109 專技高考高等考試 大地工程技師 土壤力學（包括土壤動力學） 考古題詳解

109 年・專技高考・高等考試・大地工程技師
試題代碼 土壤力學（包括土壤動力學）

第 1 題20 分

下圖顯示滲流通過 130 mm×130 mm130\ \mathrm{mm}\times130\ \mathrm{mm} 方形斷面管內的三層土壤，左側供水面與右側溢流面之固定水位差為 400 mm400\ \mathrm{mm}。沿著滲流方向，三種土壤的滲透係數分別為：

kA=5.0×10−3 cm/s,kB=4.2×10−2 cm/s,kC=3.9×10−4 cm/sk_A=5.0\times10^{-3}\ \mathrm{cm/s},\quad k_B=4.2\times10^{-2}\ \mathrm{cm/s},\quad k_C=3.9\times10^{-4}\ \mathrm{cm/s}

試計算：

（一）通過三土層的滲流量（rate of flow），以 cm3/hr\mathrm{cm^3/hr} 作答。（10 分）

（二）2 支豎管水壓計中自由液面 hAh_A 及 hBh_B 之高度，以 mm\mathrm{mm} 作答。（10 分）

（圖示標示：hAh_A、hBh_B。）

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

三層土壤沿滲流方向串聯，穩定滲流時各層的流量相同；各層的水頭損失則依達西定律與滲透阻抗分配：

q=kAΔhL,Δhi=qLikiAq=kA\frac{\Delta h}{L}, \qquad \Delta h_i=\frac{qL_i}{k_iA}

因此，串聯土層的總水頭損失為各層水頭損失總和：

Δh=qA∑iLiki\Delta h =\frac{q}{A}\sum_i\frac{L_i}{k_i}

本題斷面積為 130 mm×130 mm130\ \mathrm{mm}\times130\ \mathrm{mm}，三層長度皆為 200 mm200\ \mathrm{mm}。

解題方法與計算

先統一單位為公分：

A=(13)(13)=169 cm2,LA=LB=LC=20 cm,Δh=40 cmA=(13)(13)=169\ \mathrm{cm^2},\qquad L_A=L_B=L_C=20\ \mathrm{cm},\qquad \Delta h=40\ \mathrm{cm}

串聯土層的總水力阻抗為：

∑iLiki=205.0×10−3+204.2×10−2+203.9×10−4=55758.24 s\sum_i\frac{L_i}{k_i} =\frac{20}{5.0\times10^{-3}} +\frac{20}{4.2\times10^{-2}} +\frac{20}{3.9\times10^{-4}} =55758.24\ \mathrm{s}

所以流量為：

q=AΔh∑iLi/ki=169(40)55758.24=0.12124 cm3/sq=\frac{A\Delta h}{\displaystyle\sum_i L_i/k_i} =\frac{169(40)}{55758.24} =0.12124\ \mathrm{cm^3/s}

換算成每小時：

q=0.12124(3600)=436.46 cm3/hrq=0.12124(3600) =436.46\ \mathrm{cm^3/hr}

各層水頭損失依其 Li/kiL_i/k_i 比例分配：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 2 題20 分

某一可壓縮黏土層之厚度為 4.0 m4.0\ \mathrm{m}，在雙向排水狀態壓密 1 年後，黏土層發生 50%50\% 的主壓密沉陷，壓密沉陷量為 80 mm80\ \mathrm{mm}。

若性質相同的黏土層厚度為 40 m40\ \mathrm{m}，承受相同的載重，壓密 1 年及 4 年後，在雙向排水狀況下，試計算將分別發生多少主壓密沉陷量？（20 分）

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考一維主壓密的時間因子與壓密度。對同一種黏土，壓密係數 cvc_v 相同；在相同排水條件下，平均壓密度 UU 由時間因子 TvT_v 決定：

Tv=cvtHdr 2T_v=\frac{c_v t}{H_{dr}^{\,2}}

其中 HdrH_{dr} 為最大排水距離。雙向排水時，HdrH_{dr} 等於土層厚度的一半。承受相同載重且土壤性質相同時，最終主壓密沉陷量與土層厚度成正比，而某時刻的沉陷量為

S(t)=U(t)SfS(t)=U(t)S_f

式中 SfS_f 為最終主壓密沉陷量。

解題方法

已知厚 4.0 m4.0\ \mathrm{m} 的黏土層雙向排水，壓密 1 年時 U=50%U=50\%，沉陷量為 80 mm80\ \mathrm{mm}。因此其最終沉陷量為

Sf,4=800.50=160 mmS_{f,4}=\frac{80}{0.50}=160\ \mathrm{mm}

厚度增為 40 m40\ \mathrm{m}，即為原來的 10 倍；相同載重與土壤性質下，最終沉陷量也增為 10 倍：

Sf,40=10(160)=1600 mmS_{f,40}=10(160)=1600\ \mathrm{mm}

接著比較兩種土層在指定時間的時間因子。原土層厚 4.0 m4.0\ \mathrm{m}，雙向排水距離為 2.0 m2.0\ \mathrm{m}；新土層厚 40 m40\ \mathrm{m}，排水距離為 20 m20\ \mathrm{m}。由 Tv=cvt/Hdr2T_v=c_vt/H_{dr}^2，相同時間下：

Tv,40Tv,4=(220)2=1100\frac{T_{v,40}}{T_{v,4}} =\left(\frac{2}{20}\right)^2 =\frac{1}{100}

所以新土層壓密 1 年的時間因子，等於原土層壓密 1 年時間因子的 1/1001/100；壓密 4 年的時間因子，則為原土層壓密 1 年時間因子的 4/1004/100。

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 3 題10 分

請詳細說明振動機械基礎（vibratory machine foundation）之設計，必須考慮哪幾項動力設計條件（dynamic design criteria）。（10 分）

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

振動機械基礎的設計，目的不只是讓基礎承受機械重量，而是要控制機械運轉時產生的週期性動力，使機械、基礎及周遭環境都能安全且正常運作。設計時須同時檢核「基礎的振動反應」、「傳至地盤及鄰近設施的振動」，以及「基礎與地盤的強度和穩定」。

可將機械與基礎簡化為受簡諧力作用的單自由度系統：

mx¨+cx˙+kx=F0sin⁡ωtm\ddot{x}+c\dot{x}+kx=F_0\sin\omega t

其中 mm 為機械與基礎的等效振動質量，cc 為等效阻尼，kk 為地盤與基礎的等效剛度，F0F_0 為動力振幅，ω\omega 為機械運轉角頻率。系統的自然角頻率為

ωn=km,fn=ωn2π\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}},\qquad f_n=\frac{\omega_n}{2\pi}

運轉頻率接近自然頻率時，振幅會因共振而顯著放大。因此，設計核心是掌握機械的激振特性、地盤動力特性與系統頻率，並據此控制振動及其影響。

解題方法：逐項列出動力設計條件

題目要求「詳細說明」應考慮的動力設計條件，宜從「機械能否正常運轉、基礎是否安全、環境是否可接受」三方面整理，並說明每項條件的檢核意義。

一、振幅及振動速度、加速度須符合容許值

須計算機械與基礎在運轉時的振幅，確認不超過機械製造商、設備規範或使用需求所容許的值。振幅過大會造成設備精度下降、連接件鬆動、構件疲勞，並影響操作人員與鄰近設施。

簡諧振動若位移振幅為 XX，則速度與加速度振幅分別為

V=ωX,A=ω2XV=\omega X,\qquad A=\omega^2X

因此，僅檢核位移並不足夠；在高頻運轉時，即使位移不大，速度或加速度仍可能超過容許值。

二、避免共振，並保有足夠的頻率間隔

應比較機械激振頻率與基礎—地盤系統的自然頻率，避免兩者過於接近。頻率比可表示為

r=ωωnr=\frac{\omega}{\omega_n}

對簡諧激振力而言，無阻尼情況下的位移動態放大因子為

DAF=1∣1−r2∣\mathrm{DAF}=\frac{1}{|1-r^2|}
🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 4 題25 分

某正常壓密黏土進行壓密不排水三軸試驗（CU triaxial test）。A 試體以圍壓 100 kPa100\ \mathrm{kPa} 進行壓密，然後施加軸差應力，直至試體發生破壞。破壞時，試體內之孔隙水壓為 67 kPa67\ \mathrm{kPa}，施加之軸差應力為 85 kPa85\ \mathrm{kPa}。

接著以與 A 試體性質相近之 B 黏土試體進行相似的實驗，以圍壓 250 kPa250\ \mathrm{kPa} 將試體加以壓密。

（一）試求此黏土之總應力內摩擦角 ϕCU\phi_{CU} 及有效應力內摩擦角 ϕ′\phi'。（5 分）

（二）試計算並繪出 A 試體及 B 試體破壞時之總應力及有效應力莫爾圓。（5 分）

（三）試求 B 試體破壞時施加之軸差應力。（5 分）

（四）試求破壞面與水平面之夾角。（5 分）

（五）試計算黏土試體破壞時之孔隙水壓參數 AfA_f。（5 分）

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

CU 三軸試驗先以圍壓使試體在不排水條件下壓密，再於不排水條件下增加軸差應力至破壞。破壞時的總應力可由施加的圍壓與軸差應力求得；有效應力則須扣除孔隙水壓：

σ1=σ3+Δσ,σ′=σ−u\sigma_1=\sigma_3+\Delta\sigma,\qquad \sigma'=\sigma-u

本題採用正常壓密黏土的莫爾－庫侖破壞準則，並依題意將 A、B 試體視為性質相近、具有相同總應力與有效應力摩擦角，且破壞時黏聚力為零。

解題方法

（一）求總應力與有效應力摩擦角

A 試體破壞時：

σ3=100 kPa,Δσ=85 kPa\sigma_3=100\ \mathrm{kPa},\qquad \Delta\sigma=85\ \mathrm{kPa}

因此總主應力為：

σ1=100+85=185 kPa\sigma_1=100+85=185\ \mathrm{kPa}

總應力莫爾圓的圓心與半徑為：

C=σ1+σ32=185+1002=142.5 kPaC=\frac{\sigma_1+\sigma_3}{2} =\frac{185+100}{2}=142.5\ \mathrm{kPa} R=σ1−σ32=185−1002=42.5 kPaR=\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2} =\frac{185-100}{2}=42.5\ \mathrm{kPa}

對於 c=0c=0 的莫爾－庫侖破壞，R/C=sin⁡ϕR/C=\sin\phi，故：

sin⁡ϕCU=42.5142.5=85285\sin\phi_{CU}=\frac{42.5}{142.5} =\frac{85}{285} ϕCU=17.35∘\boxed{\phi_{CU}=17.35^\circ}

A 試體破壞時孔隙水壓 u=67 kPau=67\ \mathrm{kPa}，故有效主應力為：

σ1′=185−67=118 kPa\sigma'_1=185-67=118\ \mathrm{kPa} σ3′=100−67=33 kPa\sigma'_3=100-67=33\ \mathrm{kPa}

有效應力莫爾圓半徑及圓心為：

R′=118−332=42.5 kPaR'=\frac{118-33}{2}=42.5\ \mathrm{kPa} C′=118+332=75.5 kPaC'=\frac{118+33}{2}=75.5\ \mathrm{kPa}

因此：

sin⁡ϕ′=R′C′=42.575.5=85151\sin\phi'=\frac{R'}{C'} =\frac{42.5}{75.5} =\frac{85}{151} ϕ′=34.26∘\boxed{\phi'=34.26^\circ}

（二）A、B 試體破壞時的總應力與有效應力莫爾圓

A 試體的莫爾圓如下：

  • 總應力：σ3=100 kPa\sigma_3=100\ \mathrm{kPa}、σ1=185 kPa\sigma_1=185\ \mathrm{kPa}，圓心 142.5 kPa142.5\ \mathrm{kPa}、半徑 42.5 kPa42.5\ \mathrm{kPa}。
  • 有效應力：σ3′=33 kPa\sigma'_3=33\ \mathrm{kPa}、σ1′=118 kPa\sigma'_1=118\ \mathrm{kPa}，圓心 75.5 kPa75.5\ \mathrm{kPa}、半徑 42.5 kPa42.5\ \mathrm{kPa}。

B 試體以 σ3=250 kPa\sigma_3=250\ \mathrm{kPa} 壓密，與 A 試體具有相同的總應力摩擦角及 c=0c=0。總應力破壞準則為：

σ1−σ3σ1+σ3=sin⁡ϕCU=85285\frac{\sigma_1-\sigma_3}{\sigma_1+\sigma_3} =\sin\phi_{CU} =\frac{85}{285}

解得 B 試體破壞時：

σ1=σ31+sin⁡ϕCU1−sin⁡ϕCU=250⋅370200=462.5 kPa\sigma_1 =\sigma_3\frac{1+\sin\phi_{CU}}{1-\sin\phi_{CU}} =250\cdot\frac{370}{200} =462.5\ \mathrm{kPa}

故其軸差應力為：

ΔσB=σ1−σ3=462.5−250=212.5 kPa\Delta\sigma_B=\sigma_1-\sigma_3 =462.5-250=212.5\ \mathrm{kPa}

B 試體總應力莫爾圓：

CB=462.5+2502=356.25 kPa,RB=462.5−2502=106.25 kPaC_B=\frac{462.5+250}{2}=356.25\ \mathrm{kPa}, \qquad R_B=\frac{462.5-250}{2}=106.25\ \mathrm{kPa}

B 試體破壞時孔隙水壓可由有效應力破壞準則求出。由相同的 ϕ′\phi'，有：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 5 題25 分

某振動機械基礎重量為 780 kN780\ \mathrm{kN}，假設基礎與土壤之振動反應可以下圖之質量－彈簧－阻尼系統模擬。已知彈簧彈性係數 k=200,000 kN/mk=200{,}000\ \mathrm{kN/m}，阻尼係數 C=2400 kN⋅s/mC=2400\ \mathrm{kN\cdot s/m}，試計算此振動基礎之：

（一）臨界阻尼係數。（5 分）

（二）阻尼比 DD。（5 分）

（三）阻尼自然頻率（damped natural frequency）。（5 分）

若此基礎承受動態垂直外力

Q(t)=Q0sin⁡ωtQ(t)=Q_0\sin\omega t

作用，已知外力振幅 Q0=25 kNQ_0=25\ \mathrm{kN}，外力角速度 ω=10 rad/s\omega=10\ \mathrm{rad/s}，試計算此振動基礎之：

（四）頻率比。（5 分）

（五）基礎振動之垂直位移振幅。（5 分）

（圖示：質量－彈簧－阻尼系統，包含外力 Q(t)Q(t)、彈簧 kk 及阻尼器 CC。）

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

此題考查單自由度質量－彈簧－阻尼系統的自由振動與受迫振動。基礎重量須先換算為質量，再依序計算未阻尼自然角頻率、臨界阻尼係數、阻尼比及阻尼自然角頻率。受迫振動的位移振幅則由靜態位移除以動態放大因子求得。

重量以 kN\mathrm{kN} 表示時，使用重力加速度 g=9.81 m/s2g=9.81\ \mathrm{m/s^2} 換算質量：

m=Wgm=\frac{W}{g}

解題方法與計算

已知 W=780 kNW=780\ \mathrm{kN}、k=200,000 kN/mk=200{,}000\ \mathrm{kN/m}、C=2400 kN⋅s/mC=2400\ \mathrm{kN\cdot s/m}。

（一）臨界阻尼係數

先求未阻尼自然角頻率：

ωn=km=kgW=200,000×9.81780=50.15 rad/s\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}} =\sqrt{\frac{kg}{W}} =\sqrt{\frac{200{,}000\times9.81}{780}} =50.15\ \mathrm{rad/s}

臨界阻尼係數為：

Cc=2mωn=2km=2kWg=7,975.50 kN⋅s/mC_c=2m\omega_n=2\sqrt{km} =2\sqrt{\frac{kW}{g}} =7{,}975.50\ \mathrm{kN\cdot s/m}

（二）阻尼比 DD

D=CCc=24007,975.50=0.3009D=\frac{C}{C_c} =\frac{2400}{7{,}975.50} =0.3009

（三）阻尼自然頻率

阻尼自然角頻率為：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

其他考古題

大地工程技師《土壤力學（包括土壤動力學）》其他年度

114113112