107 高普考高考三級 養殖技術 生物統計學 考古題詳解

核心觀念

本題為生物統計學在臨床與試驗設計中的經典題型，核心評量重點包括：

1. 敘述統計量（Descriptive Statistics）：集中趨勢（平均數 $\bar{X}$、中位數 Median）與離散趨勢（全距 Range、樣本變異數 $s^2$、變異係數 $CV$）之定義與計算。
2. 單一母體平均數之信賴區間（Confidence Interval, CI）：小樣本（$n < 30$）且母體標準差 $\sigma$ 未知時，需使用自由度 $df = n - 1$ 之 Student's $t$ 分布建構信賴區間。
3. 成對樣本 $t$ 檢定（Paired Samples $t$-test）：針對「同一受試群體在不同時間點（服用前與服用後 6 個月）」所測得的相依樣本，必須進行配對差值檢定，消除個體間變異，檢驗平均差值是否顯著異於 0。

解題方法

（一）求服用前糖化血色素的各項敘述統計量

將服用前的 7 筆數據由小到大排列： $10.2,\ 10.4,\ 10.5,\ 11.1,\ 11.5,\ 12.3,\ 13.0$ 樣本數 $n = 7$。

1. 平均數（Mean, $\bar{X}$）： $\sum_{i=1}^{7} X_i = 10.2 + 11.1 + 10.5 + 13.0 + 12.3 + 10.4 + 11.5 = 79.0$ $\bar{X} = \frac{\sum X_i}{n} = \frac{79.0}{7} \approx 11.29\ (\text{或約 } 11.286)$

2. 中位數（Median, $Me$）： 資料共有 $n = 7$ 個數值，中位數落於第 $\frac{n+1}{2} = 4$ 個位置： $Me = 11.1$

3. 全距（Range, $R$）： $R = X_{\max} - X_{\min} = 13.0 - 10.2 = 2.8$

4. 變異數（Variance, $s^2$）： 計算離均差平方和（Sum of Squares, $SS$）： $\sum X_i^2 = 10.2^2 + 11.1^2 + 10.5^2 + 13.0^2 + 12.3^2 + 10.4^2 + 11.5^2 = 898.20$ $SS = \sum X_i^2 - \frac{(\sum X_i)^2}{n} = 898.20 - \frac{79.0^2}{7} = 898.20 - \frac{6241}{7} = \frac{46.4}{7} \approx 6.6286$ 以樣本變異數（無偏估計量）計算： $s^2 = \frac{SS}{n - 1} = \frac{46.4 / 7}{6} = \frac{46.4}{42} = \frac{116}{105} \approx 1.105\ (\text{取小數兩位為 } 1.10)$ 註：若依母體變異數公式計算，則為 $\sigma^2 = \frac{SS}{n} = \frac{46.4}{49} \approx 0.947$。公職考試未特別指明時，取樣數據皆以樣本變異數 $s^2$ 為評分標準。

5. 變異係數（Coefficient of Variation, $CV$）： 樣本標準差： $s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{116}{105}} \approx 1.051$ 變異係數： $CV = \frac{s}{\bar{X}} \times 100\% = \frac{1.051}{11.286} \times 100\% \approx 9.31\%$

（二）求服用前糖化血色素平均數的 95% 信賴區間

由於樣本數 $n = 7 < 30$，且母體變異數未知，採用自由度 $df = n - 1 = 6$ 的 $t$ 分布。 查 $t$ 分布表，$t_{0.025}(6) = 2.447$。

1. 平均數的標準誤（Standard Error, $SE$）： $SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{1.051}{\sqrt{7}} \approx \frac{1.051}{2.646} \approx 0.397$

2. 95% 信賴區間公式與計算： $\bar{X} \pm t_{\alpha/2, df} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$ $11.286 \pm 2.447 \times 0.397$ $11.286 \pm 0.972$

• 下界：$11.286 - 0.972 = 10.314$
• 上界：$11.286 + 0.972 = 12.258$

故 95% 信賴區間為 $[10.31, 12.26]$（或表示為 $11.29 \pm 0.97$）。

核心觀念

本題評量多項式分配之皮爾森卡方適合度檢定（Pearson's Chi-square Goodness-of-Fit Test）。當母體事件分類為 $k$ 個互斥類別時，用以檢定各類別之觀察次數分布是否符合歷史或理論所設定之特定比例。

1. 虛無假說與對立假說：

• 設母體各類別之機率分別為 $p_1, p_2, \dots, p_k$。
• $H_0: p_1 = p_{10}, p_2 = p_{20}, \dots, p_k = p_{k0}$（母體比例符合特定分布）
• $H_1:$ 各類別機率至少有一項不符合 $H_0$ 之設定

2. 期望次數（Expected Frequency）： $E_i = n \times p_i$ 其中 $n$ 為總樣本數（$\sum O_i$），$p_i$ 為 $H_0$ 下設定之理論機率。
3. 卡方檢定統計量： $\chi^2 = \sum_{i=1}^k \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$ 其中 $O_i$ 為第 $i$ 類別之實際觀察次數，$E_i$ 為期望次數。
4. 自由度（Degrees of Freedom）： $df = k - 1$ 其中 $k$ 為類別數（本題事故類別數 $k = 4$）。
5. 適用條件（Cochran 準則）： 卡方大樣本近似要求所有理論期望次數 $E_i \ge 5$（或至少 80% 的單元格 $E_i \ge 5$ 且無 $E_i < 1$）。

解題方法

步驟一：建立統計假設

設 2017 年漁船發生「失火」、「擱淺」、「碰撞」、「翻覆」之母體機率分別為 $p_1, p_2, p_3, p_4$。 過去 20 年之比例為 $2 : 3.5 : 3 : 1.5$。 各比例加總為： $2 + 3.5 + 3 + 1.5 = 10$ 轉換為理論機率：

• 失火：$p_{10} = \frac{2}{10} = 0.20$
• 擱淺：$p_{20} = \frac{3.5}{10} = 0.35$
• 碰撞：$p_{30} = \frac{3}{10} = 0.30$
• 翻覆：$p_{40} = \frac{1.5}{10} = 0.15$

故建立假設如下：

• $H_0: p_1 = 0.20, p_2 = 0.35, p_3 = 0.30, p_4 = 0.15$（2017 年事故仍維持過去 20 年的比例）
• $H_1: p_1, p_2, p_3, p_4$ 至少有一個比例與 $H_0$ 不符（未維持過去 20 年的比例）

步驟二：計算總樣本數與各類別之期望次數

2017 年總觀察事故數： $n = 16 + 17 + 30 + 12 = 75$

計算各組期望次數 $E_i = n \times p_{i0}$：

• 失火：$E_1 = 75 \times 0.20 = 15$
• 擱淺：$E_2 = 75 \times 0.35 = 26.25$
• 碰撞：$E_3 = 75 \times 0.30 = 22.5$
• 翻覆：$E_4 = 75 \times 0.15 = 11.25$

檢視適用條件：所有 $E_i$ 均大於 5（最小為 $11.25$），且 $\sum E_i = 15 + 26.25 + 22.5 + 11.25 = 75 = n$，符合卡方分配之漸近條件。

步驟三：計算檢定統計量 $\chi^2$

逐項計算各單元格之卡方貢獻值 $\frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$：

核心觀念

1. 變數角色判定：在簡單線性迴歸模型中，由「自變數（預測變數，Independent variable, $X$）」來預測「應變數（反應變數，Dependent variable, $Y$）」。題目設定「由總膽固醇來預測腎絲球過濾率」，因此：

• 自變數 $X$：總膽固醇（TCHOL，單位：$\text{mg/dL}$）
• 應變數 $Y$：腎絲球過濾率（eGFR，單位：$\text{mL/min/1.73m}^2$）

2. 最小平方法（Method of Least Squares）估計迴歸參數：

• 迴歸模型：$Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \varepsilon_i$，其中 $\varepsilon_i \overset{iid}{\sim} N(0, \sigma^2)$。
• 斜率估計值（迴歸係數）： $\hat{\beta}_1 = \frac{SS_{xy}}{SS_{xx}} = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (X_i - \bar{X})^2} = \frac{\sum X_i Y_i - \frac{(\sum X_i)(\sum Y_i)}{n}}{\sum X_i^2 - \frac{(\sum X_i)^2}{n}}$
• 截距估計值： $\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{X}$

3. 迴歸係數之意義：斜率 $\hat{\beta}_1$ 表示自變數 $X$ 每變動 1 個單位時，應變數 $Y$ 之平均變動量。
4. 迴歸係數之假設檢定：

• 檢驗虛無假設 $H_0: \beta_1 = 0$ 與對立假設 $H_1: \beta_1 \neq 0$。
• 檢定統計量可使用 $t$ 檢定： $t = \frac{\hat{\beta}_1 - 0}{SE(\hat{\beta}_1)} = \frac{\hat{\beta}_1}{\sqrt{\frac{MS_E}{SS_{xx}}}}$ 在 $H_0$ 成立下服從自由度 $df = n - 2$ 的 $t$ 分配。
• 亦可使用單因子變異數分析之 $F$ 檢定（$F = \frac{MS_{reg}}{MS_E} = t^2$，服從 $F(1, n-2)$ 分配）。

解題方法

基本數據摘要彙整

樣本數 $n = 8$。 8 組資料對應為 $(X_i, Y_i)$： $(215, 71),\ (148, 50),\ (219, 111),\ (126, 32),\ (197, 116),\ (256, 97),\ (137, 84),\ (178, 95)$

1. 變數總和與平均值： $\sum X = 215 + 148 + 219 + 126 + 197 + 256 + 137 + 178 = 1476$ $\bar{X} = \frac{1476}{8} = 184.5$ $\sum Y = 71 + 50 + 111 + 32 + 116 + 97 + 84 + 95 = 656$ $\bar{Y} = \frac{656}{8} = 82$

2. 平方和與交叉乘積和： $\sum X^2 = 215^2 + 148^2 + 219^2 + 126^2 + 197^2 + 256^2 + 137^2 + 178^2 = 286764$ $\sum Y^2 = 71^2 + 50^2 + 111^2 + 32^2 + 116^2 + 97^2 + 84^2 + 95^2 = 59832$ $\sum XY = 215(71) + 148(50) + 219(111) + 126(32) + 197(116) + 256(97) + 137(84) + 178(95) = 127108$

3. 計算離均差平方和： $SS_{xx} = \sum X^2 - \frac{(\sum X)^2}{n} = 286764 - \frac{1476^2}{8} = 286764 - 272322 = 14442$ $SS_{yy} = \sum Y^2 - \frac{(\sum Y)^2}{n} = 59832 - \frac{656^2}{8} = 59832 - 53792 = 6040$ $SS_{xy} = \sum XY - \frac{(\sum X)(\sum Y)}{n} = 127108 - \frac{1476 \times 656}{8} = 127108 - 121032 = 6076$

（一）散布圖（Scatter Diagram）繪製

在作圖時，必須明確標示坐標軸名稱、單位、合理尺度與各觀測點：

• 橫軸（$X$ 軸）：自變數總膽固醇 $\text{TCHOL}$，尺度範圍建議取 $100 \sim 280$。
• 縱軸（$Y$ 軸）：應變數腎絲球過濾率 $\text{eGFR}$，尺度範圍建議取 $20 \sim 130$。
• 8 個數據點坐標：
• 受測者 1：$(215, 71)$
• 受測者 2：$(148, 50)$
• 受測者 3：$(219, 111)$
• 受測者 4：$(126, 32)$
• 受測者 5：$(197, 116)$
• 受測者 6：$(256, 97)$
• 受測者 7：$(137, 84)$
• 受測者 8：$(178, 95)$

散布圖示意圖形：

 eGFR (Y)
 ^
120 | •(197, 116)
 | •(219, 111)
100 | •(256, 97)
 | •(178, 95)
 80 | •(137, 84)
 | •(215, 71)
 60 |
 | •(148, 50)
 40 |
 | •(126, 32)
 20 |
 0 +-----+-------+-------+-------+-------+-------+---> TCHOL (X)
 100 125 150 175 200 225 250

由散布圖可觀察到點群大致呈現由左下往右上分布的趨勢，顯示總膽固醇與腎絲球過濾率之間呈現正向線性相關趨勢。

（二）求迴歸係數與數值意義

1. 斜率（迴歸係數 $\hat{\beta}_1$）： $\hat{\beta}_1 = \frac{SS_{xy}}{SS_{xx}} = \frac{6076}{14442} \approx 0.420717 \approx 0.4207$

2. 截距（$\hat{\beta}_0$）： $\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{X} = 82 - (0.420717 \times 184.5) = 82 - 77.6223 = 4.3777 \approx 4.38$ 配適之估計線性迴歸方程式為： $\hat{Y} = 4.3777 + 0.4207 X \quad (\text{即 } \widehat{\text{eGFR}} = 4.38 + 0.421 \times \text{TCHOL})$

3. 數值的統計與專業意義：

• 迴歸係數（斜率 $\hat{\beta}_1 \approx 0.4207$）為正值，表示總膽固醇與腎絲球過濾率之間呈正向線性關係。
• 實務意義：在該樣本之測量範圍內，受測者的總膽固醇（TCHOL）每增加 $1\text{ mg/dL}$，其腎絲球過濾率（eGFR）平均增加約 $0.4207\text{ mL/min/1.73m}^2$。

（三）檢驗迴歸係數是否為 0

採用標準統計假設檢定五步驟：

核心觀念

本題屬於單因子變異數分析（One-way ANOVA）在完全隨機設計（Completely Randomized Design, CRD）下的典型應用，評量考生對變異分解、平方和計算與假設檢定之掌握程度。

1. 基本假設：

• 常態性（Normality）：各地區之飛魚體長族群服從常態分配，即 $Y_{ij} \sim N(\mu_i, \sigma^2)$。
• 獨立性（Independence）：各組內及組間之抽樣樣本相互獨立。
• 變異數同質性（Homogeneity of Variance）：各地區之體長變異數皆相等，即 $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = \sigma^2$。

2. 平方和分解公式： 總變異平方和（$SS_{\text{Total}}$）可完全分解為處理間平方和（本題為地區間平方和，$SS_{\text{Between}}$）與誤差平方和（本題為地區內平方和，$SS_{\text{Within}}$）： $SS_{\text{Total}} = SS_{\text{Between}} + SS_{\text{Within}}$

• 地區內平方和（$SS_{\text{Within}}$ 或 $SS_E$）：反映各組內部個體間因隨機誤差產生的離散程度。 $SS_{\text{Within}} = \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} (Y_{ij} - \bar{Y}_{i\cdot})^2 = \sum_{i=1}^{k} SS_i$
• 地區間平方和（$SS_{\text{Between}}$ 或 $SS_{Tr}$）：反映各地區樣本平均值受地域效應影響之離散程度。 $SS_{\text{Between}} = \sum_{i=1}^{k} n_i (\bar{Y}_{i\cdot} - \bar{Y}_{\cdot\cdot})^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{T_i^2}{n_i} - \frac{G^2}{N}$ 其中 $T_i$ 為第 $i$ 組總和、$n_i$ 為第 $i$ 組樣本數、$G = \sum T_i$ 為總樣本總和、$N = \sum n_i$ 為總樣本數。

3. $F$ 檢定統計量： $F = \frac{MS_{\text{Between}}}{MS_{\text{Within}}} = \frac{SS_{\text{Between}} / (k - 1)}{SS_{\text{Within}} / (N - k)}$ 在虛無假說成立下，該統計量服從分子自由度為 $k - 1$、分母自由度為 $N - k$ 之 $F$ 分配。

解題方法

（一）計算地區內與地區間之平方和

步驟一：整理各組基本統計量

• 第 1 組（蘭嶼）：$n_1 = 4$ $Y_{1j} = \{28, 27, 25, 28\}$ 總和 $T_1 = 28 + 27 + 25 + 28 = 108$ 平均 $\bar{Y}_{1\cdot} = \frac{108}{4} = 27$

• 第 2 組（花蓮）：$n_2 = 4$ $Y_{2j} = \{28, 27, 28, 29\}$ 總和 $T_2 = 28 + 27 + 28 + 29 = 112$ 平均 $\bar{Y}_{2\cdot} = \frac{112}{4} = 28$

• 第 3 組（宜蘭）：$n_3 = 3$ $Y_{3j} = \{30, 29, 31\}$ 總和 $T_3 = 30 + 29 + 31 = 90$ 平均 $\bar{Y}_{3\cdot} = \frac{90}{3} = 30$

• 全體總計： 處理數 $k = 3$ 總樣本數 $N = n_1 + n_2 + n_3 = 4 + 4 + 3 = 11$ 總和 $G = T_1 + T_2 + T_3 = 108 + 112 + 90 = 310$ 校正項（Correction Factor, $CF$）： $CF = \frac{G^2}{N} = \frac{310^2}{11} = \frac{96100}{11} \approx 8736.36$

步驟二：計算地區內平方和（$SS_{\text{Within}}$） 分別計算各組內部離均差平方和：

• 蘭嶼組： $SS_1 = (28-27)^2 + (27-27)^2 + (25-27)^2 + (28-27)^2 = 1^2 + 0^2 + (-2)^2 + 1^2 = 1 + 0 + 4 + 1 = 6$
• 花蓮組： $SS_2 = (28-28)^2 + (27-28)^2 + (28-28)^2 + (29-28)^2 = 0^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2 = 0 + 1 + 0 + 1 = 2$
• 宜蘭組： $SS_3 = (30-30)^2 + (29-30)^2 + (31-30)^2 = 0^2 + (-1)^2 + 1^2 = 0 + 1 + 1 = 2$

將各組內平方和加總： $SS_{\text{Within}} = SS_1 + SS_2 + SS_3 = 6 + 2 + 2 = 10$

步驟三：計算地區間平方和（$SS_{\text{Between}}$） 利用組總和公式計算： $\sum_{i=1}^{3} \frac{T_i^2}{n_i} = \frac{108^2}{4} + \frac{112^2}{4} + \frac{90^2}{3} = \frac{11664}{4} + \frac{12544}{4} + \frac{8100}{3} = 2916 + 3136 + 2700 = 8752$