113 專技高考高等考試 大地工程技師 土壤力學（包括土壤動力學） 考古題詳解

113 年・專技高考・高等考試・大地工程技師
試題代碼 土壤力學（包括土壤動力學）

第 一 題25 分

某實驗室對一施工場址取回的土壤進行標準普羅克特夯實驗（Standard Proctor Compaction test），試驗結果顯示該土壤的最大乾密度為 1850 kg/m31850\ \mathrm{kg/m^3}，最佳含水量為 12.5%12.5\%。若土粒比重 GsG_s 為 2.682.68，試求：

(一) 在最佳含水量下的飽和度和孔隙比。（8 分）

(二) 在此條件下，空氣占據該試體孔隙的百分比。（6 分）

(三) 對應於最佳含水量，零空氣孔隙曲線（zero-air-void curve）上的乾密度。（5 分）

(四) 請說明可能影響夯實結果的三個主要因素。（6 分）

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核心觀念

夯實試驗給定最大乾密度 ρd\rho_d 與最佳含水量 ww，可利用土壤三相關係求孔隙比 ee、飽和度 SrS_r 及空氣所占孔隙比例。零空氣孔隙曲線代表孔隙完全由水填滿，即 Sr=100%S_r=100\%。

採用下列關係式：

ρd=Gsρw1+e,w=SreGs,VaVv=1−Sr\rho_d=\frac{G_s\rho_w}{1+e},\qquad w=\frac{S_r e}{G_s},\qquad \frac{V_a}{V_v}=1-S_r

其中 ρw=1000 kg/m3\rho_w=1000\ \mathrm{kg/m^3}，VaV_a 為空氣體積，VvV_v 為孔隙體積。

解題方法與計算

(一) 最佳含水量下的飽和度與孔隙比

由乾密度關係式求孔隙比：

e=Gsρwρd−1=2.68(1000)1850−1=0.4486e=\frac{G_s\rho_w}{\rho_d}-1 =\frac{2.68(1000)}{1850}-1 =0.4486

再由含水量與飽和度關係式求飽和度：

Sr=wGse=0.125(2.68)0.4486=0.7466S_r=\frac{wG_s}{e} =\frac{0.125(2.68)}{0.4486} =0.7466

因此，Sr≈74.7%S_r\approx 74.7\%，e≈0.449e\approx 0.449。

(二) 空氣占據試體孔隙的百分比

空氣占孔隙的比例為：

VaVv=1−Sr=1−0.7466=0.2534\frac{V_a}{V_v}=1-S_r=1-0.7466=0.2534

所以空氣約占孔隙體積的 25.3%25.3\%。

(三) 最佳含水量對應的零空氣孔隙乾密度

零空氣孔隙狀態下 Sr=1S_r=1，故 w=e/Gsw=e/G_s，即 e=wGse=wG_s。代入乾密度公式：

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第 二 題25 分

震測法（Seismic Survey）是地球物理探測中常被應用的一種方法。請詳細說明震測折射法（Seismic Refraction Survey）與震測反射法（Seismic Reflection Survey）兩種方法的基本原理、主要探測結果與應用，並比較兩者之間的差異性。（25 分）

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核心觀念

震測法利用人工震源產生地震波，記錄波在地下介質中的傳播時間與波形，據以推估地層的波速、界面深度及地下構造。題目重點是比較兩種波動路徑與判讀方式：

  • 震測折射法主要分析折射波（臨界折射波）的到時，利用「波速隨深度增加」時，地震波沿較高速下伏層傳播、再折返地表的特性，推估地層波速與界面深度。
  • 震測反射法主要分析地下界面反射回地表的波，利用反射波的雙程旅行時間，推估界面深度與地下構造。

波速與介質性質相關，常用縱波波速 VPV_P 與剪波波速 VSV_S 表示；地層界面若有波阻抗差異，便可能產生可辨識的反射波或折射波。

解題方法與原理

一、震測折射法

在地表沿測線布設多個地震檢波器，以敲擊、落錘或炸藥等作為震源，量測各檢波器的初至波走時。將走時 tt 對震源與檢波器間距 xx 作圖，即可由各段直線斜率判讀波速，因為：

t=xV,ΔtΔx=1Vt=\frac{x}{V}, \qquad \frac{\Delta t}{\Delta x}=\frac{1}{V}

淺層波速較低、下伏層波速較高時，地震波以臨界角 θc\theta_c 入射至下伏高速層，滿足史奈爾定律：

sin⁡θc=V1V2,V2>V1\sin\theta_c=\frac{V_1}{V_2}, \qquad V_2>V_1

其中 V1V_1、V2V_2 分別為上、下層波速。部分能量沿界面附近的高速層傳遞，並持續向上層輻射能量，形成臨界折射波。距離較近的檢波器通常先接收到直接波；距離增加後，臨界折射波因傳播速度較快而成為初至波。走時曲線的斜率改變點及折射波直線段，提供層速與界面深度資訊。

以兩層水平地層為例，直接波與折射波走時分別為：

t直=xV1t_{\mathrm{直}}=\frac{x}{V_1} t折=xV2+tit_{\mathrm{折}}=\frac{x}{V_2}+t_i

其中截距時間 tit_i 為：

ti=2hcos⁡θcV1t_i=\frac{2h\cos\theta_c}{V_1}

因此上層厚度為：

h=tiV12cos⁡θc=tiV121−(V1/V2)2h=\frac{t_iV_1}{2\cos\theta_c} =\frac{t_iV_1}{2\sqrt{1-(V_1/V_2)^2}}

實際調查通常設置正向與反向震源，取得雙向走時資料，以辨識界面傾斜並減少單向測線造成的判讀偏差。

二、震測反射法

反射法同樣以地表震源與檢波器記錄地震波，但主要追蹤波遇到不同介質界面後反射返回地表的訊號。界面兩側波阻抗不同時會產生反射；波阻抗可表示為：

Z=ρVZ=\rho V

其中 ρ\rho 為密度、VV 為波速。正入射時，反射係數可寫為：

R=Z2−Z1Z2+Z1R=\frac{Z_2-Z_1}{Z_2+Z_1}

反射強度與波阻抗差異相關。將各測點的反射波到時整理成時間剖面，可辨認地下界面的連續性、起伏及構造形態。經速度分析與時間—深度轉換後，反射波的雙程旅行時間可用來估算深度；對水平界面及近似均勻波速 VV，有：

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第 三 題25 分

由飽和黏土層採取出一厚度為 20.0 mm20.0\ \mathrm{mm} 的不擾動土樣進行壓密試驗，並測得以下結果：

壓密應力（kPa）50100200
試體厚度（mm）20.0∗20.0^*19.5219.5219.0419.04

註：∗^* 數字無誤！

試體之初始含水量為 40%40\%，土粒比重為 2.702.70。

(一) 試求上述每個壓力增量的壓縮指數 CcC_c 和體積壓縮係數 mvm_v 為多少？（9 分）

(二) 該試樣取自一厚度為 4 m4\ \mathrm{m} 的飽和黏土層，黏土層下方為不透水岩盤，上方為砂層。該黏土層之平均垂直有效應力為 75 kPa75\ \mathrm{kPa}。現於地表面施加均佈載重 75 kPa75\ \mathrm{kPa}。試計算該黏土層於均佈載重作用下的沉陷量為何？（5 分）

(三) 於 100100 到 200 kPa200\ \mathrm{kPa} 壓密應力增量的階段中，90%90\% 的主要壓密於一小時內完成，試求該 4 m4\ \mathrm{m} 厚的黏土層達壓密度 50%50\% 所需的時間。（5 分）

(四) 實務中，某些工程師較傾向使用 mvm_v 值而不是 CcC_c 值來計算沉陷量。請說明以 mvm_v 值計算沉陷量的三個主要的好處。（6 分）

提示（若條件不足請自行做合理假設）：

For U=0U=0 to 60%60\%, Tv=π4(U%100)2T_v=\frac{\pi}{4}\left(\frac{U\%}{100}\right)^2

For U>60%U>60\%, Tv=1.781−0.933log⁡(100−U%)T_v=1.781-0.933\log(100-U\%)

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查一維壓密試驗的孔隙比變化、壓縮指數 CcC_c、體積壓縮係數 mvm_v，以及 Terzaghi 一維壓密理論。

飽和土的初始孔隙比可由含水量與土粒比重求得：

e0=wGse_0=wG_s

壓密試驗中土粒體積不變，故土粒等值高度 HsH_s 固定，任一壓密狀態的孔隙比為：

e=HHs−1e=\frac{H}{H_s}-1

壓縮指數與體積壓縮係數定義為：

Cc=Δelog⁡10(σ2′/σ1′)C_c=\frac{\Delta e}{\log_{10}(\sigma'_2/\sigma'_1)} mv=Δe(1+e1)Δσ′=ΔHH1Δσ′m_v=\frac{\Delta e}{(1+e_1)\Delta\sigma'} =\frac{\Delta H}{H_1\Delta\sigma'}

其中 e1e_1、H1H_1 是該應力增量起點的孔隙比與試體高度。

解題方法與計算

（一）各壓力增量的 CcC_c 與 mvm_v

土樣飽和，初始含水量 w=40%=0.40w=40\%=0.40，因此：

e50=wGs=0.40(2.70)=1.08e_{50}=wG_s=0.40(2.70)=1.08

50 kPa 時試體高度為 20.0 mm20.0\ \mathrm{mm}，所以土粒等值高度為：

Hs=20.01+1.08=9.6154 mmH_s=\frac{20.0}{1+1.08}=9.6154\ \mathrm{mm}

每一應力增量的試體高度減少 0.48 mm0.48\ \mathrm{mm}，對應的孔隙比減少量為：

Δe=0.489.6154=0.04992\Delta e=\frac{0.48}{9.6154}=0.04992

因此：

e100=1.08−0.04992=1.03008e_{100}=1.08-0.04992=1.03008 e200=1.03008−0.04992=0.98016e_{200}=1.03008-0.04992=0.98016

兩段應力比皆為 22，故：

Cc, 50→100=0.04992log⁡10(100/50)=0.1658C_{c,\,50\to100} =\frac{0.04992}{\log_{10}(100/50)} =0.1658 Cc, 100→200=0.04992log⁡10(200/100)=0.1658C_{c,\,100\to200} =\frac{0.04992}{\log_{10}(200/100)} =0.1658

第一段的體積壓縮係數：

mv, 50→100=0.04992(1+1.08)(100−50)=4.80×10−4 kPa−1m_{v,\,50\to100} =\frac{0.04992}{(1+1.08)(100-50)} =4.80\times10^{-4}\ \mathrm{kPa}^{-1}

第二段的體積壓縮係數：

mv, 100→200=0.04992(1+1.03008)(200−100)=2.46×10−4 kPa−1m_{v,\,100\to200} =\frac{0.04992}{(1+1.03008)(200-100)} =2.46\times10^{-4}\ \mathrm{kPa}^{-1}

（二）4 m 黏土層在均佈載重下的沉陷量

載重使平均有效應力由 75 kPa75\ \mathrm{kPa} 增至 150 kPa150\ \mathrm{kPa}。先依壓縮曲線求 75 kPa75\ \mathrm{kPa} 時的孔隙比。由於 75 kPa75\ \mathrm{kPa} 位於 5050 至 100 kPa100\ \mathrm{kPa} 區間：

e75=e50−Cclog⁡10(7550)=1.08−0.1658log⁡10(1.5)=1.0508e_{75}=e_{50}-C_c\log_{10}\left(\frac{75}{50}\right) =1.08-0.1658\log_{10}(1.5) =1.0508

同理，150 kPa150\ \mathrm{kPa} 位於 100100 至 200 kPa200\ \mathrm{kPa} 區間：

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第 四 題25 分

下圖所示為一高 H=4.5 mH=4.5\ \mathrm{m}、垂直牆背（β=0\beta=0）之重力式擋土牆，其水平背填土（i=0i=0）土壤為砂質土壤，土壤單位重 γ=18 kN/m3\gamma=18\ \mathrm{kN/m^3}，土壤摩擦角 ϕ=35∘\phi=35^\circ，背填土與牆界面之摩擦角 δ=12ϕ\delta=\frac{1}{2}\phi，牆底土壤與牆之摩擦角 ϕb=ϕ\phi_b=\phi。設垂直與水平方向加速度係數分別為 kv=0k_v=0、kh=0.2k_h=0.2，有效加速度係數 Av=Aa=0.2A_v=A_a=0.2，安全係數為 1.51.5。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

(一) 試以庫倫（Coulomb，1776）的主動土壓力理論，計算此擋土牆於非地震情況下之牆重。（6 分）

(二) 試以 Mononobe–Okabe 的動態土壓力理論，計算此擋土牆於地震載重，且不允許牆移動之情況下的牆重。（7 分）

(三) 試以 Richards & Elms（1979）的方法，計算此擋土牆於地震載重，且允許牆移動 d=20 mmd=20\ \mathrm{mm} 之情況下的牆重。（8 分）

(四) 請列出 Mononobe–Okabe 動態土壓力理論是基於何種假設而導出的。（4 分）

提示：相關的主動土壓力係數及 CIEC_{IE} 值可參考下列所附曲線或自行計算：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Richards & Elms（1979）建議之極限（cut-off）：

kh=Aa[5.08Av2Aad]1/4k_h=A_a\left[\frac{5.08A_v^2}{A_ad}\right]^{1/4}

（若條件不足請自行做合理假設）

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題比較三種擋土牆滑動設計情況：靜態庫倫主動土壓力、地震 Mononobe–Okabe（M–O）土壓力，以及允許位移下的 Richards–Elms（R–E）設計。牆重均以每公尺牆長計，並以底面摩擦抵抗滑動。

取牆背土壓合力對水平線向下傾斜 δ=17.5∘\delta=17.5^\circ，則其水平分量為 Pcos⁡δP\cos\delta，向下分量為 Psin⁡δP\sin\delta。地震時另計入牆體慣性力 khWk_hW。題給安全係數 FS=1.5FS=1.5。

解題方法與計算

（一）靜態庫倫主動土壓力

垂直牆背、水平回填時，庫倫主動土壓力係數為

Ka=cos⁡2ϕcos⁡δ[1+sin⁡(ϕ+δ)sin⁡ϕcos⁡δ]2=0.2461K_a= \frac{\cos^2\phi} {\cos\delta\left[ 1+\sqrt{\frac{\sin(\phi+\delta)\sin\phi}{\cos\delta}} \right]^2} =0.2461

每公尺牆長的主動土壓合力：

Pa=12γH2Ka=12(18)(4.5)2(0.2461)=44.86 kN/mP_a=\frac12\gamma H^2K_a =\frac12(18)(4.5)^2(0.2461) =44.86\ \mathrm{kN/m}

靜態時水平滑動力為 Pacos⁡δP_a\cos\delta，底面正向力為 W+Pasin⁡δW+P_a\sin\delta。因此

FS=(W+Pasin⁡δ)tan⁡ϕbPacos⁡δFS=\frac{(W+P_a\sin\delta)\tan\phi_b}{P_a\cos\delta}

解出牆重：

W=FS Pacos⁡δtan⁡ϕb−Pasin⁡δ=78.16 kN/mW= \frac{FS\,P_a\cos\delta}{\tan\phi_b} -P_a\sin\delta =78.16\ \mathrm{kN/m}

（二）M–O 地震土壓力，不允許牆移動

地震慣性角為

θ=tan⁡−1(kh1−kv)=tan⁡−1(0.2)=11.31∘\theta=\tan^{-1}\left(\frac{k_h}{1-k_v}\right) =\tan^{-1}(0.2)=11.31^\circ

垂直牆背、水平回填的 M–O 主動土壓力係數：

KAE=cos⁡2(ϕ−θ)cos⁡θcos⁡(δ+θ)[1+sin⁡(ϕ+δ)sin⁡(ϕ−θ)cos⁡(δ+θ)]2=0.3797K_{AE}= \frac{\cos^2(\phi-\theta)} {\cos\theta\cos(\delta+\theta) \left[ 1+\sqrt{\frac{\sin(\phi+\delta)\sin(\phi-\theta)} {\cos(\delta+\theta)}} \right]^2} =0.3797

故地震時總主動土壓合力為

PAE=12γH2KAE=12(18)(4.5)2(0.3797)=69.21 kN/mP_{AE}=\frac12\gamma H^2K_{AE} =\frac12(18)(4.5)^2(0.3797) =69.21\ \mathrm{kN/m}

地震時底面正向力為 W+PAEsin⁡δW+P_{AE}\sin\delta，水平滑動力則包含土壓水平分量及牆體慣性力：

FS=(W+PAEsin⁡δ)tan⁡ϕbPAEcos⁡δ+khWFS= \frac{(W+P_{AE}\sin\delta)\tan\phi_b} {P_{AE}\cos\delta+k_hW}

整理得

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