107 高普考高考三級 漁業技術 生物統計學 考古題詳解

核心觀念

本題為生物統計學在醫學與公衛研究中最經典的前後測（Before-After study）資料分析，涵蓋三大核心觀念：

1. 基本敘述統計量（Descriptive Statistics）：

• 平均數（Sample Mean, $\bar{X}$）：資料之集中趨勢指標，$\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$。
• 中數（Median, $Me$）：排序後居於正中央之數值，具抗耐性（Robustness），不受離群值影響。
• 樣本變異數（Sample Variance, $s^2$）：衡量資料離散程度之不偏估計量，公式為 $s^2 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})^2}{n-1} = \frac{\sum X_i^2 - \frac{(\sum X_i)^2}{n}}{n-1}$。
• 全距（Range, $R$）：極值差異，$R = X_{\max} - X_{\min}$。
• 變異係數（Coefficient of Variation, $CV$）：標準差相對於平均數之比率，消除單位影響之相對離散指標，$CV = \frac{s}{\bar{X}} \times 100\%$。

2. 單一母體平均數之信賴區間（Confidence Interval for Single Mean）：

• 樣本數小（$n < 30$）且母體變異數未知，在常態母體假設下，母體平均數 $\mu$ 之 $100(1-\alpha)\%$ 信賴區間為： $\bar{X} \pm t_{\alpha/2, \, n-1} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$

3. 成對樣本 $t$ 檢定（Paired-Samples $t$-test）：

• 同一組受試者接受處理前後之重複測量資料屬於相依樣本（Dependent Samples）。不可使用獨立雙樣本 $t$ 檢定，而應先求各受試者之前後差異值 $D_i = X_i - Y_i$，轉化為對差值平均數 $\mu_D$ 之單一樣本 $t$ 檢定。

解題方法

（一）求服用前糖化血色素的各項敘述統計量

將服用前 7 筆數據依序排列（由小至大）： $10.2, \, 10.4, \, 10.5, \, 11.1, \, 11.5, \, 12.3, \, 13.0$ 樣本數 $n = 7$。

1. 平均數（Mean, $\bar{X}$）： $\sum_{i=1}^7 X_i = 10.2 + 11.1 + 10.5 + 13.0 + 12.3 + 10.4 + 11.5 = 79.0$ $\bar{X} = \frac{79.0}{7} \approx 11.2857 \approx 11.29 \text{ (\% 或 單位)}$

2. 中數（Median, $Me$）： 樣本數 $n = 7$ 為奇數，中數為第 $\frac{7+1}{2} = 4$ 個數值： $Me = X_{(4)} = 11.1$

3. 全距（Range, $R$）： $R = X_{\max} - X_{\min} = 13.0 - 10.2 = 2.8$

4. 變異數（Variance, $s^2$）： 先計算平方和： $\sum_{i=1}^7 X_i^2 = 10.2^2 + 11.1^2 + 10.5^2 + 13.0^2 + 12.3^2 + 10.4^2 + 11.5^2$ $= 104.04 + 123.21 + 110.25 + 169.00 + 151.29 + 108.16 + 132.25 = 898.20$ 離差平方和（Sum of Squares, $SS$）： $SS = \sum X_i^2 - \frac{(\sum X_i)^2}{n} = 898.20 - \frac{79.0^2}{7} = 898.20 - \frac{6241}{7} = 898.20 - 891.5714 = 6.6286$ 抽樣資料應採不偏樣本變異數（自由度 $n - 1 = 6$）： $s^2 = \frac{SS}{n-1} = \frac{6.6286}{6} = \frac{46.4}{42} \approx 1.1048 \approx 1.10$ (註：若依母體變異數公式計算，則 $\sigma^2 = \frac{SS}{n} = \frac{6.6286}{7} \approx 0.9469$)

5. 變異係數（Coefficient of Variation, $CV$）： 樣本標準差 $s = \sqrt{s^2} = \sqrt{1.1048} \approx 1.0511$ $CV = \frac{s}{\bar{X}} \times 100\% = \frac{1.0511}{11.2857} \times 100\% \approx 9.31\%$

（二）求服用前糖化血色素平均數的 95% 信賴區間

1. 基本假設：假定糖化血色素之母體服從常態分配。
2. 統計參數：

• 樣本數 $n = 7$，自由度 $\text{df} = n - 1 = 6$
• 顯著水準 $\alpha = 0.05$，查 $t$ 分配表得臨界值： $t_{0.025, \, 6} = 2.447$
• 樣本平均數之標準誤（Standard Error, $SE$）： $SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{1.0511}{\sqrt{7}} \approx \frac{1.0511}{2.6458} \approx 0.3973$

3. 信賴區間計算： $\text{誤差邊際（Margin of Error, } ME) = t_{0.025, \, 6} \times SE = 2.447 \times 0.3973 \approx 0.9722$

核心觀念

本題評量多項式分配之皮爾森卡方適合度檢定（Pearson's Chi-square Goodness-of-Fit Test）。當母體事件分類為 $k$ 個互斥類別時，用以檢定各類別之觀察次數分布是否符合歷史或理論所設定之特定比例。

1. 虛無假說與對立假說：

• 設母體各類別之機率分別為 $p_1, p_2, \dots, p_k$。
• $H_0: p_1 = p_{10}, p_2 = p_{20}, \dots, p_k = p_{k0}$（母體比例符合特定分布）
• $H_1:$ 各類別機率至少有一項不符合 $H_0$ 之設定

2. 期望次數（Expected Frequency）： $E_i = n \times p_i$ 其中 $n$ 為總樣本數（$\sum O_i$），$p_i$ 為 $H_0$ 下設定之理論機率。
3. 卡方檢定統計量： $\chi^2 = \sum_{i=1}^k \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$ 其中 $O_i$ 為第 $i$ 類別之實際觀察次數，$E_i$ 為期望次數。
4. 自由度（Degrees of Freedom）： $df = k - 1$ 其中 $k$ 為類別數（本題事故類別數 $k = 4$）。
5. 適用條件（Cochran 準則）： 卡方大樣本近似要求所有理論期望次數 $E_i \ge 5$（或至少 80% 的單元格 $E_i \ge 5$ 且無 $E_i < 1$）。

解題方法

步驟一：建立統計假設

設 2017 年漁船發生「失火」、「擱淺」、「碰撞」、「翻覆」之母體機率分別為 $p_1, p_2, p_3, p_4$。 過去 20 年之比例為 $2 : 3.5 : 3 : 1.5$。 各比例加總為： $2 + 3.5 + 3 + 1.5 = 10$ 轉換為理論機率：

• 失火：$p_{10} = \frac{2}{10} = 0.20$
• 擱淺：$p_{20} = \frac{3.5}{10} = 0.35$
• 碰撞：$p_{30} = \frac{3}{10} = 0.30$
• 翻覆：$p_{40} = \frac{1.5}{10} = 0.15$

故建立假設如下：

• $H_0: p_1 = 0.20, p_2 = 0.35, p_3 = 0.30, p_4 = 0.15$（2017 年事故仍維持過去 20 年的比例）
• $H_1: p_1, p_2, p_3, p_4$ 至少有一個比例與 $H_0$ 不符（未維持過去 20 年的比例）

步驟二：計算總樣本數與各類別之期望次數

2017 年總觀察事故數： $n = 16 + 17 + 30 + 12 = 75$

計算各組期望次數 $E_i = n \times p_{i0}$：

• 失火：$E_1 = 75 \times 0.20 = 15$
• 擱淺：$E_2 = 75 \times 0.35 = 26.25$
• 碰撞：$E_3 = 75 \times 0.30 = 22.5$
• 翻覆：$E_4 = 75 \times 0.15 = 11.25$

檢視適用條件：所有 $E_i$ 均大於 5（最小為 $11.25$），且 $\sum E_i = 15 + 26.25 + 22.5 + 11.25 = 75 = n$，符合卡方分配之漸近條件。

步驟三：計算檢定統計量 $\chi^2$

逐項計算各單元格之卡方貢獻值 $\frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$：

核心觀念

本題屬於簡單線性迴歸分析（Simple Linear Regression）​與假說檢定（Hypothesis Testing）​範疇，為高普考生物統計學的經典題型。評量重點包括：

1. 變數角色辨識：題目指明「由總膽固醇（TCHOL）來預測腎絲球過濾率（eGFR）」，因此自變數（獨立變數／預測變數）為 $X = \text{TCHOL}$，應變數（依變數／反應變數）為 $Y = \text{eGFR}$。
2. 散布圖繪製原則：自變數置於橫軸（$X$ 軸），應變數置於縱軸（$Y$ 軸），座標軸需標明變數名稱與適當刻度範圍，並準確標示樣本點 $(X_i, Y_i)$。
3. 最小平方法（Method of Least Squares）估計迴歸係數：

• 離差平方和與交叉乘積和： $SS_{xx} = \sum X^2 - \frac{(\sum X)^2}{n}$ $SS_{yy} = \sum Y^2 - \frac{(\sum Y)^2}{n}$ $SS_{xy} = \sum XY - \frac{(\sum X)(\sum Y)}{n}$
• 迴歸斜率係數 $\hat{\beta}_1 = \frac{SS_{xy}}{SS_{xx}}$，截距係數 $\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1\bar{X}$。

4. 迴歸係數的統計意義：斜率代表 $X$ 每變動 1 單位時，$Y$ 平均變動的預期量；截距代表 $X=0$ 時 $Y$ 的預期值。
5. 斜率檢定（$t$ 檢定或變異數分析 $F$ 檢定）：

• 檢定假說：$H_0: \beta_1 = 0$ 對抗 $H_1: \beta_1 \neq 0$。
• 檢定統計量：$t = \frac{\hat{\beta}_1 - 0}{SE(\hat{\beta}_1)}$，在 $H_0$ 成立下服從自由度 $df = n - 2$ 的 $t$ 分配。

解題方法

基礎統計量彙集計算

樣本數 $n = 8$。各受測者數據配對 $(X_i, Y_i)$ 為： $(215, 71),\ (148, 50),\ (219, 111),\ (126, 32),\ (197, 116),\ (256, 97),\ (137, 84),\ (178, 95)$

1. 一次和與樣本平均數： $\sum X = 215 + 148 + 219 + 126 + 197 + 256 + 137 + 178 = 1476$ $\bar{X} = \frac{1476}{8} = 184.5$ $\sum Y = 71 + 50 + 111 + 32 + 116 + 97 + 84 + 95 = 656$ $\bar{Y} = \frac{656}{8} = 82$

2. 平方和與交叉乘積和： $\sum X^2 = 215^2 + 148^2 + 219^2 + 126^2 + 197^2 + 256^2 + 137^2 + 178^2 = 286764$ $\sum Y^2 = 71^2 + 50^2 + 111^2 + 32^2 + 116^2 + 97^2 + 84^2 + 95^2 = 59832$ $\sum XY = 215(71) + 148(50) + 219(111) + 126(32) + 197(116) + 256(97) + 137(84) + 178(95) = 127108$

3. 離差平方和與交叉乘積和： $SS_{xx} = \sum X^2 - \frac{(\sum X)^2}{n} = 286764 - \frac{1476^2}{8} = 286764 - 272322 = 14442$ $SS_{yy} = \sum Y^2 - \frac{(\sum Y)^2}{n} = 59832 - \frac{656^2}{8} = 59832 - 53792 = 6040$ $SS_{xy} = \sum XY - \frac{(\sum X)(\sum Y)}{n} = 127108 - \frac{1476 \times 656}{8} = 127108 - 121032 = 6076$

（一）繪製散布圖（Scatter Diagram）

作圖規範與要素：

1. 橫軸（$X$ 軸）：自變數總膽固醇（TCHOL，單位：$\text{mg/dL}$），數值範圍介於 $126 \sim 256$，軸刻度取 $100 \sim 280$。
2. 縱軸（$Y$ 軸）：應變數腎絲球過濾率（eGFR，單位：$\text{mL/min/1.73m}^2$），數值範圍介於 $32 \sim 116$，軸刻度取 $20 \sim 130$。
3. 點座標標繪（共 8 點）：

• 點 1: $(215, 71)$
• 點 2: $(148, 50)$
• 點 3: $(219, 111)$
• 點 4: $(126, 32)$
• 點 5: $(197, 116)$
• 點 6: $(256, 97)$
• 點 7: $(137, 84)$
• 點 8: $(178, 95)$

散布圖示意與趨勢：

 eGFR (Y)
 ^
130 | 
120 | (197, 116)
110 | (219, 111)
100 | (256, 97)
 90 | (178, 95)
 80 | (137, 84)
 70 | (215, 71)
 60 |
 50 | (148, 50)
 40 |
 30 | (126, 32)
 20 +----------------------------------------------------> TCHOL (X)
 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280

趨勢說明：由散布圖可知，各點大致呈現由左下往右上延伸的分佈形態，顯示總膽固醇與腎絲球過濾率之間呈現中度的正向線性關係。

（二）求迴歸係數並說明其數值意義

1. 計算迴歸斜率係數（$\hat{\beta}_1$）： $\hat{\beta}_1 = \frac{SS_{xy}}{SS_{xx}} = \frac{6076}{14442} = \frac{3038}{7221} \approx 0.4207$

2. 計算迴歸截距係數（$\hat{\beta}_0$）： $\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1\bar{X} = 82 - 0.420717 \times 184.5 = 82 - 77.6223 \approx 4.3777$

3. 估計之迴歸直線方程式： $\hat{Y} = 4.378 + 0.421 X \quad (\text{即 } \widehat{\text{eGFR}} = 4.378 + 0.421 \times \text{TCHOL})$

4. 數值意義說明：

• 斜率係數 $\hat{\beta}_1 \approx 0.421$ 的意義：在樣本所觀測的範圍內，受測者的總膽固醇（TCHOL）每增加 $1\text{ mg/dL}$，其腎絲球過濾率（eGFR）平均預期增加約 $0.421\text{ mL/min/1.73m}^2$。數值為正值，代表兩者呈現同向變動的正相關走勢。
• 截距係數 $\hat{\beta}_0 \approx 4.378$ 的意義：數學上代表當受測者總膽固醇為 $0\text{ mg/dL}$ 時，預測的基準 eGFR 為 $4.378\text{ mL/min/1.73m}^2$。

核心觀念

本題屬於單因子變異數分析（One-way ANOVA）在完全隨機設計（Completely Randomized Design, CRD）下的典型應用，評量考生對變異分解、平方和計算與假設檢定之掌握程度。

1. 基本假設：

• 常態性（Normality）：各地區之飛魚體長族群服從常態分配，即 $Y_{ij} \sim N(\mu_i, \sigma^2)$。
• 獨立性（Independence）：各組內及組間之抽樣樣本相互獨立。
• 變異數同質性（Homogeneity of Variance）：各地區之體長變異數皆相等，即 $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = \sigma^2$。

2. 平方和分解公式： 總變異平方和（$SS_{\text{Total}}$）可完全分解為處理間平方和（本題為地區間平方和，$SS_{\text{Between}}$）與誤差平方和（本題為地區內平方和，$SS_{\text{Within}}$）： $SS_{\text{Total}} = SS_{\text{Between}} + SS_{\text{Within}}$

• 地區內平方和（$SS_{\text{Within}}$ 或 $SS_E$）：反映各組內部個體間因隨機誤差產生的離散程度。 $SS_{\text{Within}} = \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} (Y_{ij} - \bar{Y}_{i\cdot})^2 = \sum_{i=1}^{k} SS_i$
• 地區間平方和（$SS_{\text{Between}}$ 或 $SS_{Tr}$）：反映各地區樣本平均值受地域效應影響之離散程度。 $SS_{\text{Between}} = \sum_{i=1}^{k} n_i (\bar{Y}_{i\cdot} - \bar{Y}_{\cdot\cdot})^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{T_i^2}{n_i} - \frac{G^2}{N}$ 其中 $T_i$ 為第 $i$ 組總和、$n_i$ 為第 $i$ 組樣本數、$G = \sum T_i$ 為總樣本總和、$N = \sum n_i$ 為總樣本數。

3. $F$ 檢定統計量： $F = \frac{MS_{\text{Between}}}{MS_{\text{Within}}} = \frac{SS_{\text{Between}} / (k - 1)}{SS_{\text{Within}} / (N - k)}$ 在虛無假說成立下，該統計量服從分子自由度為 $k - 1$、分母自由度為 $N - k$ 之 $F$ 分配。

解題方法

（一）計算地區內與地區間之平方和

步驟一：整理各組基本統計量

• 第 1 組（蘭嶼）：$n_1 = 4$ $Y_{1j} = \{28, 27, 25, 28\}$ 總和 $T_1 = 28 + 27 + 25 + 28 = 108$ 平均 $\bar{Y}_{1\cdot} = \frac{108}{4} = 27$

• 第 2 組（花蓮）：$n_2 = 4$ $Y_{2j} = \{28, 27, 28, 29\}$ 總和 $T_2 = 28 + 27 + 28 + 29 = 112$ 平均 $\bar{Y}_{2\cdot} = \frac{112}{4} = 28$

• 第 3 組（宜蘭）：$n_3 = 3$ $Y_{3j} = \{30, 29, 31\}$ 總和 $T_3 = 30 + 29 + 31 = 90$ 平均 $\bar{Y}_{3\cdot} = \frac{90}{3} = 30$

• 全體總計： 處理數 $k = 3$ 總樣本數 $N = n_1 + n_2 + n_3 = 4 + 4 + 3 = 11$ 總和 $G = T_1 + T_2 + T_3 = 108 + 112 + 90 = 310$ 校正項（Correction Factor, $CF$）： $CF = \frac{G^2}{N} = \frac{310^2}{11} = \frac{96100}{11} \approx 8736.36$

步驟二：計算地區內平方和（$SS_{\text{Within}}$） 分別計算各組內部離均差平方和：

• 蘭嶼組： $SS_1 = (28-27)^2 + (27-27)^2 + (25-27)^2 + (28-27)^2 = 1^2 + 0^2 + (-2)^2 + 1^2 = 1 + 0 + 4 + 1 = 6$
• 花蓮組： $SS_2 = (28-28)^2 + (27-28)^2 + (28-28)^2 + (29-28)^2 = 0^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2 = 0 + 1 + 0 + 1 = 2$
• 宜蘭組： $SS_3 = (30-30)^2 + (29-30)^2 + (31-30)^2 = 0^2 + (-1)^2 + 1^2 = 0 + 1 + 1 = 2$

將各組內平方和加總： $SS_{\text{Within}} = SS_1 + SS_2 + SS_3 = 6 + 2 + 2 = 10$

步驟三：計算地區間平方和（$SS_{\text{Between}}$） 利用組總和公式計算： $\sum_{i=1}^{3} \frac{T_i^2}{n_i} = \frac{108^2}{4} + \frac{112^2}{4} + \frac{90^2}{3} = \frac{11664}{4} + \frac{12544}{4} + \frac{8100}{3} = 2916 + 3136 + 2700 = 8752$