核心觀念

本題考查資料庫正規化、功能相依性、主鍵與外鍵，以及由關聯綱目繪製 E-R 圖。

原始資料混合了：

• 學生基本資料
• 多值電話
• 緊急聯絡人資料
• 學期資料
• 科目資料
• 教師資料
• 學生成績資料

若全部放在同一張表，會產生資料重複、插入異常、刪除異常及更新異常，因此需拆解成多張具明確功能的資料表。

正規化重點如下：

1. 第一正規化（1NF）：每個欄位只能存放不可再分割的單一值，因此學生的兩支電話不可放在同一欄。
2. 第二正規化（2NF）：非主鍵欄位必須完全相依於整個主鍵，不可只相依於複合主鍵的一部分。
3. 第三正規化（3NF）：非主鍵欄位不可透過其他非主鍵欄位間接相依。

本題以「同一學期中，每一科目由一位教師授課」為資料規則，並將「編號 P110233」視為該學生該學期的成績單編號。

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解題方法

由原始資料可判斷下列功能相依性：

• 學號 $\rightarrow$ 姓名、性別、生日、聯絡住址
• 教師編號 $\rightarrow$ 教師姓名
• 科目代號 $\rightarrow$ 科目名稱、學分、選別、教師編號
• 編號 $\rightarrow$ 學號、學期
• （編號、科目代號）$\rightarrow$ 成績

電話欄位有兩個值：

$$29123334,\quad 0911222333$$

因此電話必須另拆成多筆資料，形成獨立的學生電話表。

成績則是「某一份成績單中的某一科成績」，因此必須以：

$$(\text{編號},\text{科目代號})$$

作為複合主鍵。

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（一）正規化後的資料表

1. 學生資料表

$$\text{學生}(\underline{\text{學號}},\ \text{姓名},\ \text{性別},\ \text{生日},\ \text{聯絡住址})$$

資料如下：

學號	姓名	性別	生日	聯絡住址
410552223	陳 OO	F	2001/10/5	OO 市 OO 區 OO 路 ** 號

主鍵為學號，因為每位學生具有唯一學號。

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2. 學生電話表

$$\text{學生電話}(\underline{\text{學號},\ \text{電話}})$$

資料如下：

學號	電話
410552223	29123334
410552223	0911222333

此表採用複合主鍵 $(\text{學號},\text{電話})$，避免同一位學生的不同電話互相衝突。

其中學號為外鍵，參照「學生」表的學號。

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3. 緊急聯絡人表

$$\text{緊急聯絡人}(\underline{\text{學號}},\ \text{緊急聯絡人姓名},\ \text{關係},\ \text{緊急聯絡人住址})$$

資料如下：

學號	緊急聯絡人姓名	關係	緊急聯絡人住址
410552223	陳 OO	父親	OO 市 OO 區 OO 路 ** 號

本題資料中每位學生只有一位緊急聯絡人，因此以學號作為主鍵，形成學生與緊急聯絡人的一對一關係。

若實際系統允許同一學生登錄多位緊急聯絡人，則此表可改用「緊急聯絡人編號」作為主鍵；本題依題目資料採用學號主鍵。

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4. 學期成績單表

$$\text{學期成績單}(\underline{\text{編號}},\ \text{學號},\ \text{學期})$$

資料如下：

編號	學號	學期
P110233	410552223	110_01

其中：

• 編號為主鍵。
• 學號為外鍵，參照「學生」表。
• 學號與學期也可設定為候選鍵，表示同一學生在同一學期只有一份成績單。

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5. 教師表

$$\text{教師}(\underline{\text{教師編號}},\ \text{教師姓名})$$

資料如下：

教師編號	教師姓名
T01245	王 OO
T04578	李 OO
T06543	趙 OO
T06578	陳 OO

教師姓名只依賴教師編號，因此獨立建立教師表，可避免教師姓名在多筆科目資料中重複。

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6. 科目表

$$\text{科目}(\underline{\text{科目代號}},\ \text{科目名稱},\ \text{學分},\ \text{選別},\ \text{教師編號})$$

資料如下：

科目代號	科目名稱	學分	選別	教師編號
C10032	國文	3	必	T01245
C20015	英文	3	必	T04578
C60001	網頁設計	2	選	T06543
C60012	程式語言	4	必	T06543
C61001	計算機概論	3	必	T06578

其中教師編號為外鍵，參照「教師」表。

在本題資料規則下，一個科目對應一位授課教師，因此：

$$\text{科目代號}\rightarrow\text{教師編號}$$

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7. 修課成績表

$$\text{修課成績}(\underline{\text{編號},\ \text{科目代號}},\ \text{成績})$$

資料如下：

編號	科目代號	成績
P110233	C10032	85
P110233	C20015	86
P110233	C60001	78
P110233	C60012	65
P110233	C61001	88

主鍵為複合主鍵：

$$(\text{編號},\text{科目代號})$$

理由是：

核心觀念

本題考查 SQL 的下列觀念：

• WHERE：先篩選符合條件的資料列。
• GROUP BY：依指定欄位分組。
• AVG：計算平均值。
• MAX、MIN：分別取得最大值與最小值。
• 欄位別名：使用 AS 重新命名輸出欄位。
• JOIN：連結教師表與系所表，以系所中文名稱查詢教師資料。

題目指定以民國 111 年為基準，因此「到校 10 年（含）以上」表示：

$$111-\text{ArrivalYear}\geq 10$$

整理得：

$$\text{ArrivalYear}\leq 101$$

以下解答均以命題當年（民國 111 年）法規為準；本題不涉及法條。

解題方法

（一）對所有專任教師，依性別列出平均薪資

專任教師的條件是 Separate = 'Y'。篩選後，再依 Sex 分組，並使用 AVG(Salary) 計算各性別的平均薪資。

SELECT Sex, AVG(Salary) AS AvgSalary
FROM Teacher
WHERE Separate = 'Y'
GROUP BY Sex;

說明：

1. WHERE Separate = 'Y' 篩選專任教師。
2. GROUP BY Sex 將資料依性別分組。
3. AVG(Salary) 計算每一組的平均薪資。
4. AS AvgSalary 將平均薪資欄位命名為 AvgSalary。

（二）列出「企管系」教師最高薪資與最低薪資的差距

「企管系」是系所中文名稱，存放於 Department.DeptName，因此必須以 DeptNo 作為連接條件連結兩個資料表。

薪資差距的計算公式為：

$$\text{DiffSalary}=\max(\text{Salary})-\min(\text{Salary})$$

SQL 指令如下：

SELECT MAX(T.Salary) - MIN(T.Salary) AS DiffSalary
FROM Teacher AS T
JOIN Department AS D
 ON T.DeptNo = D.DeptNo
WHERE D.DeptName = '企管系';

說明：

1. JOIN Department AS D 將教師表與系所表連結。
2. ON T.DeptNo = D.DeptNo 是兩表的連接條件。
3. WHERE D.DeptName = '企管系' 篩選企管系教師。

核心觀念

本題考查分類資料的加權統計、條件機率，以及決策樹分類。

表中的「人數」是各類客戶的權數，因此計算購買率時，必須加總人數，不能只計算資料列數。

購買機率公式為：

$$P(\text{購買}\mid \text{分類條件}) = \frac{\text{符合條件且購買的人數}} {\text{符合條件的總人數}}$$

決策樹則是依據各特徵對「買／沒買」的區分能力進行分割。若某分支分割後全部屬於同一類別，即達到純分類，便可直接形成葉節點。

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（一）最有效的客戶分類

解題方法

比較各項分類中「購買筆電」的比例。

分類條件	購買人數	總人數	購買率
年齡：青年	$96$	$350$	$27.43\%$
年齡：中年	$244$	$244$	$100\%$
年齡：老年	$252$	$416$	$60.58\%$
收入：高	$130$	$254$	$51.18\%$
收入：中	$290$	$520$	$55.77\%$
收入：低	$172$	$236$	$72.88\%$
學生：否	$164$	$518$	$31.66\%$
學生：是	$364$	$428$	$85.05\%$
信用：良	$446$	$636$	$70.13\%$
信用：優	$146$	$374$	$39.04\%$

其中，若以「單一分類特徵」作為銷售對象判斷，「學生＝是」的購買率為 $85.05\%$，高於其他分類條件，因此最能直接說明銷售成效。

解題技巧

判斷銷售對象時，重點是比較條件購買率，而不是比較購買總人數。購買總人數最多的分類，不一定代表購買意願最高。

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（二）中年客群購買機率

計算

中年客群共有：

$$100+50+64+30=244\text{ 人}$$

其中購買筆電的人數為：

$$100+50+64+30=244\text{ 人}$$

因此：

$$P(\text{購買}\mid \text{中年}) = \frac{244}{244} =1 =100\%$$

原因說明

表中所有年齡為「中年」的客戶資料，其「購買筆電」欄均為「買」，沒有任何中年客戶標記為「沒買」。

核心觀念

本題考查費氏數列的遞迴定義、迴圈迭代，以及遞迴搭配記憶化（Memoization）的最佳化方法。

費氏數列定義如下：

$$F(n)=F(n-1)+F(n-2),\quad n>0$$ $$F(0)=0,\qquad F(1)=1$$

其中：

• $F(0)$、$F(1)$是遞迴終止條件。
• $F(n)=F(n-1)+F(n-2)$是遞迴關係式。
• 未設定終止條件時，函式會無限遞迴。

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解題方法

（一）以遞迴方式撰寫

依照題目定義，當 $n=0$ 或 $n=1$ 時直接回傳結果；當 $n>1$ 時，依遞迴關係計算。

int fibonacci_recursive(int n)
{
 if (n == 0)
 return 0;

 if (n == 1)
 return 1;

 return fibonacci_recursive(n - 1)
 + fibonacci_recursive(n - 2);
}

也可以合併兩個基本條件：

int fibonacci_recursive(int n)
{
 if (n <= 1)
 return n;

 return fibonacci_recursive(n - 1)
 + fibonacci_recursive(n - 2);
}

例如：

$$F(4)=F(3)+F(2)$$ $$F(3)=F(2)+F(1)$$ $$F(2)=F(1)+F(0)$$

因此：

$$F(4)=3$$

此方法直接呈現數學定義，但會重複計算相同的子問題，時間複雜度約為 $O(2^n)$，空間複雜度為遞迴深度 $O(n)$。

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（二）以非遞迴方式撰寫

非遞迴方式使用兩個變數保存前兩項：

• prev2：代表前前項
• prev1：代表前一項
• current：代表目前計算出的項目

int fibonacci_iterative(int n)
{
 if (n <= 1)
 return n;

 int prev2 = 0; // F(0)
 int prev1 = 1; // F(1)
 int current;

 for (int i = 2; i <= n; i++)
 {
 current = prev1 + prev2;
 prev2 = prev1;
 prev1 = current;
 }

 return prev1;
}

計算 $F(6)$時，變數變化如下：

$i$	目前項目	prev2	prev1
初始	—	$F(0)=0$	$F(1)=1$
2	$F(2)=1$	1	1
3	$F(3)=2$	1	2
4	$F(4)=3$	2	3
5	$F(5)=5$	3	5
6	$F(6)=8$	5	8

因此：

$$F(6)=8$$

此方法每一項只計算一次，時間複雜度為 $O(n)$，額外空間複雜度為 $O(1)$。

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核心觀念

本題考查兩個重點：

1. 字串格式檢查

• 員工代號必須為長度 6 的數字字串。
• 前 5 碼轉換成數字後相加。
• 第 6 碼必須等於前 5 碼總和的個位數。

2. 檔案逐筆讀取與部門彙總

• 逐筆讀取人事資料。
• 只有員工代號正確的資料才納入統計。
• 依部門代號累計 s_salary。
• 最後列出合計超過 $100{,}000$ 元的部門。

驗證公式為：

$$\text{第 6 碼} = \left(\sum_{i=1}^{5}\text{第 }i\text{ 碼}\right)\bmod 10$$

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（一）check_dit 函式

解題方法

以字串方式處理員工代號，原因如下：

• 可直接判斷長度是否為 6。
• 可逐一檢查每一個字元是否為數字。
• 可避免員工代號開頭為 0 時，轉成整數後遺失前導零。

函式回傳值定義如下：

• 回傳 1：員工代號正確。
• 回傳 0：員工代號錯誤。

C 語言程式碼

#include <stdio.h>
#include <string.h>

int check_dit(const char emp_id[])
{
 int i;
 int sum = 0;
 int last_digit;

 /* 員工代號必須剛好為 6 碼 */
 if (strlen(emp_id) != 6)
 return 0;

 /* 前 5 碼必須都是數字 */
 for (i = 0; i < 5; i++) {
 if (emp_id[i] < '0' || emp_id[i] > '9')
 return 0;

 sum += emp_id[i] - '0';
 }

 /* 第 6 碼也必須為數字 */
 if (emp_id[5] < '0' || emp_id[5] > '9')
 return 0;

 last_digit = emp_id[5] - '0';

 /* 檢查第 6 碼是否為前 5 碼總和的個位數 */
 if (last_digit != sum % 10)
 return 0;

 return 1;
}

資料驗證

員工代號	前 5 碼總和	正確個位數	實際第 6 碼	判定
123455	$1+2+3+4+5=15$	5	5	正確
987655	$9+8+7+6+5=35$	5	5	正確
A12345	含有英文字母	—	—	錯誤
123455	$1+2+3+4+5=15$	5	5	正確
12345	長度為 5	—	—	錯誤
234561	$2+3+4+5+6=20$	0	1	錯誤

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（二）main 函式

解題方法

使用陣列儲存各部門的累計特別費：

dep_sum[i]

代表：

dep_id_list[i]

部門的特別費合計。

每讀取一筆資料時：

1. 呼叫 check_dit。
2. 員工代號錯誤時跳過該筆資料。
3. 員工代號正確時，尋找部門代號。
4. 找到既有部門便累加金額。
5. 找不到部門便新增一筆部門資料。
6. 檔案讀取完畢後，列出合計超過 $100{,}000$ 元的部門。

C 語言完整程式碼

假設檔案每行格式如下：

emp-id dep-id age s_salary

程式碼如下：

核心觀念

快速排序法（Quick Sort）採用「分割與征服」（Divide and Conquer）策略，核心步驟如下：

1. 選擇一個元素作為基準值（pivot）。
2. 將陣列重新排列，使得：

• 小於等於 pivot 的元素位於左側；
• 大於 pivot 的元素位於右側。

3. 對 pivot 左右兩側的子陣列遞迴執行相同程序。
4. 子陣列長度為 $0$ 或 $1$ 時，該子陣列必定已排序完成。

本題要求由小至大排序，因此分割時需將較小元素放在左方、較大元素放在右方。

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解題方法

採用 Lomuto 分割法，選擇目前處理區間的最後一個元素作為 pivot。

假設目前處理範圍為：

$$[left, right]$$

令：

$$pivot = A[right]$$

並以變數 $i$ 表示「小於等於 pivot 的元素」區域最後位置。由 $left$ 到 $right-1$ 逐一掃描：

• 若 $A[j] \le pivot$，表示該元素應放在左側，先將 $i$ 加一，再交換 $A[i]$ 與 $A[j]$。
• 掃描完成後，將 pivot 與 $A[i+1]$ 交換。
• 此時 pivot 已位於最終正確位置 $i+1$。

分割完成後，再分別處理：

$$[left, i]$$

以及：

$$[i+2, right]$$

因為 pivot 位於 $i+1$，不必再參與遞迴。

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Python 參考實作

def QuickSort(arr):
 def partition(left, right):
 pivot = arr[right]
 i = left - 1

 for j in range(left, right):
 if arr[j] <= pivot:
 i += 1
 arr[i], arr[j] = arr[j], arr[i]

 arr[i + 1], arr[right] = arr[right], arr[i + 1]
 return i + 1

 def quick_sort(left, right):
 if left >= right:
 return

 pivot_index = partition(left, right)

 quick_sort(left, pivot_index - 1)
 quick_sort(pivot_index + 1, right)

 quick_sort(0, len(arr) - 1)
 return arr

範例：

data = [35, 12, 8, 26, 49, 17]
QuickSort(data)
print(data)

輸出：

[8, 12, 17, 26, 35, 49]

此寫法直接在原陣列上交換元素，屬於原地排序，最後回傳排序後的陣列。

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分割程序說明

以陣列：

$$[35, 12, 8, 26, 49, 17]$$

為例，第一次選擇最後元素 $17$ 為 pivot。

掃描後，所有小於等於 $17$ 的元素會被移至左側：

$$[12, 8, 17, 26, 49, 35]$$

此時 $17$ 已位於正確位置，接著分別對：