107 高普考高考三級 衛生技術 生物統計學 考古題詳解

核心觀念

1. 描述性統計量（Descriptive Statistics）：

• 集中趨勢：樣本平均數（Sample Mean, $\bar{X} = \frac{\sum X_i}{n}$）與中數（Median，排序後處於正中間位置的觀測值）。
• 離散程度：
• 全距（Range）：最大值與最小值之差（$\text{Range} = X_{\max} - X_{\min}$）。
• 樣本變異數（Sample Variance, $s^2 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})^2}{n - 1} = \frac{\sum X_i^2 - \frac{(\sum X_i)^2}{n}}{n - 1}$）。
• 變異係數（Coefficient of Variation, $CV = \frac{s}{\bar{X}} \times 100\%$）：用於評估資料相對離散程度的無因次指標。

2. 母體平均數的區間估計（Confidence Interval for Population Mean）：

• 小樣本（$n < 30$）且母體變異數 $\sigma^2$ 未知，在母體呈常態分配假設下，平均數的抽樣分配服從 Student's $t$ 分配，自由度 $df = n - 1$。
• $100(1-\alpha)\%$ 信賴區間公式：$\bar{X} \pm t_{\alpha/2, n-1} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$。

3. 成對樣本假說檢定（Paired Samples $t$-test）：

• 同一群受試者在接受介入（服用藥物）前、後的重複測量數據屬於「相依樣本／成對設計（Dependent/Paired Design）」。
• 應將前後測資料轉化為成對差值 $D_i = X_{\text{before}, i} - X_{\text{after}, i}$，以單一樣本 $t$ 檢定架構檢定平均差值是否顯著異於 0（$H_0: \mu_D = 0$）。

解題方法

（一）求服用前糖化血色素之各項描述統計量

將服用前 7 筆數據由小到大排列： $10.2,\; 10.4,\; 10.5,\; 11.1,\; 11.5,\; 12.3,\; 13.0$

1. 平均數（Mean, $\bar{X}$）： $\sum_{i=1}^{7} X_i = 10.2 + 11.1 + 10.5 + 13.0 + 12.3 + 10.4 + 11.5 = 79.0$ $\bar{X} = \frac{\sum_{i=1}^{7} X_i}{7} = \frac{79.0}{7} \approx 11.29\% \quad (\text{或保留分數 } \frac{79}{7})$

2. 中數（Median）： 樣本數 $n = 7$ 為奇數，中位數落在第 $\frac{7+1}{2} = 4$ 個位置： $\text{Median} = X_{(4)} = 11.1\%$

3. 全距（Range）： $\text{Range} = X_{\max} - X_{\min} = 13.0 - 10.2 = 2.8\%$

4. 樣本變異數（Variance, $s^2$）： 先計算平方和： $\sum_{i=1}^{7} X_i^2 = 10.2^2 + 11.1^2 + 10.5^2 + 13.0^2 + 12.3^2 + 10.4^2 + 11.5^2 = 898.20$ 離均差平方和（$SS$）： $SS = \sum_{i=1}^{7} X_i^2 - \frac{(\sum X_i)^2}{7} = 898.20 - \frac{79.0^2}{7} = 898.20 - \frac{6241}{7} = \frac{46.4}{7} \approx 6.6286$ 樣本變異數： $s^2 = \frac{SS}{n - 1} = \frac{46.4 / 7}{6} = \frac{46.4}{42} = \frac{116}{105} \approx 1.1048 \approx 1.10$ 樣本標準差： $s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{116}{105}} \approx 1.0512\%$

5. 變異係數（CV）： $CV = \frac{s}{\bar{X}} \times 100\% = \frac{1.0512}{11.2857} \times 100\% \approx 9.31\% \quad (\text{或 } 0.0931)$

（二）求服用前糖化血色素平均數的 95% 信賴區間

1. 基本假設： 小樣本（$n = 7 < 30$），母體標準差 $\sigma$ 未知，假設服用前糖化血色素服從常態分配 $N(\mu, \sigma^2)$。
2. 臨界值與標準誤：

• 自由度 $df = n - 1 = 6$。
• 顯著水準 $\alpha = 0.05$，查 $t$ 分配表雙尾臨界值：$t_{0.025, 6} = 2.447$。
• 平均數標準誤（$SE$）： $SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{1.0512}{\sqrt{7}} \approx 0.3973$

3. 計算信賴區間： $CI_{95\%} = \bar{X} \pm t_{0.025, 6} \times \frac{s}{\sqrt{n}} = 11.2857 \pm (2.447 \times 0.3973) = 11.2857 \pm 0.9722$

• 下界：$11.2857 - 0.9722 = 10.3135 \approx 10.31\%$
• 上界：$11.2857 + 0.9722 = 12.2579 \approx 12.26\%$

核心觀念

本題評量多項式分配之皮爾森卡方適合度檢定（Pearson's Chi-square Goodness-of-Fit Test）。當母體事件分類為 $k$ 個互斥類別時，用以檢定各類別之觀察次數分布是否符合歷史或理論所設定之特定比例。

1. 虛無假說與對立假說：

• 設母體各類別之機率分別為 $p_1, p_2, \dots, p_k$。
• $H_0: p_1 = p_{10}, p_2 = p_{20}, \dots, p_k = p_{k0}$（母體比例符合特定分布）
• $H_1:$ 各類別機率至少有一項不符合 $H_0$ 之設定

2. 期望次數（Expected Frequency）： $E_i = n \times p_i$ 其中 $n$ 為總樣本數（$\sum O_i$），$p_i$ 為 $H_0$ 下設定之理論機率。
3. 卡方檢定統計量： $\chi^2 = \sum_{i=1}^k \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$ 其中 $O_i$ 為第 $i$ 類別之實際觀察次數，$E_i$ 為期望次數。
4. 自由度（Degrees of Freedom）： $df = k - 1$ 其中 $k$ 為類別數（本題事故類別數 $k = 4$）。
5. 適用條件（Cochran 準則）： 卡方大樣本近似要求所有理論期望次數 $E_i \ge 5$（或至少 80% 的單元格 $E_i \ge 5$ 且無 $E_i < 1$）。

解題方法

步驟一：建立統計假設

設 2017 年漁船發生「失火」、「擱淺」、「碰撞」、「翻覆」之母體機率分別為 $p_1, p_2, p_3, p_4$。 過去 20 年之比例為 $2 : 3.5 : 3 : 1.5$。 各比例加總為： $2 + 3.5 + 3 + 1.5 = 10$ 轉換為理論機率：

• 失火：$p_{10} = \frac{2}{10} = 0.20$
• 擱淺：$p_{20} = \frac{3.5}{10} = 0.35$
• 碰撞：$p_{30} = \frac{3}{10} = 0.30$
• 翻覆：$p_{40} = \frac{1.5}{10} = 0.15$

故建立假設如下：

• $H_0: p_1 = 0.20, p_2 = 0.35, p_3 = 0.30, p_4 = 0.15$（2017 年事故仍維持過去 20 年的比例）
• $H_1: p_1, p_2, p_3, p_4$ 至少有一個比例與 $H_0$ 不符（未維持過去 20 年的比例）

步驟二：計算總樣本數與各類別之期望次數

2017 年總觀察事故數： $n = 16 + 17 + 30 + 12 = 75$

計算各組期望次數 $E_i = n \times p_{i0}$：

• 失火：$E_1 = 75 \times 0.20 = 15$
• 擱淺：$E_2 = 75 \times 0.35 = 26.25$
• 碰撞：$E_3 = 75 \times 0.30 = 22.5$
• 翻覆：$E_4 = 75 \times 0.15 = 11.25$

檢視適用條件：所有 $E_i$ 均大於 5（最小為 $11.25$），且 $\sum E_i = 15 + 26.25 + 22.5 + 11.25 = 75 = n$，符合卡方分配之漸近條件。

步驟三：計算檢定統計量 $\chi^2$

逐項計算各單元格之卡方貢獻值 $\frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$：

核心觀念

本題評量簡單線性迴歸（Simple Linear Regression）​的完整分析流程，涵蓋三個核心觀念：

1. 散布圖（Scatter Diagram）的繪製與變數角色判定：依題意「由總膽固醇預測腎絲球過濾率」，確立自變數（獨立變數／預測變數）$X$ 為總膽固醇（TCHOL），應變數（依變數／反應變數）$Y$ 為腎絲球過濾率（eGFR）。橫軸為 $X$、縱軸為 $Y$。
2. 最小平方法（Method of Least Squares）估計迴歸參數：

• 線性迴歸模型：$Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon$
• 估計斜率（迴歸係數）： $\hat{\beta}_1 = \frac{SS_{xy}}{SS_{xx}} = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (X_i - \bar{X})^2} = \frac{\sum X_i Y_i - \frac{(\sum X_i)(\sum Y_i)}{n}}{\sum X_i^2 - \frac{(\sum X_i)^2}{n}}$
• 估計截距：$\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{X}$
• 斜率 $\hat{\beta}_1$ 的統計意義：自變數每變動一個單位時，應變數平均變動之期望量。

3. 迴歸斜率的顯著性檢定（$t$ 檢定／ANOVA $F$ 檢定）：

• 檢驗假說：$H_0: \beta_1 = 0$ vs. $H_1: \beta_1 \neq 0$
• 檢定統計量： $t = \frac{\hat{\beta}_1 - 0}{SE(\hat{\beta}_1)} \sim t(n-2)$ 其中殘差均方 $MSE = \frac{SSE}{n-2} = \frac{SS_{yy} - \hat{\beta}_1 SS_{xy}}{n-2}$，$SE(\hat{\beta}_1) = \sqrt{\frac{MSE}{SS_{xx}}}$。

解題方法

基礎摘要統計量計算

樣本數 $n = 8$：

• 自變數 $X$（TCHOL）：$215, 148, 219, 126, 197, 256, 137, 178$
• 應變數 $Y$（eGFR）：$71, 50, 111, 32, 116, 97, 84, 95$

1. 一階總和與平均值： $\sum X_i = 215 + 148 + 219 + 126 + 197 + 256 + 137 + 178 = 1476 \implies \bar{X} = \frac{1476}{8} = 184.5$ $\sum Y_i = 71 + 50 + 111 + 32 + 116 + 97 + 84 + 95 = 656 \implies \bar{Y} = \frac{656}{8} = 82.0$

2. 平方和與交叉乘積和： $\sum X_i^2 = 215^2 + 148^2 + 219^2 + 126^2 + 197^2 + 256^2 + 137^2 + 178^2 = 286764$ $\sum Y_i^2 = 71^2 + 50^2 + 111^2 + 32^2 + 116^2 + 97^2 + 84^2 + 95^2 = 59832$ $\sum X_i Y_i = (215)(71) + (148)(50) + (219)(111) + (126)(32) + (197)(116) + (256)(97) + (137)(84) + (178)(95) = 127108$

3. 離差平方和（Sum of Squares）： $SS_{xx} = \sum X_i^2 - \frac{(\sum X_i)^2}{n} = 286764 - \frac{1476^2}{8} = 286764 - 272322 = 14442$ $SS_{yy} = \sum Y_i^2 - \frac{(\sum Y_i)^2}{n} = 59832 - \frac{656^2}{8} = 59832 - 53792 = 6040$ $SS_{xy} = \sum X_i Y_i - \frac{(\sum X_i)(\sum Y_i)}{n} = 127108 - \frac{1476 \times 656}{8} = 127108 - 121032 = 6076$

（一）繪製散布圖（Scatter Diagram）

1. 座標設定與標籤：

• 橫軸（$X$ 軸）：自變數總膽固醇（TCHOL，單位：$\text{mg/dL}$），範圍建議定為 $100 \sim 280$。
• 縱軸（$Y$ 軸）：應變數腎絲球過濾率（eGFR，單位：$\text{mL/min/1.73m}^2$），範圍建議定為 $20 \sim 130$。

2. 描點數據 $(X_i, Y_i)$：

• 受測者 1：$(215, 71)$
• 受測者 2：$(148, 50)$
• 受測者 3：$(219, 111)$
• 受測者 4：$(126, 32)$
• 受測者 5：$(197, 116)$
• 受測者 6：$(256, 97)$
• 受測者 7：$(137, 84)$
• 受測者 8：$(178, 95)$

散布圖示意分布：

 eGFR
 130 | 
 120 | •(197,116) 
 110 | •(219,111)
 100 | •(256,97)
 90 | •(178,95)
 80 | •(137,84) 
 70 | •(215,71) 
 60 | 
 50 | •(148,50) 
 40 | 
 30 | •(126,32) 
 20 +------------------------------------------------- TCHOL
 100 120 140 160 180 200 220 240 260

• 圖形特徵說明：資料點整體大致呈現由左下向右上延伸的正向線性趨勢（Positive association）。

（二）計算迴歸係數並說明其統計意義

1. 迴歸斜率（$\hat{\beta}_1$）： $\hat{\beta}_1 = \frac{SS_{xy}}{SS_{xx}} = \frac{6076}{14442} \approx 0.4207$

2. 迴歸截距（$\hat{\beta}_0$）： $\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{X} = 82.0 - (0.420717 \times 184.5) = 82.0 - 77.6223 \approx 4.38$

• 估計之線性迴歸方程式為：$\hat{Y} = 4.38 + 0.4207 X$

3. 數值的統計與實務意義：

• 斜率 $\hat{\beta}_1 \approx 0.4207$：數值為正值，表示總膽固醇與腎絲球過濾率呈正向線性關係。其具體意義為：在該受測族群中，當受測者的總膽固醇（TCHOL）每增加 $1\text{ mg/dL}$，其腎絲球過濾率（eGFR）預期平均增加約 $0.4207\text{ mL/min/1.73m}^2$。

核心觀念

本題屬於單因子變異數分析（One-way ANOVA）在完全隨機設計（Completely Randomized Design, CRD）下的典型應用，評量考生對變異分解、平方和計算與假設檢定之掌握程度。

1. 基本假設：

• 常態性（Normality）：各地區之飛魚體長族群服從常態分配，即 $Y_{ij} \sim N(\mu_i, \sigma^2)$。
• 獨立性（Independence）：各組內及組間之抽樣樣本相互獨立。
• 變異數同質性（Homogeneity of Variance）：各地區之體長變異數皆相等，即 $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = \sigma^2$。

2. 平方和分解公式： 總變異平方和（$SS_{\text{Total}}$）可完全分解為處理間平方和（本題為地區間平方和，$SS_{\text{Between}}$）與誤差平方和（本題為地區內平方和，$SS_{\text{Within}}$）： $SS_{\text{Total}} = SS_{\text{Between}} + SS_{\text{Within}}$

• 地區內平方和（$SS_{\text{Within}}$ 或 $SS_E$）：反映各組內部個體間因隨機誤差產生的離散程度。 $SS_{\text{Within}} = \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} (Y_{ij} - \bar{Y}_{i\cdot})^2 = \sum_{i=1}^{k} SS_i$
• 地區間平方和（$SS_{\text{Between}}$ 或 $SS_{Tr}$）：反映各地區樣本平均值受地域效應影響之離散程度。 $SS_{\text{Between}} = \sum_{i=1}^{k} n_i (\bar{Y}_{i\cdot} - \bar{Y}_{\cdot\cdot})^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{T_i^2}{n_i} - \frac{G^2}{N}$ 其中 $T_i$ 為第 $i$ 組總和、$n_i$ 為第 $i$ 組樣本數、$G = \sum T_i$ 為總樣本總和、$N = \sum n_i$ 為總樣本數。

3. $F$ 檢定統計量： $F = \frac{MS_{\text{Between}}}{MS_{\text{Within}}} = \frac{SS_{\text{Between}} / (k - 1)}{SS_{\text{Within}} / (N - k)}$ 在虛無假說成立下，該統計量服從分子自由度為 $k - 1$、分母自由度為 $N - k$ 之 $F$ 分配。

解題方法

（一）計算地區內與地區間之平方和

步驟一：整理各組基本統計量

• 第 1 組（蘭嶼）：$n_1 = 4$ $Y_{1j} = \{28, 27, 25, 28\}$ 總和 $T_1 = 28 + 27 + 25 + 28 = 108$ 平均 $\bar{Y}_{1\cdot} = \frac{108}{4} = 27$

• 第 2 組（花蓮）：$n_2 = 4$ $Y_{2j} = \{28, 27, 28, 29\}$ 總和 $T_2 = 28 + 27 + 28 + 29 = 112$ 平均 $\bar{Y}_{2\cdot} = \frac{112}{4} = 28$

• 第 3 組（宜蘭）：$n_3 = 3$ $Y_{3j} = \{30, 29, 31\}$ 總和 $T_3 = 30 + 29 + 31 = 90$ 平均 $\bar{Y}_{3\cdot} = \frac{90}{3} = 30$

• 全體總計： 處理數 $k = 3$ 總樣本數 $N = n_1 + n_2 + n_3 = 4 + 4 + 3 = 11$ 總和 $G = T_1 + T_2 + T_3 = 108 + 112 + 90 = 310$ 校正項（Correction Factor, $CF$）： $CF = \frac{G^2}{N} = \frac{310^2}{11} = \frac{96100}{11} \approx 8736.36$

步驟二：計算地區內平方和（$SS_{\text{Within}}$） 分別計算各組內部離均差平方和：

• 蘭嶼組： $SS_1 = (28-27)^2 + (27-27)^2 + (25-27)^2 + (28-27)^2 = 1^2 + 0^2 + (-2)^2 + 1^2 = 1 + 0 + 4 + 1 = 6$
• 花蓮組： $SS_2 = (28-28)^2 + (27-28)^2 + (28-28)^2 + (29-28)^2 = 0^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2 = 0 + 1 + 0 + 1 = 2$
• 宜蘭組： $SS_3 = (30-30)^2 + (29-30)^2 + (31-30)^2 = 0^2 + (-1)^2 + 1^2 = 0 + 1 + 1 = 2$

將各組內平方和加總： $SS_{\text{Within}} = SS_1 + SS_2 + SS_3 = 6 + 2 + 2 = 10$

步驟三：計算地區間平方和（$SS_{\text{Between}}$） 利用組總和公式計算： $\sum_{i=1}^{3} \frac{T_i^2}{n_i} = \frac{108^2}{4} + \frac{112^2}{4} + \frac{90^2}{3} = \frac{11664}{4} + \frac{12544}{4} + \frac{8100}{3} = 2916 + 3136 + 2700 = 8752$