數 k=0.675 W/(m⋅K)k=0.675\ \mathrm{W/(m\cdot K)}，熱擴散係數 α=1.3×10−7 m2/s\alpha=1.3\times 10^{-7}\ \mathrm{m^2/s}。

若此豬肉塊的中心部位要達到 90∘C90^\circ\mathrm{C}，至少需要烹煮多久？請列出其中一維度的控制方程式（governing equation）、初始與邊界條件（initial and boundary conditions）。不需要解方程式，但利用下列附圖計算出答案。（20 分）

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核心觀念

這題考非穩態熱傳。豬肉塊表面與 200∘C200^\circ\mathrm{C} 熱油間有對流，肉塊內部則以熱傳導升溫。由於肉塊是正方體，可將中心溫度視為三個互相垂直平板方向的溫度因子相乘；再用附圖的平板暫態溫度圖讀取所需的無因次時間。

控制方程式、初始與邊界條件

令 x=0x=0 為肉塊中心、x=Lx=L 為表面，LL 為正方體邊長的一半。任一方向的一維控制方程式為

∂T∂t=α∂2T∂x2,0<x<L, t>0\frac{\partial T}{\partial t} =\alpha\frac{\partial^2T}{\partial x^2}, \qquad 0<x<L,\ t>0

初始條件：

T(x,0)=20∘CT(x,0)=20^\circ\mathrm{C}

中心對稱邊界條件：

∂T∂x∣x=0=0\left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{x=0}=0

表面對流邊界條件：

−k∂T∂x∣x=L=h[T(L,t)−200∘C]-k\left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{x=L} =h\left[T(L,t)-200^\circ\mathrm{C}\right]

解題方法與計算

先由質量與密度求肉塊體積及邊長：

V=mρ=0.5991=5.05×10−4 m3V=\frac{m}{\rho} =\frac{0.5}{991} =5.05\times10^{-4}\ \mathrm{m^3} a=V1/3≈0.0796 m,L=a2≈0.0398 ma=V^{1/3}\approx0.0796\ \mathrm{m}, \qquad L=\frac{a}{2}\approx0.0398\ \mathrm{m}

圖表所用的畢歐數為

Bi=hLk=15(0.0398)0.675≈0.885\mathrm{Bi}=\frac{hL}{k} =\frac{15(0.0398)}{0.675} \approx0.885

中心目標溫度的無因次溫度比為

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