111 經濟部聯招(台電、中油、台水、台糖)新進職員 統計資訊 MOD- 國營事業聯招 (統計學、巨量資料概論) 考古題詳解

核心觀念

本題考查統計學中統計量與估計方法的強健性（Robustness）與極端值（Outliers）敏感度。

在統計學中，當資料集存在偏離整體趨勢極遠的極端值（離群值）時，不同統計量表現出截然不同的性質：

• 敏感統計量 / 方法（Non-robust Statistics）：計算過程依賴全體資料數值加總、兩端極值（最大值或最小值），或以殘差平方和極小化為目標（如最小平方法 OLS）。只要資料出現極端值，其統計量或係數估計值就會發生顯著偏誤。
• 強健統計量 / 方法（Robust Statistics）：計算過程僅依賴次數大小順序（排序位置）、特定百分位數或最高頻率，具有較高的崩潰點（Breakdown Point），不會輕易受到極端值牽引。

解題方法

本題切入點為將題目所列 6 個統計概念與方法分類為「受極端值影響（敏感）」與「不受極端值影響（強健）」兩類：

1. 檢視 ①～⑥ 各指標的數學定義與公式結構。
2. 判定當資料寫入極端值時，該指標是否會產生劇烈變化。
3. 篩選出會受極端值影響的項目，再對照選項找出正確組合。

選項分析

針對題幹 ①～⑥ 項目進行逐一剖析：

• ① 中位數（Median）：【不受影響】 中位數係將資料由小到大排序後，位於正中間（第 $50$ 百分位數）的數值。只要中間位置不變，極端值無論數值極大或極小，均不影響中間點的數值，屬於強健統計量。
• ② 平均數（Mean）：【會受影響】 算術平均數公式為 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$。由於每個資料點均參與加總，當資料中出現顯著偏大或偏小的極端值時，會直接拉高或拉低總和，導致平均數嚴重偏離資料的主體集中位置，屬於敏感統計量。
• ③ 迴歸直線的係數（Regression Coefficients）：【會受影響】 普通最小平方法（OLS）估計斜率與截距時，其優化目標為極小化殘差平方和 $\min \sum (Y_i - \hat{Y}_i)^2$。

核心觀念

本題考查離散型隨機變數（Discrete Random Variable）的期望值（Expected Value）與古典機率的概念。

離散型隨機變數 $X$ 的期望值定義為所有可能取值與對應發生機率之乘積的累加總和： $E(X) = \sum x \cdot P(X = x)$

在本題中，抽取任一球的機率皆相等，箱中總球數為 $(4 + 6 + n) = 10 + n$ 顆。

解題方法

1. 定義隨機變數與機率分配： 設隨機變數 $X$ 表示參加者抽中 1 球所獲得的金額（元）。 箱中球的總數量為 $4 + 6 + n = 10 + n$ 顆。 各顏色球對應的金額與抽中機率分別為：

• 藍色球：金額 $X = 1000$，機率 $P(X = 1000) = \frac{4}{10 + n}$
• 紅色球：金額 $X = 2000$，機率 $P(X = 2000) = \frac{6}{10 + n}$
• 白色球：金額 $X = 0$，機率 $P(X = 0) = \frac{n}{10 + n}$

2. 建立期望值方程式： 根據期望值的定義公式： $E(X) = 1000 \cdot \left(\frac{4}{10 + n}\right) + 2000 \cdot \left(\frac{6}{10 + n}\right) + 0 \cdot \left(\frac{n}{10 + n}\right)$

3. 代入已知條件並求解 $n$： 已知主辦單位希望期望值 $E(X) = 400$ 元： $400 = \frac{1000 \cdot 4 + 2000 \cdot 6 + 0 \cdot n}{10 + n}$ $400 = \frac{4000 + 12000}{10 + n}$ $400 = \frac{16000}{10 + n}$

核心觀念

1. 常態分布的標準化（Standardization）： 隨機變數 $X$ 服從平均數為 $\mu$、標準差為 $\sigma$ 的常態分布（即 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$），可透過標準化公式轉換為標準常態分布 $Z \sim N(0, 1)$： $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$
2. 標準常態分布臨界值與右尾機率： 題目中附註之 $Z_{\alpha}$ 表示標準常態分布右尾面積（機率）為 $\alpha$ 時所對應的 $Z$ 臨界值，即 $P(Z > Z_{\alpha}) = \alpha$：

• $Z_{0.05} = 1.645 \implies P(Z > 1.645) = 0.05$
• $Z_{0.025} = 1.96 \implies P(Z > 1.96) = 0.025$
• $Z_{0.01} = 2.326 \implies P(Z > 2.326) = 0.01$

3. 期望人數計算： 在總人數為 $N$ 的群體中，符合特定條件之預期人數為總人數乘以該事件發生的機率： $\text{預期人數} = N \times P(X > x)$

解題方法

1. 求出目標分數的標準化 $Z$ 值： 已知平均成績 $\mu = 70$，標準差 $\sigma = 10$，目標成績 $X = 90$ 分。 將 $X = 90$ 代入標準化公式： $Z = \frac{90 - 70}{10} = \frac{20}{10} = 2.0$

2. 估算成績超過 90 分的機率 $P(X > 90)$： 求成績超過 90 分的學生比例，即求標準常態變數 $Z > 2.0$ 的右尾機率 $P(Z > 2.0)$。 對照題目給定的臨界值：

• 當 $Z = 1.96$ 時，右尾機率為 $0.025$。
• 當 $Z = 2.326$ 時，右尾機率為 $0.01$。

因為 $Z = 2.0$ 略大於 $1.96$，故其右尾機率 $P(Z > 2.0)$ 會略小於 $0.025$（精確值約為 $0.0228$）。

核心觀念

• 母體平均數 $\mu$ 的信賴區間：當常態母體標準差 $\sigma$ 未知時，以樣本標準差 $s$ 估計 $\sigma$，母體平均數 $\mu$ 的 $(1-\alpha) \times 100\%$ 信賴區間為： $\left[ \bar{X} - t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}, \, \bar{X} + t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right]$
• 信賴區間長度（Length of Confidence Interval, $L$）： $L = 2 \cdot t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$
• 影響信賴區間長度的關鍵因子：

1. 信心水準：決定臨界值 $t_{\alpha/2, n-1}$（信心水準越高，臨界值越大，長度越長）。
2. 樣本標準差 $s$：與區間長度成正比。
3. 樣本數 $n$：其平方根 $\sqrt{n}$ 與區間長度成反比。

解題方法

1. 設定原始與變更後的變數：

• 原樣本數 $n_1 = 30$，原樣本標準差為 $s_1$。
• 新樣本數 $n_2 = 9 n_1 = 270$。
• 新樣本標準差 $s_2 = 3 s_1$。

2. 列出信賴區間長度公式：

• 原始信賴區間長度： $L_1 = 2 \cdot t_{\alpha/2, n_1-1} \cdot \frac{s_1}{\sqrt{n_1}}$
• 新的信賴區間長度： $L_2 = 2 \cdot t_{\alpha/2, n_2-1} \cdot \frac{s_2}{\sqrt{n_2}}$

3. 計算標準誤的變化倍數： 將 $n_2 = 9 n_1$ 與 $s_2 = 3 s_1$ 代入新的標準誤項 $\frac{s_2}{\sqrt{n_2}}$：

核心觀念

本題考查「母體標準差未知且母體為常態分布」時，如何利用單一母體平均數的 $t$ 檢定判斷是否支持左尾對立假設。

假設為：

因為母體標準差未知，使用樣本標準差 $s$ 估計，檢定統計量為：

其中 $\mu_0=25$。

由於是左尾檢定，$t$ 值越小、越負，表示樣本平均數相對於 $25$ 越低，且樣本變異程度越小，越有利於支持 $H_A:\mu<25$。

解題方法

四個選項的樣本數 $n$ 相同，因此比較：

共同的 $\sqrt n$ 不影響選項間的比較，只需比較：

各選項計算如下：

• (A)：

• (B)：

• (C)：

• (D)：

比較其負值大小：

因此 (A) 的檢定統計量最負，最能支持左尾對立假設 $H_A:\mu<25$。

選項分析

(A) $\bar X=20,\ s=3$

核心觀念

本題考查偏態分配下平均值與中位數的相對位置。

「正斜分配」又稱右偏分配，資料分布的右側具有較長的尾巴，少數較大的極端值會將平均值向右拉動。因此，典型的相對位置為：

正斜分配的偏態係數通常為正值。

解題方法

判斷正斜分配時，先觀察資料尾端方向：

• 右側尾巴較長：正斜分配。
• 左側尾巴較長：負斜分配。

正斜分配中，右側少數極大值會提高算術平均值，但中位數只取決於資料排序後的中間位置，受到極端值影響較小。因此：

所以中位數小於平均值。

選項分析

• (A) 中位數等於平均值：錯誤。 平均值等於中位數通常是對稱分配的特徵。正斜分配中，右側極端大值會使平均值大於中位數，兩者一般不相等。

核心觀念

本題考查假設檢定中 $P$-值的定義與解釋。

在虛無假設 $H_0$ 成立的前提下，$P$-值表示「觀察到目前樣本結果，或比目前結果更極端結果」的機率：

$P$-值越小，代表在 $H_0$ 為真的情況下，目前觀察結果越不尋常，因此反對 $H_0$ 的證據越強。

若設定顯著水準為 $\alpha$，假設檢定的判斷規則為：

其中 $\alpha$ 常設定為 $0.05$，但 $\alpha$ 是事前設定的顯著水準，不是每次檢定所得的 $P$-值。

解題方法

判斷本題各選項時，應區分三個概念：

1. 型一錯誤機率：在 $H_0$ 為真時，卻拒絕 $H_0$ 的機率，記為 $\alpha$。
2. $P$-值：假設 $H_0$ 為真時，觀察到目前或更極端樣本結果的機率。
3. 拒絕規則：比較 $P$-值與顯著水準 $\alpha$ 的大小。

因此，只要掌握「$P$-值越小，反對 $H_0$ 的證據越強」，即可判斷正確選項。

選項分析

(A) $P$-值為型一錯誤的機率

錯誤。

型一錯誤是「$H_0$ 為真，卻拒絕 $H_0$」，其機率為顯著水準 $\alpha$：

核心觀念

本題考查兩變數線性迴歸係數與相關係數的關係。

令

若 $Y$ 對 $X$ 的迴歸係數為 $b_{YX}$，則

因此：

本題省略資料依標準題意補為：

其中 $\hat X=0.80+\cdots$ 中的 $0.80$ 為截距，不影響相關係數的計算。

解題方法

由題目給定：

所以：

代入公式：

核心觀念

本題檢定的是 3 家廠商的市場占有率是否相等，資料是消費者分別歸屬於 A、B、C 三類的「人數」，因此應使用卡方適合度檢定（chi-square goodness-of-fit test），而非變異數分析。

設 A、B、C 的市場占有率分別為 $p_A,p_B,p_C$，則假設為：

以命題當年（民國 111 年）法規為準；本題不涉及法條適用。

解題方法

樣本總數為 $120$ 人。若市場占有率相等，則各廠商的期望人數為：

觀察人數為：

Pearson 卡方檢定統計量為：

代入資料：

自由度為：

在 $\alpha=0.05$ 下，卡方適合度檢定採右尾檢定。自由度為 $2$ 時，上尾臨界值為：

因為：

所以不拒絕 $H_0$。

本題的 $P$-值為：

因此：

結論是：在顯著水準 $0.05$ 下，沒有足夠證據認定 3 家飲料廠商的市場占有率不同。

核心觀念

本題考查「卡方適合度檢定」的自由度。

將樣本可能範圍等間距分成 $k$ 組，若母體分配已完全指定，且未使用樣本資料估計任何參數，卡方適合度檢定統計量的自由度為：

本題已知隨機變數的可能範圍，並分成 $5$ 組，因此 $k=5$。

由於假設為均勻分配，每組的理論機率為：

樣本數為 $n=100$，故各組期望觀察次數為：

卡方適合度檢定統計量為：

五組觀察次數的總和必須等於樣本總數 $100$：

因此，前四組的觀察次數確定後，第五組即被總和條件決定，只有 $5-1=4$ 個獨立資訊。

解題方法

本題的均勻分配範圍已知，分組界線已知，且均勻分配不需由樣本估計參數。因此不需額外扣除參數估計所消耗的自由度。

套用公式：

核心觀念

本題考查中央極限定理與樣本平均數的抽樣分配。

若母體平均數為 $\mu$、母體變異數為 $\sigma^2$，樣本數為 $n$，則在樣本數夠大時，樣本平均數 $\bar X$ 的抽樣分配近似為：

其中：

• 抽樣分配的平均數為 $\mu$
• 抽樣分配的變異數為 $\dfrac{\sigma^2}{n}$
• $\dfrac{\sigma}{\sqrt n}$ 為樣本平均數的標準誤

本題提供樣本平均數 $\bar x=10$、樣本標準差 $s=10$，因此以樣本統計量估計母體參數：

解題方法

樣本數為：

樣本標準差為 $s=10$，故母體變異數以：

估計。樣本平均數抽樣分配的變異數為：

抽樣分配的平均數則約等於母體平均數，而母體平均數以樣本平均數估計：

因此：

核心觀念

設事件：

• $A$：抽出的同學有打工經驗，且 $P(A)=0.6$
• $B$：抽出的同學有意願繼續就讀研究所，且 $P(B)=0.7$

題目所問為同時符合兩項條件的機率，即交集機率 $P(A\cap B)$。

已知兩事件邊際機率時，交集機率的範圍為：

代入題目資料：

因此：

題目並未說明打工經驗與就讀研究所意願彼此獨立，因此不能直接將兩者機率相乘。

解題方法

交集機率的上限不能超過任一事件本身的機率，因此：

交集機率的下限可由聯集機率不超過 $1$ 推得：

所以：

故同時具有打工經驗且有意願繼續就讀研究所的機率，只能確定介於 $0.3$ 與 $0.6$ 之間。

若題目另行說明兩事件獨立，才可以計算：

核心觀念

本題旨在考驗隨機變數經**線性轉換（Linear Transformation）**後的統計性質變化，涵蓋期望值（平均數）、變異數、標準差以及兩隨機變數間相關係數的推導。

設隨機變數 $X$ 經過線性轉換 $W = aX + b$（其中 $a, b$ 為實數常數）：

1. 期望值（平均數）線性性質： $E(aX + b) = a \cdot E(X) + b$
2. 變異數性質： $Var(aX + b) = a^2 \cdot Var(X)$ （常數 $b$ 的加減僅代表資料位置的平移，不改變資料離散程度）
3. 標準差性質： $\sigma_{aX+b} = |a| \cdot \sigma_X$
4. 線性轉換之相關係數： 若 $W = aX + b$，則 $X$ 與 $W$ 的相關係數為： $\rho_{X, W} = \text{Corr}(X, aX + b) = \begin{cases} 1, & \text{若 } a > 0 \\ -1, & \text{若 } a < 0 \end{cases}$

解題方法

由題目已知隨機變數 $x$ 的母體參數：

• 平均數 $E(x) = 15$
• 標準差 $\sigma_x = 4 \implies$ 變異數 $Var(x) = \sigma_x^2 = 4^2 = 16$

兩線性變換隨機變數分別為 $y = 2x$（即 $a=2, b=0$）與 $z = x - 15$（即 $a=1, b=-15$）。

步驟一：求 $y$ 的統計量

• 平均數： $E(y) = E(2x) = 2 \cdot E(x) = 2 \times 15 = 30$
• 變異數： $Var(y) = Var(2x) = 2^2 \cdot Var(x) = 4 \times 16 = 64$
• 標準差： $\sigma_y = |2| \cdot \sigma_x = 2 \times 4 = 8$

步驟二：求 $z$ 的統計量

• 平均數： $E(z) = E(x - 15) = E(x) - 15 = 15 - 15 = 0$
• 變異數：

核心觀念

本題考察單因子變異數分析（One-way ANOVA）分析表中各項數值的計算關係：

• 總平方和 = 組間平方和 + 組內平方和
• 總自由度 = 組間自由度 + 組內自由度
• 平均平方和 = 平方和 ÷ 自由度
• $F$ 統計量 = 組間平均平方和 ÷ 組內平均平方和

解題方法

由表中資料：

因此：

組間平均平方和為：

組間 $F$ 統計量為：

核心觀念

本題考查「母體比例 $p$ 的估計」之樣本數決定。當以樣本比例 $\hat p$ 估計母體比例 $p$ 時，其信賴區間的誤差界限為

其中：

• $E$：估計誤差，本題為 $3\%=0.03$
• $z_{\alpha/2}$：信心水準所對應的標準常態臨界值
• $p$：母體比例
• $n$：所需樣本數

本題未提供先驗支持度 $p$，因此採用最保守的 $p=0.5$。因為

在 $p=0.5$ 時達到最大值 $0.25$，可確保樣本數足以符合誤差要求。

解題方法

95% 信心水準的標準常態臨界值為

樣本數公式為

代入

得

樣本數必須向上取整，因此

核心觀念

本題考查**單一母體比例之大樣本假設檢定（Large-Sample Test for a Population Proportion）與標準化檢定統計量（Standardized Test Statistic）**之計算。

1. 基本假設： 候選人欲檢定得票率是否大於 $50\%$（勝選門檻），設立右尾檢定： $H_0: p \le 0.5 \quad \text{vs} \quad H_1: p > 0.5$ 其中 $p_0 = 0.5$ 為虛無假設下的母體比例基準值。

2. 常態近似條件： 當樣本數 $n$ 夠大，且滿足 $n p_0 \ge 5$ 與 $n (1 - p_0) \ge 5$ 時，依據中央極限定理（CLT），樣本比例 $\hat{p}$ 近似服從常態分布： $\hat{p} \sim N\left(p_0, \; \frac{p_0(1-p_0)}{n}\right)$

3. 標準化檢定統計量公式： $Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}$

解題方法

步驟一：整理題目已知條件

• 抽樣總人數（樣本數）：$n = 400$
• 支持該候選人人數：$X = 228$
• 虛無假設母體比例：$p_0 = 0.5$
• 樣本得票率（樣本比例）： $\hat{p} = \frac{X}{n} = \frac{228}{400} = 0.57$

步驟二：計算虛無假設下的標準誤（Standard Error, SE） $\text{SE}(\hat{p}) = \sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}} = \sqrt{\frac{0.5 \times (1 - 0.5)}{400}} = \sqrt{\frac{0.25}{400}} = \frac{0.5}{20} = 0.025$

核心觀念

統計學依其目的與分析範疇主要分為兩大分支：

1. 敘述統計（Descriptive Statistics）：著重於資料的蒐集、整理、圖表陳示與特徵值計算（如平均數、中位數、標準差等），目的在於清楚描述「已蒐集到的樣本或資料」本身之特性，不對母體做進一步的推測或預測。
2. 推論統計（Inferential Statistics）：利用隨機抽樣取得的「樣本統計量」（如樣本平均數 $\bar{X}$、樣本比例 $\hat{p}$），在具有不確定性與機率基礎下，對「未知母體參數」（如母體平均數 $\mu$、母體比例 $p$）進行估計（Estimation）或假設檢定（Hypothesis Testing）。

解題方法

1. 題幹條件剖析：

• 抽樣樣本數 $n = 100$。
• 樣本平均數 $\bar{x} = 3.1$（此為樣本統計量）。
• 目的：「用上述結果來估計此大學所有學生（母體）之平均 GPA $\mu$」。

2. 切入點與判斷：

• 題目的核心操作是「以局部樣本資訊（$n=100$ 的 GPA），去對整體母體特徵（全校學生 GPA）做出估計」。
• 此種「以樣本推論母體」的過程，完全符合推論統計（Inferential Statistics）之定義（具體而言屬於推論統計中的「點估計」）。

核心觀念

本題考查二維列聯表中的「聯合事件比例」，即同時符合兩個條件的事件數，除以全部事件數。

所求事件為：

• 酒駕：是
• 牽涉汽車數：1 輛

因此應取表中「酒駕是、牽涉 1 輛汽車」的交叉格數值 $60$。

解題方法

全部意外事件共有 $500$ 件，符合兩項條件的意外事件有 $60$ 件，因此比例為：

所以正確選項為 (B)。

選項分析

• (A) 0.08：錯誤。$0.08$ 並非本題所求聯合事件比例。
• (B) 0.12：正確。計算為 $\frac{60}{500}=0.12$。
• (C) 0.2：錯誤。

核心觀念

1. 樣本平均數的抽樣分配（Sampling Distribution of $\bar{X}$）： 若母體服從常態分配 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，則自該母體抽取樣本數為 $n$ 的簡單隨機樣本時，其樣本平均數 $\bar{X}$ 亦精確服從常態分配： $\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$ 其中樣本平均數的標準差（又稱標準誤，Standard Error）為： $\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

2. 標準化（Standardization）與 $Z$ 轉換： 將 $\bar{X}$ 轉換為標準常態隨機變數 $Z \sim N(0, 1)$： $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma_{\bar{X}}} = \frac{\bar{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

3. 常態分配的「經驗法則（68-95-99.7 法則）」：

• $P(-1 \le Z \le 1) \approx 0.68 \implies P(Z > 1) \approx \frac{1 - 0.68}{2} = 0.16$
• $P(-2 \le Z \le 2) \approx 0.95 \implies P(Z > 2) \approx \frac{1 - 0.95}{2} = 0.025$（精確值為 $0.0228$）
• $P(-3 \le Z \le 3) \approx 0.997 \implies P(Z > 3) \approx \frac{1 - 0.997}{2} = 0.0015$

解題方法

步驟一：設定母體參數與抽樣條件

• 母體平均數 $\mu = 300$
• 母體標準差 $\sigma = 35$
• 樣本數 $n = 4$

步驟二：求樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分配 因為母體為常態分配，故樣本平均數 $\bar{X}$ 服從常態分配：

• $\bar{X}$ 的期望值：$\mu_{\bar{X}} = \mu = 300$
• $\bar{X}$ 的標準誤：$\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{35}{\sqrt{4}} = \frac{35}{2} = 17.5$

即 $\bar{X} \sim N(300, 17.5^2)$。

核心觀念

本題測驗「大樣本下母體平均數 $\mu$ 的區間估計（Confidence Interval for Population Mean）」。

1. 中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）： 當樣本數 $n \ge 30$（本題 $n = 100$）時，不論母體分配為何，根據中央極限定理，樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分配皆會近似常態分配。
2. 標準誤（Standard Error, $SE$）： $SE = \sigma_{\bar{X}} \approx \frac{s}{\sqrt{n}}$ 其中 $s$ 為樣本標準差，$n$ 為樣本數。
3. 母體平均數 $\mu$ 之 $100(1-\alpha)\%$ 信賴區間公式： $\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$ 在 $95\%$ 信賴水準下（$\alpha = 0.05$），雙尾臨界值 $z_{0.025} = 1.96$（速算或經驗法則常取 $z \approx 2$）。

解題方法

步驟一：整理已知條件

• 樣本數：$n = 100$
• 樣本平均數：$\bar{x} = 20$（小時）
• 樣本標準差：$s = 5$（小時）
• 信賴水準：$1 - \alpha = 0.95 \implies z_{0.025} = 1.96$

步驟二：計算標準誤（$SE$） $SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{5}{\sqrt{100}} = \frac{5}{10} = 0.5$

步驟三：計算誤差界限（Margin of Error, $E$） $E = z_{\alpha/2} \cdot SE = 1.96 \times 0.5 = 0.98$

核心觀念

本題評量描述統計學中衡量資料「相對離散程度」的**變異係數（Coefficient of Variation, $CV$）**及其相關統計量公式：

1. 樣本平均數（Sample Mean, $\bar{x}$）： $\bar{x} = \frac{\sum x}{n}$
2. 離差平方和（Sum of Squares, $SS_{xx}$）： $SS_{xx} = \sum (x - \bar{x})^2 = \sum x^2 - \frac{(\sum x)^2}{n}$
3. 樣本變異數（Sample Variance, $s^2$）與樣本標準差（Sample Standard Deviation, $s$）： $s^2 = \frac{SS_{xx}}{n - 1}$ $s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{SS_{xx}}{n - 1}}$
4. 變異係數（$CV$）： $CV = \frac{s}{\bar{x}}$ 變異係數為無單位（無量綱）的指標，用於比較平均數不同或單位不同的兩組資料之離散程度。

解題方法

步驟一：計算樣本平均數 $\bar{x}$ 已知樣本數 $n = 100$，$\sum x = 300$： $\bar{x} = \frac{300}{100} = 3$

步驟二：計算離差平方和 $SS_{xx}$ 已知 $\sum x^2 = 925$： $SS_{xx} = \sum x^2 - \frac{(\sum x)^2}{n} = 925 - \frac{300^2}{100} = 925 - 900 = 25$

步驟三：計算樣本變異數 $s^2$ 與樣本標準差 $s$ 因資料為「樣本」，分母須除以自由度 $n - 1 = 100 - 1 = 99$： $s^2 = \frac{25}{99} \approx 0.2525$

核心觀念

本題考查機率論中「機率的三大賦予方式」（機率定義）：

1. 古典機率法則（Classical Probability Approach）：建立在「對稱性」與「等可能發生（Equally Likely）」的假設上。若一隨機實驗之樣本空間 $S$ 包含 $N$ 個彼此互斥且發生的可能性均相同的基本事件，則事件 $A$ 發生的機率定義為： $P(A) = \frac{n(A)}{N}$
2. 相對次數法（Relative Frequency / Empirical Approach）：建立在「大量重複實驗」或「歷史經驗數據」之上（大數法則）。當實驗在相同條件下重複進行 $n$ 次，若事件 $A$ 出現 $f$ 次，則當 $n$ 趨近於無限大時，事件 $A$ 的機率收斂為極限值： $P(A) = \lim_{n \to \infty} \frac{f}{n}$
3. 主觀機率法（Subjective Probability Approach）：當實驗無法大量重複，且不具備客觀對稱性或歷史經驗數據時，由個人憑藉專業判斷、信念、當前資訊或直覺所賦予的機率衡量。

解題方法

逐一剖析題目給定的 3 種情形：

1. 情形 ①：「美國人將贏明年法國公開賽」

• 分析：運動賽事受選手狀態、傷病、籤表及個人實力等多重動態因素影響，屬於不可精確重複且不具備「等可能發生」性質的單一未來事件。此評估結果完全取決於個人或專家對現況的信念與主觀估計。
• 歸類：主觀認定法。

2. 情形 ②：「公平骰子之任一點出現機率為 $1/6$」

• 分析：題目明確指出為「公平（fair）」骰子，代表 6 個點數出現的機會完全均等（等可能性）。樣本空間總事件數 $N = 6$，任一點數出現 $n(A) = 1$，無須透過實作投擲實驗即可由結構對稱性推導機率為 $1/6$。

核心觀念

本題考查 $F$ 分配（$F$-distribution）的倒數性質（Reciprocal Property）與臨界值（百分位數）轉換公式。

1. 倒數定理：若隨機變數 $X$ 服從分子自由度為 $\nu_1$、分母自由度為 $\nu_2$ 的 $F$ 分配，記作 $X \sim F(\nu_1, \nu_2)$，則其倒數 $Y = \frac{1}{X}$ 服從自由度對調的 $F$ 分配，即 $Y \sim F(\nu_2, \nu_1)$。
2. 臨界值轉換公式：設 $F_{\alpha, \nu_1, \nu_2}$ 表示自由度為 $(\nu_1, \nu_2)$ 且右尾機率為 $\alpha$ 的 $F$ 分配臨界值，則小於 $0.5$ 之右尾臨界值與左尾臨界值 $F_{1-\alpha, \nu_1, \nu_2}$ 存在如下倒數關係： $F_{1-\alpha, \nu_1, \nu_2} = \frac{1}{F_{\alpha, \nu_2, \nu_1}}$

解題方法

步驟一：推導臨界值倒數關係 設 $X \sim F(\nu_1, \nu_2)$，根據右尾機率與臨界值之定義： $P(X \ge F_{1-\alpha, \nu_1, \nu_2}) = 1 - \alpha$ 取其餘集事件之機率： $P(X \le F_{1-\alpha, \nu_1, \nu_2}) = \alpha$ 因為 $X > 0$ 且臨界值均為正實數，對不等式兩端同時取倒數（不等號方向改變）： $P\left(\frac{1}{X} \ge \frac{1}{F_{1-\alpha, \nu_1, \nu_2}}\right) = \alpha$ 由倒數定理可知 $\frac{1}{X} \sim F(\nu_2, \nu_1)$，故使 $\frac{1}{X}$ 之右尾累積機率等於 $\alpha$ 的臨界值即定義為 $F_{\alpha, \nu_2, \nu_1}$。因此導出： $F_{\alpha, \nu_2, \nu_1} = \frac{1}{F_{1-\alpha, \nu_1, \nu_2}} \implies F_{1-\alpha, \nu_1, \nu_2} = \frac{1}{F_{\alpha, \nu_2, \nu_1}}$

核心觀念

在簡單線性迴歸模型 $y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon_i$ （其中殘差項 $\epsilon_i \overset{iid}{\sim} N(0, \sigma^2)$）中，當給定特定自變數值 $x = x_0$ 時，針對應變數 $y$ 的區間估計可分為以下兩種：

1. $y$ 平均值之區間估計（信賴區間，Confidence Interval, CI）：估計母體條件期望值 $E(y_0|x_0) = \mu_{y|x_0}$，反映的是整體趨勢平均位置的不確定性（抽樣變異）。
2. $y$ 特定值之區間估計（預測區間，Prediction Interval, PI）：預測未來單一個體觀測值 $y_0 = \beta_0 + \beta_1 x_0 + \epsilon_0$，不僅包含平均位置的不確定性，還額外包含該單一個體本身的個體隨機誤差 $\epsilon_0$。