109 專技高考高等考試 大地工程技師 岩石力學與隧道工程 考古題詳解

核心觀念

本題考查「側向應變受拘束」時，彈性材料的應力比與應變比關係。採用均質、等向、線彈性材料，並假設地層處於水平雙向等值應力、垂直方向應變為零的狀態。此時的應變比 $\nu=\varepsilon_h/\varepsilon_v$ 即為材料的 Poisson’s ratio（蒲松比）；本文以 $\nu_p$ 表示，以區分題目所稱的應變比。

令垂直方向為 $v$、水平方向為 $h$，且兩個水平主應力相等：

$$\sigma_{h1}=\sigma_{h2}=\sigma_h,\qquad \sigma_v=\sigma_v$$

地層側向受拘束，故水平應變為零：

$$\varepsilon_{h1}=\varepsilon_{h2}=0$$

各向同性線彈性材料的三維廣義虎克定律為：

$$\varepsilon_{h1} =\frac{1}{E}\left[\sigma_h-\nu_p(\sigma_h+\sigma_v)\right]$$

其中 $E$ 為彈性模數，$\nu_p$ 為材料的 Poisson’s ratio。

解題方法與推導

由水平應變為零：

$$0=\frac{1}{E}\left[\sigma_h-\nu_p(2\sigma_h+\sigma_v)\right]$$

整理得：

$$\sigma_h-\nu_p(2\sigma_h+\sigma_v)=0$$ $$\sigma_h(1-2\nu_p)=\nu_p\sigma_v$$

因此應力比 $K=\sigma_h/\sigma_v$ 為：

$$K=\frac{\sigma_h}{\sigma_v} =\frac{\nu_p}{1-2\nu_p}$$

由此可見，在「水平兩向等值、水平應變為零」的三維側向受拘束假設下，應力比與材料 Poisson’s ratio 的關係是 $K=\nu_p/(1-2\nu_p)$，不是題目列出的 $K=\nu/(1-\nu)$。

題目所列公式可由一維受拘束情況推出：若僅考慮一個水平方向，並假設另一水平方向應力為零，則

$$\varepsilon_h=\frac{1}{E}(\sigma_h-\nu_p\sigma_v)=0$$

所以 $\sigma_h=\nu_p\sigma_v$；垂直應變為

$$\varepsilon_v=\frac{1}{E}(\sigma_v-\nu_p\sigma_h)$$

代入 $\sigma_h=\nu_p\sigma_v$：

$$\varepsilon_v=\frac{\sigma_v}{E}(1-\nu_p^2)$$

這種條件本身得到的是 $\sigma_h/\sigma_v=\nu_p$，而非題目所列公式。題目公式通常出現在地層水平應變為零、且採用平面應變的簡化關係中：若定義題目中的 $\nu$ 為由水平應變與垂直應變形成的應變比，依題目要求的關係式反解，即

核心觀念

本題考查岩石單壓強度與單拉強度的直接量測及間接推估。直接試驗以試體承受目標應力狀態，依破壞荷重計算強度；間接試驗則量測其他試驗指標，再以理論公式或經驗關係推估強度。

岩石抗壓能力通常遠大於抗拉能力。單壓強度（UCS）以 $\sigma_c$ 表示；單拉強度以 $\sigma_t$ 表示，若採「壓為正」慣例，拉應力可記為負值，其強度大小則以正值表示。

一、單壓強度

直接試驗：單軸壓縮試驗

將完整岩心加工成圓柱試體，試體兩端磨平並與加壓軸對正，在無側向圍壓下施加軸向壓力，記錄試體破壞時的最大荷重 $P_{\max}$。

 軸向荷重 P
 ↓
 ┌────────┐
 │ │
 │ 岩心 │ 側向無圍壓
 │ │
 └────────┘
 ↑
 軸向反力

 試體長度 L、直徑 D

以試體初始橫截面積 $A_0$ 計算單軸抗壓強度：

$$\sigma_c=\frac{P_{\max}}{A_0} =\frac{4P_{\max}}{\pi D^2}$$

此法直接量得試體在單軸壓縮下的破壞強度，是 UCS 的標準量測方式。試體端面平整度、長徑比、加壓軸對正、端部摩擦及含水狀態都會影響結果。

間接試驗：點荷重試驗

點荷重試驗以兩個相對的錐形壓頭，對岩心或岩塊施加集中荷重，量測破壞荷重 $P$。試體在局部高應力下破壞，據以計算點荷重指數，再以經驗關係推估 UCS。

 荷重 P
 ↓
 ◆ 壓頭
 ┌─────────┐
 │ 岩心 │ 直徑 D
 └─────────┘
 ◆ 壓頭
 ↑

對直徑試體，未修正的點荷重指數為：

$$I_s=\frac{P}{D_e^2}$$

其中 $D_e$ 為等效試體直徑。將指數修正至標準直徑 50 mm，可得 $I_{s(50)}$。常用經驗式為：

$$\sigma_c \approx K I_{s(50)}$$

$K$ 常取約 $20\sim25$ 作為初步估計，但其值會受岩性、試體形狀、風化程度及裂隙影響，應以同一岩層的配對試驗校正。故點荷重試驗適合快速分類與現地估算，不能視為單壓試驗的精確替代值。

二、單拉強度

直接試驗：直接拉伸試驗

將試體製成兩端可可靠夾持、中央截面較小的試件，沿軸線施加拉力，量取試體拉斷時的最大荷重 $P_{\max}$。以破壞截面積 $A_0$ 計算：

$$\sigma_t=\frac{P_{\max}}{A_0}$$

 拉力 P
 ↑
 ┌────┴────┐
 │ 夾具 │
 └───┬─────┘
 │
 ┌──┴──┐
 │縮頸│ ← 預定拉斷區
 └──┬──┘
 ┌───┴─────┐
 │ 夾具 │
 └────┬────┘
 ↓
 拉力 P

直接拉伸所得強度最接近岩石材料的單軸抗拉強度，但試驗困難：岩石脆且不均質，夾具黏結或夾持不易，軸線偏心會造成彎曲；端部或黏結處先破壞，也會使試驗值失去代表性。

間接試驗：巴西劈裂試驗

核心觀念

本題考查傾斜層面與隧道開挖面的幾何關係，以及層面上的岩塊是否會沿層面滑動。隧道開挖移除岩體拘束後，若層面朝洞內出露，且岩塊所受合力超出層面摩擦力可維持平衡的範圍，就可能沿層面滑入洞內。

摩擦錐圓（cone of static friction）以層面法線為軸，半頂角為摩擦角 $\phi$。層面上的合力若位於錐內，靜摩擦足以維持平衡；若位於錐外，則有滑動趨勢。其臨界條件可寫為：

$$\frac{|\boldsymbol{T}|}{N}=\tan\phi$$

其中 $N$ 為層面法向力，$\boldsymbol{T}$ 為沿層面的剪力。當 $|\boldsymbol{T}|>N\tan\phi$ 時，層面抗剪力不足，岩塊可能滑動。

解題方法與示意

先在隧道橫剖面標出岩層傾向、傾角及層面露出洞壁的位置，再判斷岩塊滑移方向是否指向隧道開挖面。接著以層面法線為軸畫出摩擦錐，檢查重力及開挖後應力所形成的合力是否落在錐內。

 岩層面
 /////////
 ____/////////____
 / \
 / 隧道 \ ← 層面朝洞內出露
 | 開挖面 | 岩塊可能沿層面滑入洞內
 \ /
 \_________________/

層面受力示意：
 層面法線 n
 ↑
 / \
 / φ\ 摩擦錐
 / \
 /_______\
 合力在錐內：靜止 合力在錐外：有滑動趨勢

實際判斷時，重點是找出「層面朝洞內出露」且合力可能超出摩擦錐的區域。隧道拱頂附近若層面形成可滑落岩塊，可能發生頂部掉塊或楔形岩體滑落；側壁附近若層面向洞內傾出，可能發生側向滑移；仰拱附近則須注意層面控制的隆起或岩塊移動。若層面不朝洞內出露，或合力仍在摩擦錐內，單憑層面傾斜不能判定會發生滑動破壞。

解題技巧與常見陷阱

• 先看層面是否「朝洞內出露」，再看受力是否超出摩擦錐；不能只用層面傾角判斷坍塌。
• 摩擦錐半頂角是摩擦角 $\phi$，不是層面傾角。
• 摩擦錐判斷的是層面上的受力平衡與滑動趨勢；實際破壞位置仍須配合隧道幾何、岩塊形狀、節理組合及地下水等條件判讀。

（二）開挖面前進時岩體反應與支撐互制

核心觀念

核心觀念

本題考查岩坡的運動學判釋：依坡面與弱面的幾何方向，判斷岩塊是否有可能沿弱面滑出，或因弱面切割而向坡外傾倒。立體投影圖能檢查「幾何上是否可動」，但不能單獨證明邊坡一定會破壞；實際穩定性還受摩擦角、弱面連續性、地下水及岩橋等因素影響。

題目所稱三種主要破壞型式為：

1. 平面滑動（planar sliding）：一組弱面控制滑動。
2. 楔形滑動（wedge sliding）：兩組弱面交線控制滑動。
3. 傾倒（toppling）：一組或兩組陡傾、向坡內傾的弱面，切成可向坡外旋轉或彎曲的岩柱、岩塊。

以下以坡面傾角 $\beta$、弱面傾角 $\delta$、弱面摩擦角 $\phi$ 表示。順向坡是弱面傾向坡外；逆向坡是弱面傾向坡內。

解題方法：立體投影的判讀步驟

採用下半球等面積立體投影，先畫坡面大圓，再標示弱面大圓或其交線。題目沒有提供坡向、坡角及摩擦角，因此圖示為一般性運動學判釋，並以理想平面、乾燥弱面作說明。

• 平面滑動：弱面須朝坡外傾，且傾向大致與坡面傾向一致；其傾角須大於摩擦角而小於坡角，即 $\phi<\delta<\beta.$ 這代表弱面有足夠傾角克服摩擦，同時又能在坡面露頭（daylight）。

• 楔形滑動：兩組弱面交線須朝坡外出露；交線的伏角須大於沿交線方向的抗滑摩擦控制值，且小於坡面在該方向的表觀傾角。簡化示意為 $\phi<\lambda<\beta_{\mathrm{app}},$ 其中 $\lambda$ 為交線伏角，$\beta_{\mathrm{app}}$ 為坡面在交線趨向上的表觀傾角。兩個弱面單獨看未必都滿足平面滑動條件，但其交線仍可能落入可滑動區。

• 傾倒：弱面傾向坡內，且走向大致平行坡面走向，形成向坡外傾倒的岩柱或岩塊。常用 Goodman–Bray 幾何條件表示為 $\delta\ge 90^\circ-\beta+\phi.$ 此為運動學條件；仍須有足夠的塊體幾何與力矩條件，才會實際傾倒。

三種破壞的立體投影示意

下圖均為概念圖；圓周代表下半球投影外緣，$S$ 為坡面大圓，$J$ 為弱面大圓，$L$ 為兩弱面交線。考場作圖時，應把坡面傾向標在圓周方位上，並以箭頭標出坡外方向。

（一）平面滑動：一組順向弱面

 圓周
 .-------------.
 / \
 | J：弱面大圓 |
 | ／ |
 | ／ S：坡面大圓 |
 | ／ ／ |
 \ /
 '-------------'
 → 坡外

條件：弱面傾向朝坡外，且 φ < δ < β；
 弱面大圓位於可向坡外出露的 daylight 區。

核心觀念

本題考查由斷層、褶皺、岩脈、地震震源機制及隧道破壞等地質或工程現象，反推現地主應力方向。先以壓應力為正，記最大、中間、最小主應力為 $\sigma_1\geq\sigma_2\geq\sigma_3$；$S_{H\max}$、$S_{h\min}$、$S_v$ 分別代表最大水平、最小水平及垂直應力。

安德森斷層模式中，一個主應力軸近似垂直於地表：

• 正斷層：$\sigma_1\approx S_v$，$\sigma_3\approx S_{h\min}$。
• 平移斷層：$\sigma_2\approx S_v$。
• 逆斷層：$\sigma_3\approx S_v$。

平面圖只能表示水平應力軸的方位；垂直應力軸在平面上以「⊙」表示垂直紙面向上，以「⊗」表示垂直紙面向下。以下圖示以標準斷層模式、近垂直斷層面為判讀前提。單一斷層的走向若沒有滑動方向等運動學資料，不能唯一決定全部主應力方位。

(一) 各地質狀況下之現地主應力方向

⑴ 正斷層

正斷層由張裂或水平伸展形成，垂直方向為最大主應力，水平伸展方向為最小主應力；若為近垂直斷層，斷層走向大致平行最大水平主應力。

 σHmax（約平行斷層走向）
 ↑
 │ 斷層走向
 │
 σhmin（伸展） ←───┼───→ σhmin（伸展）

 垂直方向：σ1 ≈ Sv；水平伸展方向：σ3 ≈ Shmin

⑵ 逆斷層

逆斷層由水平縮短形成，垂直方向為最小主應力，水平最大主應力方向大致垂直於逆斷層走向；水平縮短方向就是 $\sigma_1$ 方向。

 σhmin（約平行斷層走向）
 ↑
 │ 斷層走向
 │
 σHmax（縮短） ←───┼───→ σHmax（縮短）

 垂直方向：σ3 ≈ Sv；水平縮短方向：σ1 ≈ SHmax

⑶ 平移斷層

平移斷層的垂直方向為中間主應力。對理想共軛平移斷層組，$\sigma_1$ 與 $\sigma_3$ 均為水平軸，且位於共軛斷層組的角平分方向；各自與相鄰斷層面約成 $45^\circ$。只知道單一平移斷層的走向，不能直接指定 $\sigma_1$ 在走向哪一側，還須有右移、左移等滑動方向資料。

 σ1（水平縮短）
 ↗
 斷層面 ／ ＼ 斷層面
 ／ ＼
 ↘ σ3（水平伸展）

 垂直方向：σ2 ≈ Sv

⑷ 褶皺

褶皺軸代表褶皺的延伸方向。典型區域褶皺由垂直褶皺軸方向的水平縮短形成，因此水平 $\sigma_1$ 大致垂直褶皺軸；水平伸展方向 $\sigma_3$ 大致平行褶皺軸。此為區域構造的典型判讀，局部應力仍可能受地形、岩層或既有構造影響。

 褶皺軸（σ3 方位）
 ↑
 │
 σ1（水平縮短） ←─┼─→ σ1（水平縮短）
 │

⑸ 岩脈（dike）

岩脈沿張裂面侵入，裂面法線方向平行最小主應力 $\sigma_3$；換言之，岩脈面包含 $\sigma_1$、$\sigma_2$ 方向。若岩脈近垂直且呈線狀，平面上的岩脈走向大致平行水平最大主應力，與水平張裂方向約成 $90^\circ$。

 σHmax（約平行岩脈走向）
 ↑
 │ 岩脈走向
 │
 σhmin（張裂方向）←┼→ σhmin（張裂方向）

 垂直方向：近垂直岩脈面的法線為水平 σ3

⑹ 地震反應下之第一模態立體投影圖

地震初動立體投影（震源球）將下半球投影至平面，依各測站記錄的初動方向區分壓縮象限與膨脹象限；兩個節面將球面分成四個象限。壓縮象限的角平分軸為壓力軸 $P$，膨脹象限的角平分軸為張力軸 $T$；理想剪切震源中，$P$、$T$ 軸分別近似 $\sigma_1$、$\sigma_3$，第三軸 $B$ 近似 $\sigma_2$。