109 高普考高考三級 食品衛生檢驗 生物統計學 考古題詳解

核心觀念

本題考查描述統計量、母平均數的信賴區間，以及單一母平均數的右尾檢定。

五筆數據為 $103.4、143.2、72.7、78.1、48.3$，單位均為百萬尾。計算「這五年資料本身」的變異數時，使用母體變異數公式，分母為 $n$；若將五年視為隨機樣本、用來推論多年期母平均數，則信賴區間與假設檢定使用樣本變異數，分母為 $n-1$。

解題方法

（一）平均值、中數、變異數、全距與變異係數

先計算總和與平均值：

將數據由小到大排列：

因此中數為 $78.1$，全距為：

計算離均差平方和：

以這五年資料本身為母體，變異數為：

其標準差為 $\sigma=\sqrt{1037.1784}\approx32.205$，故變異係數為：

若採生物統計推論常用的樣本標準差計算 CV，則：

（二）平均值的 $95\%$ 信賴區間

將五年數據視為來自一個母群體的隨機樣本。母體標準差未知且樣本數小，使用自由度 $n-1=4$ 的 $t$ 分配：

核心觀念

本題考驗兩個常態母群體平均數差異檢定。兩組樣本彼此獨立，且題目假設母群體變異數相同，因此使用合併變異數兩獨立樣本 $t$ 檢定（pooled two-sample $t$ test）。

令 $\mu_1$ 為無 LDLR 突變者的三酸甘油脂母群體平均數，$\mu_2$ 為有 LDLR 突變者的母群體平均數。題目問兩組平均值是否相同，故設定雙尾假設：

以顯著水準 $\alpha=0.05$ 檢定。題目未指定顯著水準，採常用的 $5\%$。

解題方法

已知無突變組 $n_1=20,\ \bar{x}_1=170.8,\ s_1=20.8$；有突變組 $n_2=10,\ \bar{x}_2=250.3,\ s_2=40.4$。

因為假設兩組母群體變異數相同，先計算合併變異數：

因此合併標準差為 $s_p\approx 28.62$。檢定統計量為：

核心觀念

這題考「列聯表的卡方獨立性檢定」。要檢驗年齡層與是否原有其他病因的死亡人數分布是否相關；在虛無假設下，各年齡層有、無其他病因的比例相同。

設：

• $H_0$：年齡層與是否原有其他病因相互獨立，各年齡層的比例相同。
• $H_1$：兩者不獨立，至少一個年齡層的比例不同。

解題方法

先計算列聯表的邊際合計，再以「列合計 × 欄合計 ÷ 總合計」求虛無假設下各格的期望人數：

列合計為：有其他病因 $4,220$ 人、無其他病因 $160$ 人；欄合計為：未滿 40 歲 $280$ 人、40 至 64 歲 $1,400$ 人、65 歲以上 $2,700$ 人；總人數為 $4,380$ 人。

（一）期望值

例如，有其他病因且未滿 40 歲的期望人數為：

其餘格依相同方式計算：

表中各格為虛無假設成立時的期望人數。

（二）比例是否相同

核心觀念

本題考簡單線性迴歸：以水深 $X$ 解釋海水魚類多樣性指數 $Y$。母體模型為

$Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+\varepsilon_i$

其中 $\beta_0$ 是截距，$\beta_1$ 是斜率。檢驗是否有線性關係，重點是檢定斜率是否為零；決定係數 $R^2$ 表示迴歸模型解釋了 $Y$ 變異的比例。

（一）線性迴歸模型

將表中的估計係數代入，估計迴歸式為

$\hat Y=0.0004-0.92X$

（二）係數意義與自由度

• $b_0=0.0004$：水深為 $0$ 公尺時，預測的多樣性指數為 $0.0004$。
• $b_1=-0.92$：水深每增加 $1$ 公尺，預測的多樣性指數平均減少 $0.92$。
• 表中 $a=1$：斜率 $b_1$ 是一個迴歸項，該項自由度為 $1$。進行斜率 $t$ 檢定時，另使用殘差自由度 $n-2=18-2=16$。

（三）檢定是否有顯著線性迴歸關係

檢定斜率：

$H_0:\beta_1=0,\qquad H_1:\beta_1\ne 0$

斜率的檢定統計量為

$t=\frac{b_1}{SE(b_1)}=\frac{-0.92}{0.54}=-1.704$