107 高普考高考三級 衛生行政 生物統計學 考古題詳解

核心觀念

本題為衛生行政類科《生物統計學》極具代表性的敘述統計與推論統計綜合題，涵蓋以下核心觀念：

1. 敘述統計量（Descriptive Statistics）：

• 集中趨勢指標：平均數（Sample Mean, $\bar{X}$）代表數據的算術平均；中位數（Sample Median, $\text{Median}$）為排序後位處正中間的數值，具備抗極端值之穩健特性（Robustness）。
• 分散程度指標：全距（Range, $R$）為極大值與極小值之差；樣本變異數（Sample Variance, $s^2$）衡量各數據與平均數的離散程度，使用自由度 $n-1$ 進行不偏估計；變異係數（Coefficient of Variation, $CV$）為標準差與平均數的比值，為無單位指標，用於比較不同尺度或不同均值族群的相對變異程度。

2. 單一常態母體平均數的信賴區間（Confidence Interval, CI）：

• 當樣本數較小（$n < 30$）且母體變異數未知時，依據常態母體假設，平均數標準化後服從學生氏 $t$ 分配（Student's $t$-distribution），自由度為 $df = n - 1$。

3. 相依樣本假設檢定（Paired Samples $t$-test）：

• 本題針對「同一組患者」測量「用藥前」與「連續服用 6 個月後」，屬於典型成對／前後測重複測量設計（Repeated Measures Design）。此時兩時間點的測量值非獨立，必須將成對差值 $D_i = X_{\text{前}, i} - X_{\text{後}, i}$ 視為單一變數，採用配對樣本 $t$ 檢定檢定差值母體平均數是否顯著異於 0。

解題方法

（一）服用前糖化血色素之各項敘述統計量

設服用前 7 位患者的糖化血色素數據為 $X = \{10.2, 11.1, 10.5, 13.0, 12.3, 10.4, 11.5\}$，樣本數 $n = 7$。

1. 平均數（Mean, $\bar{X}$）： $\bar{X} = \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n} = \frac{10.2 + 11.1 + 10.5 + 13.0 + 12.3 + 10.4 + 11.5}{7} = \frac{79.0}{7} \approx 11.286\text{（\%）}$

2. 中位數（Median）： 將數據由小到大排序： $10.2,\ 10.4,\ 10.5,\ 11.1,\ 11.5,\ 12.3,\ 13.0$ 樣本數 $n = 7$ 為奇數，中位數落於第 $\frac{n+1}{2} = 4$ 個位置： $\text{Median} = X_{(4)} = 11.1\text{（\%）}$

3. 全距（Range, $R$）： $R = X_{\max} - X_{\min} = 13.0 - 10.2 = 2.8\text{（\%）}$

4. 樣本變異數（Sample Variance, $s^2$）： 先計算平方和： $\sum_{i=1}^7 X_i^2 = 10.2^2 + 11.1^2 + 10.5^2 + 13.0^2 + 12.3^2 + 10.4^2 + 11.5^2 = 898.20$ 離差平方和（Sum of Squares, $SS$）： $SS = \sum_{i=1}^7 X_i^2 - \frac{(\sum X_i)^2}{n} = 898.20 - \frac{79.0^2}{7} = 898.20 - \frac{6241}{7} = \frac{46.4}{7} \approx 6.6286$ 以自由度 $df = n - 1 = 6$ 計算樣本變異數： $s^2 = \frac{SS}{n - 1} = \frac{46.4}{7 \times 6} = \frac{46.4}{42} = \frac{116}{105} \approx 1.105\text{（\%}^2\text{）}$ （若題意視為母體變異數，則 $\sigma^2 = \frac{SS}{n} = \frac{46.4}{49} \approx 0.947$）

5. 變異係數（Coefficient of Variation, $CV$）： 樣本標準差： $s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{116}{105}} \approx 1.051\text{（\%）}$ $CV = \frac{s}{\bar{X}} \times 100\% = \frac{1.051}{11.286} \times 100\% \approx 9.31\% \quad (\text{或 } 0.0931)$

（二）求服用前糖化血色素平均數的 95% 信賴區間

1. 選用統計分配： 樣本數 $n = 7 < 30$，母體標準差未知，在常態母體假設下，平均數之抽樣分配服從自由度 $df = n - 1 = 6$ 的 $t$ 分配。
2. 查表臨界值： 信賴水準 $1 - \alpha = 0.95$，雙尾顯著水準 $\alpha = 0.05$，單尾面積 $\alpha/2 = 0.025$。 $t_{0.025, 6} = 2.447$
3. 平均數之標準誤（Standard Error, $SE$）： $SE(\bar{X}) = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{1.051}{\sqrt{7}} \approx \frac{1.051}{2.6458} \approx 0.3973\text{（\%）}$
4. 信賴區間推導： $\bar{X} \pm t_{\alpha/2, n-1} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$ $11.286 \pm 2.447 \times 0.3973$ $11.286 \pm 0.972$

• 區間下限：$11.286 - 0.972 = 10.314$
• 區間上限：$11.286 + 0.972 = 12.258$ 因此，95% 信賴區間為 $[10.31, 12.26]$（%）。

（三）檢驗服用前與連續服用 6 個月後糖化血色素有無差異

核心觀念

本題評量多項式分配之皮爾森卡方適合度檢定（Pearson's Chi-square Goodness-of-Fit Test）。當母體事件分類為 $k$ 個互斥類別時，用以檢定各類別之觀察次數分布是否符合歷史或理論所設定之特定比例。

1. 虛無假說與對立假說：

• 設母體各類別之機率分別為 $p_1, p_2, \dots, p_k$。
• $H_0: p_1 = p_{10}, p_2 = p_{20}, \dots, p_k = p_{k0}$（母體比例符合特定分布）
• $H_1:$ 各類別機率至少有一項不符合 $H_0$ 之設定

2. 期望次數（Expected Frequency）： $E_i = n \times p_i$ 其中 $n$ 為總樣本數（$\sum O_i$），$p_i$ 為 $H_0$ 下設定之理論機率。
3. 卡方檢定統計量： $\chi^2 = \sum_{i=1}^k \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$ 其中 $O_i$ 為第 $i$ 類別之實際觀察次數，$E_i$ 為期望次數。
4. 自由度（Degrees of Freedom）： $df = k - 1$ 其中 $k$ 為類別數（本題事故類別數 $k = 4$）。
5. 適用條件（Cochran 準則）： 卡方大樣本近似要求所有理論期望次數 $E_i \ge 5$（或至少 80% 的單元格 $E_i \ge 5$ 且無 $E_i < 1$）。

解題方法

步驟一：建立統計假設

設 2017 年漁船發生「失火」、「擱淺」、「碰撞」、「翻覆」之母體機率分別為 $p_1, p_2, p_3, p_4$。 過去 20 年之比例為 $2 : 3.5 : 3 : 1.5$。 各比例加總為： $2 + 3.5 + 3 + 1.5 = 10$ 轉換為理論機率：

• 失火：$p_{10} = \frac{2}{10} = 0.20$
• 擱淺：$p_{20} = \frac{3.5}{10} = 0.35$
• 碰撞：$p_{30} = \frac{3}{10} = 0.30$
• 翻覆：$p_{40} = \frac{1.5}{10} = 0.15$

故建立假設如下：

• $H_0: p_1 = 0.20, p_2 = 0.35, p_3 = 0.30, p_4 = 0.15$（2017 年事故仍維持過去 20 年的比例）
• $H_1: p_1, p_2, p_3, p_4$ 至少有一個比例與 $H_0$ 不符（未維持過去 20 年的比例）

步驟二：計算總樣本數與各類別之期望次數

2017 年總觀察事故數： $n = 16 + 17 + 30 + 12 = 75$

計算各組期望次數 $E_i = n \times p_{i0}$：

• 失火：$E_1 = 75 \times 0.20 = 15$
• 擱淺：$E_2 = 75 \times 0.35 = 26.25$
• 碰撞：$E_3 = 75 \times 0.30 = 22.5$
• 翻覆：$E_4 = 75 \times 0.15 = 11.25$

檢視適用條件：所有 $E_i$ 均大於 5（最小為 $11.25$），且 $\sum E_i = 15 + 26.25 + 22.5 + 11.25 = 75 = n$，符合卡方分配之漸近條件。

步驟三：計算檢定統計量 $\chi^2$

逐項計算各單元格之卡方貢獻值 $\frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$：

核心觀念

本題評量簡單線性迴歸分析（Simple Linear Regression）​的核心概念與數值計算能力，涵蓋公職衛生行政類科《生物統計學》的典型命題重點：

1. 變數角色的辨識與散布圖（Scatter Diagram）繪製：

• 自變數（預測變數／獨立變數）$X$：總膽固醇（TCHOL，單位：$\text{mg/dL}$）。
• 應變數（反應變數／依變數）$Y$：腎絲球過濾率（eGFR，單位：$\text{mL/min/1.73m}^2$）。
• 散布圖用以初步直觀探索兩連續型變數間的關聯方向（正相關／負相關）與型態（線性／非線性）。

2. 最小平方法（Ordinary Least Squares, OLS）估計迴歸係數：

• 模式設定：$Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \epsilon_i$，其中 $\epsilon_i \overset{iid}{\sim} N(0, \sigma^2)$。
• 斜率估計式：$\hat{\beta}_1 = \frac{SS_{xy}}{SS_{xx}} = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (X_i - \bar{X})^2}$。
• 截距估計式：$\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{X}$。
• 迴歸係數之實務意義：$\hat{\beta}_1$ 代表自變數 $X$ 每變動 1 單位時，應變數 $Y$ 之平均變動量。

3. 迴歸斜率係數的顯著性檢定：

• 檢驗 $H_0: \beta_1 = 0 \text{ vs } H_1: \beta_1 \neq 0$。
• 檢定統計量：$t = \frac{\hat{\beta}_1 - 0}{s_{\hat{\beta}_1}} \sim t(n-2)$，其中 $s_{\hat{\beta}_1} = \sqrt{\frac{MSE}{SS_{xx}}}$；或利用變異數分析（ANOVA）之 $F = \frac{MSR}{MSE} \sim F(1, n-2)$。

解題方法

（一）繪製散布圖（Scatter Diagram）

1. 坐標設定與數據點定位：

• 橫軸（$X$ 軸）：總膽固醇（TCHOL, $\text{mg/dL}$），數值範圍介於 $120 \sim 260$。
• 縱軸（$Y$ 軸）：腎絲球過濾率（eGFR, $\text{mL/min/1.73m}^2$），數值範圍介於 $30 \sim 120$。
• 8 位受測者對應之坐標點 $(X_i, Y_i)$ 如下：
• 受測者 1：$(215, 71)$
• 受測者 2：$(148, 50)$
• 受測者 3：$(219, 111)$
• 受測者 4：$(126, 32)$
• 受測者 5：$(197, 116)$
• 受測者 6：$(256, 97)$
• 受測者 7：$(137, 84)$
• 受測者 8：$(178, 95)$

2. 散布圖繪製示意：

 eGFR (mL/min/1.73m²)
 120 ┤ • (197, 116)
 │ • (219, 111)
 100 ┤ • (256, 97)
 │ • (178, 95)
 80 ┤ • (137, 84)
 │ • (215, 71)
 60 ┤
 │ • (148, 50)
 40 ┤
 │ • (126, 32)
 20 ┤
 └───────┬───────┬───────┬───────┬───────┬───────> TCHOL (mg/dL)
 120 150 180 210 240 270

3. 圖形型態說明： 由散布圖可觀察到，資料點大致呈現由左下往右上散布之趨勢，顯示總膽固醇與腎絲球過濾率之間呈現中度的正向線性關聯性傾向。

（二）計算迴歸係數並說明數值意義

1. 基礎離差平方和與乘積和計算：

• 樣本數：$n = 8$

• 變數和與平均數： $\sum X_i = 215 + 148 + 219 + 126 + 197 + 256 + 137 + 178 = 1476$ $\bar{X} = \frac{1476}{8} = 184.5\text{ mg/dL}$ $\sum Y_i = 71 + 50 + 111 + 32 + 116 + 97 + 84 + 95 = 656$ $\bar{Y} = \frac{656}{8} = 82\text{ mL/min/1.73m}^2$

• 平方和與乘積和： $\sum X_i^2 = 215^2 + 148^2 + 219^2 + 126^2 + 197^2 + 256^2 + 137^2 + 178^2$ $= 46225 + 21904 + 47961 + 15876 + 38809 + 65536 + 18769 + 31684 = 286764$

$SS_{xx} = \sum X_i^2 - \frac{(\sum X_i)^2}{n} = 286764 - \frac{1476^2}{8} = 286764 - 272322 = 14442$

$\sum Y_i^2 = 71^2 + 50^2 + 111^2 + 32^2 + 116^2 + 97^2 + 84^2 + 95^2$ $= 5041 + 2500 + 12321 + 1024 + 13456 + 9409 + 7056 + 9025 = 59832$

$SS_{yy} = \sum Y_i^2 - \frac{(\sum Y_i)^2}{n} = 59832 - \frac{656^2}{8} = 59832 - 53792 = 6040$

$\sum X_i Y_i = 215(71) + 148(50) + 219(111) + 126(32) + 197(116) + 256(97) + 137(84) + 178(95)$ $= 15265 + 7400 + 24309 + 4032 + 22852 + 24832 + 11508 + 16910 = 127108$

$SS_{xy} = \sum X_i Y_i - \frac{(\sum X_i)(\sum Y_i)}{n} = 127108 - \frac{1476 \times 656}{8} = 127108 - 121032 = 6076$

2. 迴歸係數估計：

• 斜率係數（$\hat{\beta}_1$）： $\hat{\beta}_1 = \frac{SS_{xy}}{SS_{xx}} = \frac{6076}{14442} \approx 0.420717 \approx 0.421$
• 截距項（$\hat{\beta}_0$）： $\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{X} = 82 - (0.420717)(184.5) \approx 82 - 77.6223 = 4.3777 \approx 4.38$
• 估計之樣本線性迴歸方程式為： $\hat{Y} = 4.38 + 0.421 X \quad (\widehat{\text{eGFR}} = 4.38 + 0.421 \times \text{TCHOL})$

3. 數值意義說明：

• 斜率 $\hat{\beta}_1 \approx 0.421$：代表總膽固醇（TCHOL）每增加 $1\text{ mg/dL}$，受測者的腎絲球過濾率（eGFR）平均增加約

核心觀念

本題屬於單因子變異數分析（One-way ANOVA）在完全隨機設計（Completely Randomized Design, CRD）下的典型應用，評量考生對變異分解、平方和計算與假設檢定之掌握程度。

1. 基本假設：

• 常態性（Normality）：各地區之飛魚體長族群服從常態分配，即 $Y_{ij} \sim N(\mu_i, \sigma^2)$。
• 獨立性（Independence）：各組內及組間之抽樣樣本相互獨立。
• 變異數同質性（Homogeneity of Variance）：各地區之體長變異數皆相等，即 $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = \sigma^2$。

2. 平方和分解公式： 總變異平方和（$SS_{\text{Total}}$）可完全分解為處理間平方和（本題為地區間平方和，$SS_{\text{Between}}$）與誤差平方和（本題為地區內平方和，$SS_{\text{Within}}$）： $SS_{\text{Total}} = SS_{\text{Between}} + SS_{\text{Within}}$

• 地區內平方和（$SS_{\text{Within}}$ 或 $SS_E$）：反映各組內部個體間因隨機誤差產生的離散程度。 $SS_{\text{Within}} = \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} (Y_{ij} - \bar{Y}_{i\cdot})^2 = \sum_{i=1}^{k} SS_i$
• 地區間平方和（$SS_{\text{Between}}$ 或 $SS_{Tr}$）：反映各地區樣本平均值受地域效應影響之離散程度。 $SS_{\text{Between}} = \sum_{i=1}^{k} n_i (\bar{Y}_{i\cdot} - \bar{Y}_{\cdot\cdot})^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{T_i^2}{n_i} - \frac{G^2}{N}$ 其中 $T_i$ 為第 $i$ 組總和、$n_i$ 為第 $i$ 組樣本數、$G = \sum T_i$ 為總樣本總和、$N = \sum n_i$ 為總樣本數。

3. $F$ 檢定統計量： $F = \frac{MS_{\text{Between}}}{MS_{\text{Within}}} = \frac{SS_{\text{Between}} / (k - 1)}{SS_{\text{Within}} / (N - k)}$ 在虛無假說成立下，該統計量服從分子自由度為 $k - 1$、分母自由度為 $N - k$ 之 $F$ 分配。

解題方法

（一）計算地區內與地區間之平方和

步驟一：整理各組基本統計量

• 第 1 組（蘭嶼）：$n_1 = 4$ $Y_{1j} = \{28, 27, 25, 28\}$ 總和 $T_1 = 28 + 27 + 25 + 28 = 108$ 平均 $\bar{Y}_{1\cdot} = \frac{108}{4} = 27$

• 第 2 組（花蓮）：$n_2 = 4$ $Y_{2j} = \{28, 27, 28, 29\}$ 總和 $T_2 = 28 + 27 + 28 + 29 = 112$ 平均 $\bar{Y}_{2\cdot} = \frac{112}{4} = 28$

• 第 3 組（宜蘭）：$n_3 = 3$ $Y_{3j} = \{30, 29, 31\}$ 總和 $T_3 = 30 + 29 + 31 = 90$ 平均 $\bar{Y}_{3\cdot} = \frac{90}{3} = 30$

• 全體總計： 處理數 $k = 3$ 總樣本數 $N = n_1 + n_2 + n_3 = 4 + 4 + 3 = 11$ 總和 $G = T_1 + T_2 + T_3 = 108 + 112 + 90 = 310$ 校正項（Correction Factor, $CF$）： $CF = \frac{G^2}{N} = \frac{310^2}{11} = \frac{96100}{11} \approx 8736.36$

步驟二：計算地區內平方和（$SS_{\text{Within}}$） 分別計算各組內部離均差平方和：

• 蘭嶼組： $SS_1 = (28-27)^2 + (27-27)^2 + (25-27)^2 + (28-27)^2 = 1^2 + 0^2 + (-2)^2 + 1^2 = 1 + 0 + 4 + 1 = 6$
• 花蓮組： $SS_2 = (28-28)^2 + (27-28)^2 + (28-28)^2 + (29-28)^2 = 0^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2 = 0 + 1 + 0 + 1 = 2$
• 宜蘭組： $SS_3 = (30-30)^2 + (29-30)^2 + (31-30)^2 = 0^2 + (-1)^2 + 1^2 = 0 + 1 + 1 = 2$

將各組內平方和加總： $SS_{\text{Within}} = SS_1 + SS_2 + SS_3 = 6 + 2 + 2 = 10$

步驟三：計算地區間平方和（$SS_{\text{Between}}$） 利用組總和公式計算： $\sum_{i=1}^{3} \frac{T_i^2}{n_i} = \frac{108^2}{4} + \frac{112^2}{4} + \frac{90^2}{3} = \frac{11664}{4} + \frac{12544}{4} + \frac{8100}{3} = 2916 + 3136 + 2700 = 8752$