107 高普考高考三級 食品衛生檢驗 生物統計學 考古題詳解

核心觀念

本題為生物醫學與臨床試驗中最經典的敘述統計與成對推論統計題型，評量考生在小樣本實驗數據下的計算與統計推論能力：

1. 敘述統計量（Descriptive Statistics）：

• 平均數（Sample Mean, $\bar{X}$）：衡量資料中心位置，$\bar{X} = \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}$。
• 中位數／中數（Median, $Me$）：資料由小至大排序後位於正中間的數值（$n$ 為奇數時取第 $\frac{n+1}{2}$ 位）。
• 全距（Range, $R$）：衡量離散程度最簡易的指標，$R = X_{\max} - X_{\min}$。
• 樣本變異數（Sample Variance, $s^2$）：自由度為 $n-1$ 的離均差平方和均值，$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2}{n-1} = \frac{\sum X_i^2 - \frac{(\sum X_i)^2}{n}}{n-1}$。
• 變異係數（Coefficient of Variation, $CV$）：消除單位影響的相對離散指標，$CV = \frac{s}{\bar{X}} \times 100\%$。

2. 單一母體平均數的信賴區間（Confidence Interval for Single Mean）：

• 當母體變異數未知且樣本數為小樣本（$n < 30$），在常態假設下使用 $t$ 分布： $\bar{X} \pm t_{\alpha/2, \, df} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$ 其中自由度 $df = n - 1$。

3. 成對樣本 $t$ 檢定（Paired-Samples $t$-Test）：

• 同一群受試者在「服用前」與「服用 6 個月後」進行重複測量（Repeated Measures），兩組數據不獨立，屬於成對相依樣本。
• 定義差值 $D_i = X_{\text{前}, i} - X_{\text{後}, i}$，將問題轉化為單一變數 $D$ 的單一樣本 $t$ 檢定，檢驗平均差值 $\mu_D$ 是否顯著異於 0。

解題方法

（一）求服用前糖化血色素的各項敘述統計量

設服用前之 7 位患者數據為 $X$： $X = \{10.2, 11.1, 10.5, 13.0, 12.3, 10.4, 11.5\}, \quad n = 7$

1. 平均數（Mean, $\bar{X}$）： $\sum_{i=1}^7 X_i = 10.2 + 11.1 + 10.5 + 13.0 + 12.3 + 10.4 + 11.5 = 79.0$ $\bar{X} = \frac{79.0}{7} \approx 11.2857 \approx 11.29$

2. 中數（Median）： 將 7 筆數據由小到大排序： $10.2, \; 10.4, \; 10.5, \; \mathbf{11.1}, \; 11.5, \; 12.3, \; 13.0$ 中位數位置為 $\frac{7 + 1}{2} = 4$，即第 4 筆數值： $\text{Median} = 11.1$

3. 全距（Range, $R$）： $R = X_{\max} - X_{\min} = 13.0 - 10.2 = 2.8$

4. 變異數（Variance, $s^2$）： 先計算平方和 $\sum X_i^2$： $\sum X_i^2 = 10.2^2 + 11.1^2 + 10.5^2 + 13.0^2 + 12.3^2 + 10.4^2 + 11.5^2$ $= 104.04 + 123.21 + 110.25 + 169.00 + 151.29 + 108.16 + 132.25 = 898.20$ 離均差平方和（$SS$）： $SS = \sum X_i^2 - \frac{(\sum X_i)^2}{n} = 898.20 - \frac{79.0^2}{7} = 898.20 - \frac{6241}{7} = \frac{46.4}{7} \approx 6.6286$ 樣本變異數（除以 $n - 1 = 6$）： $s^2 = \frac{SS}{n - 1} = \frac{46.4 / 7}{6} = \frac{46.4}{42} = \frac{116}{105} \approx 1.1048 \approx 1.10$ (註：若依母體變異數公式計算，$\sigma^2 = \frac{SS}{n} = \frac{46.4}{49} \approx 0.9469$，但公職考題為取樣數據，應以樣本變異數 $s^2$ 為準)

5. 變異係數（CV）： 樣本標準差： $s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{116}{105}} \approx 1.0511$ 變異係數： $CV = \frac{s}{\bar{X}} \times 100\% = \frac{1.0511}{11.2857} \times 100\% \approx 9.313\% \approx 9.31\%$

（二）求服用前糖化血色素平均數的 95% 信賴區間

1. 公式與條件： 小樣本 $n = 7$，母體標準差未知，母體假設服從常態分布，使用學生氏 $t$ 分布。 自由度 $df = n - 1 = 7 - 1 = 6$。 在 95% 信賴水準下，雙尾臨界值 $t_{0.025}(6) = 2.447$。

2. 平均數的標準誤（Standard Error of Mean, $SE$）： $SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{1.0511}{\sqrt{7}} \approx \frac{1.0511}{2.6458} \approx 0.3973$

3. 誤差邊際（Margin of Error, $E$）： $E = t_{0.025}(6) \times \frac{s}{\sqrt{n}} = 2.447 \times 0.3973 \approx 0.9722$

4. 95% 信賴區間計算： $\bar{X} \pm E = 11.2857 \pm 0.9722$

• 下限：$11.2857 - 0.9722 = 10.3135 \approx 10.31$
• 上限：$11.2857 + 0.9722 = 12.2579 \approx 12.26$

核心觀念

本題評量多項式分配之皮爾森卡方適合度檢定（Pearson's Chi-square Goodness-of-Fit Test）。當母體事件分類為 $k$ 個互斥類別時，用以檢定各類別之觀察次數分布是否符合歷史或理論所設定之特定比例。

1. 虛無假說與對立假說：

• 設母體各類別之機率分別為 $p_1, p_2, \dots, p_k$。
• $H_0: p_1 = p_{10}, p_2 = p_{20}, \dots, p_k = p_{k0}$（母體比例符合特定分布）
• $H_1:$ 各類別機率至少有一項不符合 $H_0$ 之設定

2. 期望次數（Expected Frequency）： $E_i = n \times p_i$ 其中 $n$ 為總樣本數（$\sum O_i$），$p_i$ 為 $H_0$ 下設定之理論機率。
3. 卡方檢定統計量： $\chi^2 = \sum_{i=1}^k \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$ 其中 $O_i$ 為第 $i$ 類別之實際觀察次數，$E_i$ 為期望次數。
4. 自由度（Degrees of Freedom）： $df = k - 1$ 其中 $k$ 為類別數（本題事故類別數 $k = 4$）。
5. 適用條件（Cochran 準則）： 卡方大樣本近似要求所有理論期望次數 $E_i \ge 5$（或至少 80% 的單元格 $E_i \ge 5$ 且無 $E_i < 1$）。

解題方法

步驟一：建立統計假設

設 2017 年漁船發生「失火」、「擱淺」、「碰撞」、「翻覆」之母體機率分別為 $p_1, p_2, p_3, p_4$。 過去 20 年之比例為 $2 : 3.5 : 3 : 1.5$。 各比例加總為： $2 + 3.5 + 3 + 1.5 = 10$ 轉換為理論機率：

• 失火：$p_{10} = \frac{2}{10} = 0.20$
• 擱淺：$p_{20} = \frac{3.5}{10} = 0.35$
• 碰撞：$p_{30} = \frac{3}{10} = 0.30$
• 翻覆：$p_{40} = \frac{1.5}{10} = 0.15$

故建立假設如下：

• $H_0: p_1 = 0.20, p_2 = 0.35, p_3 = 0.30, p_4 = 0.15$（2017 年事故仍維持過去 20 年的比例）
• $H_1: p_1, p_2, p_3, p_4$ 至少有一個比例與 $H_0$ 不符（未維持過去 20 年的比例）

步驟二：計算總樣本數與各類別之期望次數

2017 年總觀察事故數： $n = 16 + 17 + 30 + 12 = 75$

計算各組期望次數 $E_i = n \times p_{i0}$：

• 失火：$E_1 = 75 \times 0.20 = 15$
• 擱淺：$E_2 = 75 \times 0.35 = 26.25$
• 碰撞：$E_3 = 75 \times 0.30 = 22.5$
• 翻覆：$E_4 = 75 \times 0.15 = 11.25$

檢視適用條件：所有 $E_i$ 均大於 5（最小為 $11.25$），且 $\sum E_i = 15 + 26.25 + 22.5 + 11.25 = 75 = n$，符合卡方分配之漸近條件。

步驟三：計算檢定統計量 $\chi^2$

逐項計算各單元格之卡方貢獻值 $\frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$：

核心觀念

本題評量簡單線性迴歸分析（Simple Linear Regression）​之基礎理論與實務運算，主要核心概念包括：

1. 變數定位與散布圖（Scatter Diagram）：

• 自變數（預測變數／獨立變數，$X$）：總膽固醇（TCHOL）。
• 應變數（反應變數／相依變數，$Y$）：腎絲球過濾率（eGFR）。
• 散布圖橫軸為 $X$、縱軸為 $Y$，呈現兩連續變數間之關聯方向與分散程度。

2. 最小平方法（Method of Least Squares）估計迴歸係數：

• 線性迴歸模型：$Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \epsilon_i$，其中 $\epsilon_i \overset{iid}{\sim} N(0, \sigma^2)$。
• 斜率估計值： $\hat{\beta}_1 = \frac{SS_{xy}}{SS_{xx}} = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (X_i - \bar{X})^2} = \frac{\sum X_i Y_i - \frac{(\sum X_i)(\sum Y_i)}{n}}{\sum X_i^2 - \frac{(\sum X_i)^2}{n}}$
• 截距估計值： $\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{X}$
• 斜率 $\hat{\beta}_1$ 之統計與公衛生理意義：當自變數 $X$ 每增加 1 單位時，應變數 $Y$ 的平均變動量（預期增減值）。

3. 迴歸係數顯著性檢定（Inference for Regression Coefficients）：

• 檢定假設：$H_0: \beta_1 = 0$（$X$ 與 $Y$ 無線性關係）對立於 $H_1: \beta_1 \neq 0$。
• 檢定統計量可採 $t$ 檢定（自由度 $df = n - 2$）或單因子變異數分析 $F$ 檢定（$df = 1, n - 2$）： $t = \frac{\hat{\beta}_1 - 0}{SE(\hat{\beta}_1)} = \frac{\hat{\beta}_1}{\sqrt{\frac{MSE}{SS_{xx}}}}$ 其中 $MSE = \frac{SSE}{n - 2} = \frac{SS_{yy} - \hat{\beta}_1 SS_{xy}}{n - 2}$。

解題方法

基礎數據彙整與基本統計量計算

樣本數 $n = 8$。 定義 $X$ 為總膽固醇（TCHOL，單位：$\text{mg/dL}$），$Y$ 為腎絲球過濾率（eGFR，單位：$\text{mL/min/1.73m}^2$）。

8 位受測者原始數據點 $(X_i, Y_i)$ 如下：

• 受測者 1：$(215, 71)$
• 受測者 2：$(148, 50)$
• 受測者 3：$(219, 111)$
• 受測者 4：$(126, 32)$
• 受測者 5：$(197, 116)$
• 受測者 6：$(256, 97)$
• 受測者 7：$(137, 84)$
• 受測者 8：$(178, 95)$

各項總和與平方和計算：

• $\sum X_i = 215 + 148 + 219 + 126 + 197 + 256 + 137 + 178 = 1476$
• $\bar{X} = \frac{1476}{8} = 184.5$
• $\sum Y_i = 71 + 50 + 111 + 32 + 116 + 97 + 84 + 95 = 656$
• $\bar{Y} = \frac{656}{8} = 82$
• $\sum X_i^2 = 215^2 + 148^2 + 219^2 + 126^2 + 197^2 + 256^2 + 137^2 + 178^2$ $= 46225 + 21904 + 47961 + 15876 + 38809 + 65536 + 18769 + 31684 = 286764$
• $\sum Y_i^2 = 71^2 + 50^2 + 111^2 + 32^2 + 116^2 + 97^2 + 84^2 + 95^2$ $= 5041 + 2500 + 12321 + 1024 + 13456 + 9409 + 7056 + 9025 = 59832$
• $\sum X_i Y_i = (215)(71) + (148)(50) + (219)(111) + (126)(32) + (197)(116) + (256)(97) + (137)(84) + (178)(95)$ $= 15265 + 7400 + 24309 + 4032 + 22852 + 24832 + 11508 + 16910 = 127108$

計算離均差平方和與交叉乘積和：

• $SS_{xx} = \sum X_i^2 - \frac{(\sum X_i)^2}{n} = 286764 - \frac{1476^2}{8} = 286764 - 272322 = 14442$
• $SS_{yy} = \sum Y_i^2 - \frac{(\sum Y_i)^2}{n} = 59832 - \frac{656^2}{8} = 59832 - 53792 = 6040$
• $SS_{xy} = \sum X_i Y_i - \frac{(\sum X_i)(\sum Y_i)}{n} = 127108 - \frac{1476 \times 656}{8} = 127108 - 121032 = 6076$

（一）作散布圖（Scatter Diagram）

1. 坐標軸設定：

• 橫軸（$X$ 軸）：自變數「總膽固醇（TCHOL）」，刻度範圍取 $100 \sim 280\text{ mg/dL}$。
• 縱軸（$Y$ 軸）：應變數「腎絲球過濾率（eGFR）」，刻度範圍取 $20 \sim 130\text{ mL/min/1.73m}^2$。

2. 描點（8 個樣本點）：

• 將 8 位受測者數據標註於二維平面上： $(126, 32),\ (137, 84),\ (148, 50),\ (178, 95),\ (197, 116),\ (215, 71),\ (219, 111),\ (256, 97)$

3. 圖形描繪呈現：

 eGFR (Y)
 ^
120 | •(197, 116)
110 | •(219, 111)
100 | •(256, 97)
 90 | •(178, 95)
 80 | •(137, 84)
 70 | •(215, 71)
 60 |
 50 | •(148, 50)
 40 |
 30 | •(126, 32)
 0 +-----+----+----+----+----+----+----+----+----+---> TCHOL (X)
 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280

4. 圖形特徵說明： 散布點整體大致呈現自左下方向右上方遞增之趨勢，顯示總膽固醇與腎絲球過濾率之間呈現正向線性關聯傾向。

（二）求由總膽固醇預測腎絲球過濾率的迴歸係數及說明意義

1. 計算迴歸係數：

• 斜率（Slope, $\hat{\beta}_1$）： $\hat{\beta}_1 = \frac{SS_{xy}}{SS_{xx}} = \frac{6076}{14442} = \frac{3038}{7221} \approx 0.4207\ (\text{取 } 0.421)$
• 截距（Intercept, $\hat{\beta}_0$）： $\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{X} = 82 - (0.420717 \times 184.5) = 82 - 77.6223 = 4.3777\ (\text{取 } 4.38)$
• 估計之迴歸方程式： $\hat{Y} = 4.38 + 0.421 X \quad (\text{即 } \widehat{\text{eGFR}} = 4.38 + 0.421 \times \text{TCHOL})$

2. 數值意義說明：

• 斜率 $\hat{\beta}_1 \approx 0.421$ 之意義：

核心觀念

本題屬於單因子變異數分析（One-way ANOVA）在完全隨機設計（Completely Randomized Design, CRD）下的典型應用，評量考生對變異分解、平方和計算與假設檢定之掌握程度。

1. 基本假設：

• 常態性（Normality）：各地區之飛魚體長族群服從常態分配，即 $Y_{ij} \sim N(\mu_i, \sigma^2)$。
• 獨立性（Independence）：各組內及組間之抽樣樣本相互獨立。
• 變異數同質性（Homogeneity of Variance）：各地區之體長變異數皆相等，即 $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = \sigma^2$。

2. 平方和分解公式： 總變異平方和（$SS_{\text{Total}}$）可完全分解為處理間平方和（本題為地區間平方和，$SS_{\text{Between}}$）與誤差平方和（本題為地區內平方和，$SS_{\text{Within}}$）： $SS_{\text{Total}} = SS_{\text{Between}} + SS_{\text{Within}}$

• 地區內平方和（$SS_{\text{Within}}$ 或 $SS_E$）：反映各組內部個體間因隨機誤差產生的離散程度。 $SS_{\text{Within}} = \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} (Y_{ij} - \bar{Y}_{i\cdot})^2 = \sum_{i=1}^{k} SS_i$
• 地區間平方和（$SS_{\text{Between}}$ 或 $SS_{Tr}$）：反映各地區樣本平均值受地域效應影響之離散程度。 $SS_{\text{Between}} = \sum_{i=1}^{k} n_i (\bar{Y}_{i\cdot} - \bar{Y}_{\cdot\cdot})^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{T_i^2}{n_i} - \frac{G^2}{N}$ 其中 $T_i$ 為第 $i$ 組總和、$n_i$ 為第 $i$ 組樣本數、$G = \sum T_i$ 為總樣本總和、$N = \sum n_i$ 為總樣本數。

3. $F$ 檢定統計量： $F = \frac{MS_{\text{Between}}}{MS_{\text{Within}}} = \frac{SS_{\text{Between}} / (k - 1)}{SS_{\text{Within}} / (N - k)}$ 在虛無假說成立下，該統計量服從分子自由度為 $k - 1$、分母自由度為 $N - k$ 之 $F$ 分配。

解題方法

（一）計算地區內與地區間之平方和

步驟一：整理各組基本統計量

• 第 1 組（蘭嶼）：$n_1 = 4$ $Y_{1j} = \{28, 27, 25, 28\}$ 總和 $T_1 = 28 + 27 + 25 + 28 = 108$ 平均 $\bar{Y}_{1\cdot} = \frac{108}{4} = 27$

• 第 2 組（花蓮）：$n_2 = 4$ $Y_{2j} = \{28, 27, 28, 29\}$ 總和 $T_2 = 28 + 27 + 28 + 29 = 112$ 平均 $\bar{Y}_{2\cdot} = \frac{112}{4} = 28$

• 第 3 組（宜蘭）：$n_3 = 3$ $Y_{3j} = \{30, 29, 31\}$ 總和 $T_3 = 30 + 29 + 31 = 90$ 平均 $\bar{Y}_{3\cdot} = \frac{90}{3} = 30$

• 全體總計： 處理數 $k = 3$ 總樣本數 $N = n_1 + n_2 + n_3 = 4 + 4 + 3 = 11$ 總和 $G = T_1 + T_2 + T_3 = 108 + 112 + 90 = 310$ 校正項（Correction Factor, $CF$）： $CF = \frac{G^2}{N} = \frac{310^2}{11} = \frac{96100}{11} \approx 8736.36$

步驟二：計算地區內平方和（$SS_{\text{Within}}$） 分別計算各組內部離均差平方和：

• 蘭嶼組： $SS_1 = (28-27)^2 + (27-27)^2 + (25-27)^2 + (28-27)^2 = 1^2 + 0^2 + (-2)^2 + 1^2 = 1 + 0 + 4 + 1 = 6$
• 花蓮組： $SS_2 = (28-28)^2 + (27-28)^2 + (28-28)^2 + (29-28)^2 = 0^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2 = 0 + 1 + 0 + 1 = 2$
• 宜蘭組： $SS_3 = (30-30)^2 + (29-30)^2 + (31-30)^2 = 0^2 + (-1)^2 + 1^2 = 0 + 1 + 1 = 2$

將各組內平方和加總： $SS_{\text{Within}} = SS_1 + SS_2 + SS_3 = 6 + 2 + 2 = 10$

步驟三：計算地區間平方和（$SS_{\text{Between}}$） 利用組總和公式計算： $\sum_{i=1}^{3} \frac{T_i^2}{n_i} = \frac{108^2}{4} + \frac{112^2}{4} + \frac{90^2}{3} = \frac{11664}{4} + \frac{12544}{4} + \frac{8100}{3} = 2916 + 3136 + 2700 = 8752$