114 專技高考高等考試 大地工程技師 土壤力學（包括土壤動力學） 考古題詳解

114 年・專技高考・高等考試・大地工程技師
試題代碼 土壤力學（包括土壤動力學）

第 一 題25 分

有一土石壩之剖面如下圖所示，其上下游面之總水頭差為 20 m20\ \mathrm{m}，產生滲流。已知透水層垂直方向和水平方向之滲透係數 kzk_z 和 kxk_x 分別為 3×10−33\times10^{-3} 和 6×10−3 cm/s6\times10^{-3}\ \mathrm{cm/s}。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）請繪製流線網，並計算滲流量（請以 m3/(day⋅m)\mathrm{m^3/(day\cdot m)} 表示）；須說明所採用計算方法之相關理論推導。（15 分）

（二）何謂管湧（piping）？如何防止土石壩發生管湧破壞？請繪圖舉例說明。（10 分）

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核心觀念

本題考查土石壩下方透水層的二維穩定滲流、異向性滲透係數的座標轉換、流線網滲流量，以及土石壩的管湧防治。

流線網中，NfN_f 為流道數，NdN_d 為總水頭降數。對均質、等向性土層，單位壩寬滲流量為

q=kHNfNdq=kH\frac{N_f}{N_d}

其中 kk 為滲透係數，HH 為上下游總水頭差。題目所給的 kxk_x 與 kzk_z 不同，須先將異向性滲流轉換為等向性問題。

（一）流線網與滲流量

1. 異向性座標轉換

二維穩定滲流的控制方程式為

kx∂2h∂x2+kz∂2h∂z2=0k_x\frac{\partial^2 h}{\partial x^2} +k_z\frac{\partial^2 h}{\partial z^2}=0

令

x′=xkzkxx'=x\sqrt{\frac{k_z}{k_x}}

則

∂2h∂x2=kzkx∂2h∂x′2\frac{\partial^2 h}{\partial x^2} =\frac{k_z}{k_x}\frac{\partial^2 h}{\partial x'^2}

代入控制方程式可得

kz(∂2h∂x′2+∂2h∂z2)=0k_z\left( \frac{\partial^2 h}{\partial x'^2} +\frac{\partial^2 h}{\partial z^2} \right)=0

因此，在轉換後的 x′−zx'-z 平面中，滲流可視為等向性問題，其等效滲透係數為

ke=kxkzk_e=\sqrt{k_xk_z}

座標轉換的水平比例為

x′x=kzkx=36=0.707\frac{x'}{x}=\sqrt{\frac{k_z}{k_x}} =\sqrt{\frac{3}{6}}=0.707

也就是將原圖水平方向縮短為 0.7070.707 倍，垂直方向不變，再依壩體底面、透水層上下邊界及上下游定水頭邊界繪製流線網。壩體底面與不透水岩盤均為不透水邊界，須與流線相切；等水頭線則與流線正交。

依圖形幾何繪製一組近似流線網，取 Nf=4N_f=4、Nd=6N_d=6：

上游定水頭 下游定水頭
 │ │
 │ ┌────壩體底面（不透水邊界）────┐ │
 └───┤ ╭──────╮ ╭──────╮ ╭──────╮ ├─────────────
 │ │ │ │ │ │ │ │ 透水層
 │ ╰──────╯ ╰──────╯ ╰──────╯ │
 └────────────────────────────────┘
 不透水岩盤

上圖為流線網示意；實際作圖時，以相鄰流線與等水頭線形成近似曲線正方形網格。流道數與水頭降數依圖面判讀及手繪網格略有差異，以下採用上述計數計算。

2. 計算滲流量

將滲透係數換算為 SI 單位：

kx=6×10−3 cm/s=6×10−5 m/sk_x=6\times10^{-3}\ \mathrm{cm/s} =6\times10^{-5}\ \mathrm{m/s}
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第 二 題25 分

一地盤剖面如下圖所示，具有二層厚度皆為 4 m4\ \mathrm{m} 之黏土層，中間夾 1 m1\ \mathrm{m} 厚砂土層，地下水位在地表下 1 m1\ \mathrm{m}，二黏土層之壓密係數 Cv=0.003 cm2/secC_v=0.003\ \mathrm{cm^2/sec}，初始孔隙比 e0=0.75e_0=0.75。該地盤在地表承受一寬廣平面加載 qq，若二黏土層加載前後最終之孔隙比變化相近，共將產生 25 mm25\ \mathrm{mm} 壓密沉陷量。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）請問此地盤產生 12.5 mm12.5\ \mathrm{mm} 壓密沉陷量時，經過了多少時間（請以 day 表示）？（15 分）

（二）產生 12.5 mm12.5\ \mathrm{mm} 壓密沉陷量時，二黏土層之平均壓密度 UU 分別為多少？（10 分）

備註：時間因數 TvT_v 與平均壓密度 U(%)U(\%) 之關係如下；若條件不足，請自行做合理假設。

Tv=π4(U100)2for U≤60%T_v=\frac{\pi}{4}\left(\frac{U}{100}\right)^2 \qquad \text{for } U\leq 60\% Tv=1.781−0.933log⁡(100−U)for U>60%T_v=1.781-0.933\log(100-U) \qquad \text{for } U>60\%
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核心觀念

本題考一維壓密的時間因數 TvT_v、平均壓密度 UU 與排水距離 HdH_d。各黏土層的壓密時間為

Tv=CvtHd2T_v=\frac{C_v t}{H_d^2}

其中 HdH_d 為最長排水距離。由圖可知砂土層可作為排水邊界，底部岩盤不透水：

  • 上層黏土上下皆可排水，Hd1=4/2=2 mH_{d1}=4/2=2\ \mathrm{m}。
  • 下層黏土僅能向上排水，Hd2=4 mH_{d2}=4\ \mathrm{m}。

解題方法

兩層黏土厚度相同，且加載前後孔隙比變化相近，因此兩層的最終沉陷量相同，各為 25/2=12.5 mm25/2=12.5\ \mathrm{mm}。當總沉陷量達 12.5 mm12.5\ \mathrm{mm} 時，兩層的沉陷量合計相當於兩層最終沉陷量的平均壓密度達 50%50\%，故

U1+U22=50%⟹U1+U2=100%\frac{U_1+U_2}{2}=50\% \quad\Longrightarrow\quad U_1+U_2=100\%

令下層平均壓密度為 U2=100x%U_2=100x\%，則上層為 U1=100(1−x)%U_1=100(1-x)\%。同一經過時間下，兩層的 CvC_v 相同，且排水距離分別為 2 m2\ \mathrm{m} 與 4 m4\ \mathrm{m}，所以

Tv1=Cvt(2 m)2=4Cvt(4 m)2=4Tv2T_{v1}=\frac{C_vt}{(2\ \mathrm{m})^2} =4\frac{C_vt}{(4\ \mathrm{m})^2} =4T_{v2}

由解得的壓密度可知上層 U1>60%U_1>60\%、下層 U2≤60%U_2\leq60\%，分別代入題目提供的兩段關係式：

Tv1=1.781−0.933log⁡(100−U1)=1.781−0.933log⁡(100x)T_{v1}=1.781-0.933\log(100-U_1) =1.781-0.933\log(100x)
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第 三 題20 分

應力路徑（stress path）可用來描述土壤在外力作用下，其應力變化之歷程。

（一）請繪圖說明何謂 K0K_0 線？何謂 KfK_f 線？（6 分）

（二）若某沉積土壤單向度壓密試驗 K0K_0 線之斜率為 0.30.3，試求該土壤之靜止土壓力係數 K0K_0 值。（7 分）

（三）若某沉積土壤三軸壓密不排水試驗 KfK_f 線之斜率為 0.50.5，試求該土壤之摩擦角 ϕ\phi 值。（7 分）

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核心觀念

應力路徑是以應力不變量或主應力座標，描繪土壤受載時應力狀態的變化。此題採用三軸應力常用的 p′−qp'-q 圖：

p′=σ1′+σ3′2,q=σ1′−σ3′2p'=\frac{\sigma_1'+\sigma_3'}{2},\qquad q=\frac{\sigma_1'-\sigma_3'}{2}

其中 σ1′\sigma_1' 為大主有效應力，σ3′\sigma_3' 為小主有效應力。部分教材採用 p′=(σ1′+2σ3′)/3p'=(\sigma_1'+2\sigma_3')/3、q=σ1′−σ3′q=\sigma_1'-\sigma_3' 的三軸應力不變量定義；本題斜率數值與以下公式相符，採用上述 p′−qp'-q 定義。

  • K0K_0 線：土壤在側向應變為零的條件下，壓密或卸載時所經過的應力狀態軌跡。其靜止土壓力係數定義為 K0=σ3′/σ1′K_0=\sigma_3'/\sigma_1'。
  • KfK_f 線：土壤達到破壞時，各破壞應力狀態所形成的包絡線。對三軸壓縮而言，其斜率與土壤摩擦角 ϕ\phi 有關。

（一）K0K_0 線與 KfK_f 線

令 K0=σ3′/σ1′K_0=\sigma_3'/\sigma_1'。在 p′−qp'-q 圖上：

p′=1+K02σ1′,q=1−K02σ1′p'=\frac{1+K_0}{2}\sigma_1', \qquad q=\frac{1-K_0}{2}\sigma_1'

因此 K0K_0 線通過原點，其斜率為

qp′=1−K01+K0\frac{q}{p'}=\frac{1-K_0}{1+K_0}

KfK_f 線是破壞狀態的應力包絡線；以 p′−qp'-q 座標表示三軸壓縮破壞條件時，

q=p′sin⁡ϕ+c′cos⁡ϕq=p'\sin\phi+c'\cos\phi

故 KfK_f 線斜率為 sin⁡ϕ\sin\phi，截距為 c′cos⁡ϕc'\cos\phi。對無黏聚力土壤（c′=0c'=0），KfK_f 線亦通過原點。

示意圖如下，橫軸為 p′p'、縱軸為 qq：

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第 四 題30 分

都會平原區常由軟弱沖積地盤所構成，受震時常發生地質災害。

（一）軟弱沖積地盤和堅實地盤之正規化加速度反應譜（response spectrum）有何差別？為什麼？請繪圖並說明之。（10 分）

（二）以設計地震為例，如何由各工址所屬震區之短週期設計水平譜加速度係數，決定土壤液化潛能與損害評估所需之尖峰水平地表加速度 AA？請說明完整流程。（10 分）

（三）請以場址效應觀點，說明高、中、低三種不同液化程度地盤，對上部不同高度建築物受震之可能影響。（10 分）

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（一）軟弱沖積地盤與堅實地盤的正規化加速度反應譜

核心觀念

正規化加速度反應譜描述不同自振週期結構物在地震作用下的反應加速度相對於地表尖峰加速度的大小，可表示為 Sa/AS_a/A 對結構週期 TT 的關係。譜形主要反映地盤與地震動的頻率特性。

解題方法與原因

軟弱沖積層的剪力波速較低，地震波在軟弱層中傳遞時，較容易放大長週期成分；地盤的基本振動週期也較長。因此，軟弱地盤的反應譜通常相較堅實地盤向長週期側移，長週期區的譜值較高。堅實地盤的基本週期較短，反應譜通常在較短週期即達峰值，短週期反應相對明顯。

正規化譜加速度 Sa/A
 ^
 | 堅實地盤
 | ┌───────\
 | / \____
 | / \ 軟弱沖積地盤
 | / ┌────────\
 |__/_______________/ \________> 週期 T
 0 短週期 中、長週期
 堅實地盤峰值 軟弱地盤峰值

圖示為典型趨勢，實際譜形及譜值仍受震源、傳播路徑、地盤非線性與阻尼等因素影響。軟弱地盤不代表所有週期的反應都必然較大；應依建築物週期所在的譜段判讀。

（二）由震區短週期設計水平譜加速度係數求液化評估用 AA

核心觀念

液化評估需要尖峰水平地表加速度 AA，而耐震設計規範提供的主要參數是譜加速度係數。短週期反應譜的等加速度平台值約為有效尖峰加速度 EPA 的 2.52.5 倍，因此設計地震下以

A=EPA=0.4SDSgA=\mathrm{EPA}=0.4S_{DS}g

作為液化分析使用的尖峰水平地表加速度。其中 SDSS_{DS} 是工址短週期設計水平譜加速度係數，gg 是重力加速度。

完整流程

  1. 查震區係數 依工址所在地，從建築物耐震設計規範查得震區短週期設計水平譜加速度係數 SSDS_{SD}。

  2. 判定地盤種類 依工址地盤條件分類，依規範表格查得短週期反應譜等加速度段的工址放大係數 FaF_a。FaF_a 會依地盤種類及震區短週期設計係數而變。

  3. 求工址設計譜加速度係數 將震區係數乘以工址放大係數：

SDS=FaSSDS_{DS}=F_aS_{SD}

若規範要求考慮近斷層效應，亦應依規定修正工址反應譜係數。

  1. 換算液化分析用 PGA 取短週期平台譜值除以 2.52.5，即乘以 0.40.4：
A=0.4SDSg=0.4FaSSDgA=0.4S_{DS}g=0.4F_aS_{SD}g

若以 gg 為單位表示，則直接寫為 A=0.4SDSA=0.4S_{DS}（單位為 gg）。

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